列方程的基本原理與操作技巧

【摘 要】 列方程是基本的數學能力，也是中考重要的考查內容.列方程的基本原理是在梳理、提煉信息的基礎上，“拉出一個量，將之算兩次”，即對一個量講“兩個故事”，并把兩個故事用“=”號連接起來.對于繁難問題，列方程的操作技巧是運用“列表法”和“畫圖法”，幫助確定把哪個量拉出來算兩次才是最合適的.七個例題，從各個層面對列方程的原理和技巧作出分析.

【關鍵詞】 列方程；算兩次；列表法，畫圖法

牛頓曾說：“要想解一個有關數量的問題，只要把問題里的日常語言翻譯成代數的語言就成了”，其含義就是通過設未知數列出方程.在出現方程以前，許多實際問題是通過列算式的方法來解決的.列算式解決問題是純粹用已知量來表達未知量的過程，對于一些繁難的問題，想要列出算式，需要特別復雜的關系分析和運算轉換來做層層鋪墊，甚至需要特別的技巧才能完成，象“魔術師的帽子”和“天上掉下來的”［1］，讓人望而生畏.于是，在歷史上，方程就應運而生了.

無論在生活、生產還是在科學技術以及學科研究當中，凡遇有涉及未知量的問題時，就可以設出未知量，并把未知量和已知量放在同等地位，由于未知量可以象已知量一樣參與運算，這樣用同時含有未知量和已知量的式子來翻譯、表達和梳理問題中的信息和關系就容易多了.我們把這種為了確定實際問題中的未知量，而把未知量和已知量用代數式子聯系在一起，并建構成等式形式的數學模型稱作方程.從列算式的逆向思維轉變為列方程的順向思維，體現了列方程解決問題的巨大優勢.

在歷史上，法國數學家笛卡爾曾設想一個解決所有問題的通用方法.第一步，將任何問題轉化為數學問題；第二步，將任何數學問題轉化為代數問題；第三步，將任何代數問題化歸為單個方程的求解.通用方法中所體現的方程觀點就是“笛卡爾模式”，是“數學化（數學建模）”的經典代表.雖然現在來看，笛卡爾先生的判斷是武斷了，但也恰恰從一個側面說明了方程的重要價值.方程的好處表現為：①方程這一數學思想、方法或模式的目標是“為了求未知數”；②陳述了“已知數”的存在，解方程需要充分利用已知數和未知數之間的關系；③方程的本質是“關系”，而且是一個等量關系.簡單地說，“方程就是一桿稱，是一桿用已知量來稱量未知量的稱（數學天平）”.一般設幾個未知數，就列幾個方程.

本文結合典例對列方程（組）解決問題的基本原理和操作技巧作一系統梳理，供一線教學參考.蟬翼之論，權作拋磚.

1 列方程的基本原理

1.1 信息的提煉與梳理

任何實際應用性問題所包含的信息無非就是兩類，一類是數據信息，包括已知的量和我們所要設的未知量，如速度是多少，價格是多少，時間是多少，長度是多少等，它們是用來建構方程等號兩邊的代數式的“零部件”；一類是關系信息，即某些量之間的相等關系的信息，它們是用來建構方程中“=”號用的，若題目中有（或暗藏著）多個等量關系時，其中一部分等量關系用來布列方程（組），其余的等量關系用來設（或表示出）未知數（量）.審題的過程就是對信息的分類、梳理與提煉的過程.

1.2 拉出一個量，將之“算兩次”

關于列方程解應用題，孫維剛老師有過精辟論述，他認為列方程的實質就是：“在題目描述的過程里，隨便‘拉出’一個量，依題意用兩種方式表達它，中間連一等號，方程即列成”［2］.史寧中先生所表達的意思與之類似，對一個量講“兩個故事”，即把兩個故事用“=”號連接起來，就得到解決問題的方程［3］.也就是說，解決問題的關鍵是把題目中的某個量“算兩次”，從而得到解決問題的方程模型.

“算兩次”原理也叫富比尼（Fubini·Guido，1879—1943，意大利數學家）原理，是指從兩個不同的角度把握同一個事物，或者說用兩種不同的方法、觀點認識或表示同一個事物.單墫教授把它美稱為“三步舞曲”，即“一方面……；另一方面……；綜合可得……”.算兩次原理的運用，更多的是戰略眼光，而非簡單的戰術套路.

下面，我們結合《九章算術》第七章“盈不足”的第一個問題來體會列方程的基本原理：

例1 今有共買物，人出八盈三；人出七不足四.問人數、物價各幾何？

分析 題目大意為：現有若干人共同買一個物品，若每人出8錢，則盈余3錢；若每人出7錢，則還差4錢.問共有多少人？這個物品的價格是多少？

設參與共買物品的有x人.

①把“8錢”算兩次，則有

8=（7x+4）+3x.

②把“7錢”算兩次，則有7=（8x-3）-4x.

上述兩種思路，切入的角度相同，但列出的是分式方程.其中，加上括號，是為了顯示思考時的順序，說明括號里的式子可以看作一個整體，其意義是物品的實際價格.

③把“3錢”算兩次，則有3=8x-（7x+4）.

④把“4錢”算兩次，則有4=（8x-3）-7x.

上述兩種思路，切入的角度相同，列出的是整式方程.其中，加上括號的意義同上面一樣.

⑤把“物品的實際價格”算兩次，則有

8x-3=7x+4.

這種思路最為簡潔順暢，是把設問中的一個“未知量（問題）”算了兩次.

⑥把“參與共買物品人數”算兩次，且方程兩邊均含有未知量，則有x=（7x+4）+38，或者x=（8x-3）-47.

這兩種思路，切入的角度相同，思路與①②基本相同，也比較曲折.

⑦把“參與共買物品人數”算兩次，且一側為純已知量，則有x=4+38-7.

該思路的本質是列算式，思路是最曲折的，已經沒有了列方程的優勢.

⑧把“每人出8錢的總錢數”算兩次，則有

8x=（7x+4）+3.

⑨把“每人出7錢的總錢數”算兩次，則有

7x=（8x-3）-4.

這兩種思路，切入的角度相同，本質上與③④相同.

……

繼續思考，“拉出”其它的量，并將之算兩次，還可以列出更多的方程.

上述九個切入角度，共列出了十個方程，生動詮釋了“拉出一個量，并將之算兩次”這個本質.

由中可見，切入的角度不同，或說“拉出來，被用來算兩次”的那個量不同，思考的難易程度可能會有很大的差別.一般來說，被“拉出來算兩次”的量，離“題目中給出的已知量”和“設出的量”越遠（不直接），那么這時列方程的思考越簡單；反之，列方程的思考過程，就相對復雜.這是什么道理呢？孫維剛老師打了一個比喻：在甲城的A有一批文件（題目中的已知數據）要送給乙城的B（題中設為x的欲求量），無論A到乙城送交B手中，或是B到甲城找A來取，都是最浪費時間的.這里，我們把A，B兩人在中途某個地點相會看作是用兩種方法表達了那個地點，即題中“給（傳遞文件）”的過程的那個量.

上述切入點⑦就是A到乙城送交B手中，事實上把方程左端的x抹去，就是小學算術解法中的算式，思考上最費事，但很能鍛煉思維.切入點①②③④就相當于B到甲城來取.如果A，B相對出發，在途中相遇交取文件，則比較節省時間，假如在甲乙兩城之間路途的中點附近相遇（即用兩種方式表達“中點”），一般是最節省時間的，方程⑤在思考上最簡捷，原因即在于此，它把思考的工作量，分成了等號左右的兩端（即方程的左右兩端分別對應兩個“故事”）.優秀的解法，總是產生于不同解法的比較和雕琢中；同時，即使是迂繁的方法，也有很多鍛煉思維的價值，而這正是學習數學的主要目的.

2 列方程的操作技巧

在實際操作中，雖然我們都知道列方程解應用題的基本原理是“拉出一個量，并將之算兩次”，但就象剛才的分析一樣，究竟把哪個量拉出來算兩次才是最省事的，仍然不是一件簡單的事情.所以，掌握一些分析的方法和技巧，以快速確定“拉出哪個量來算兩次”是很有必要的.

下面，我們介紹“列表法”和“畫圖法”輔助列方程的方法.為了深刻展示思維過程，選用的題目普遍難度偏大，我們把重點放在列方程上，而不是解方程上.

2.1 運用“列表法”輔助列方程

例2 一輛汽車從A地開往B地，如在原計劃行駛時間的前一半時間內每小時行駛40km，而在后一半時間內每小時行駛50km，則能按時到達.但汽車以每小時40km的速度從A地到離AB中點還差40km的地方時發生故障，停車半小時以后又以每小時55km的速度繼續向前開去，仍然按時到達B地.求A，B兩地間的距離及原計劃行駛的時間.

分析 此例是典型的行程問題，其基本關系有：路程=速度×時間；速度=路程時間；時間=路程速度.

設A，B兩地間的距離為s，原計劃行駛的時間為t.列表分析見表1（有的數量關系被用來設未知數，有的數量關系被用來列方程，以下各題的分析也是如此，這一點需要反復、認真地體會）：

顯然，設出未知數以后，依次填寫各單元格所對應的數據即可.之所以把時間和路程又各自分割成兩列，是因為在兩種情形中，時間（路程）既有分段考慮，又有總括考慮，而速度是沒有這種分別的.

對于原計劃的情形，除了①②外，其他信息都是給定或設出的，最多是簡單推理或翻譯（如兩個t2）就可以得到的，容易填寫，當它們填寫完畢之后，利用行程問題的基本公式s=vt，就可以填寫①②了.

對于實際情形，除了③④外，其它都是給定或設出的，或簡單推理或翻譯（如s2-40和s2+40）就可以得到的，容易填寫，當它們填寫完畢之后，利用行程問題的基本公式s=vt的變形t=sv，就可以填寫③④了.

這樣，除了在設計表格的環節需要略微動動腦子以外，表格的填寫難度并不大.但是這個表格卻非常清晰地展現了題目的全部內涵，列方程（組）就容易多了.

對于原計劃的情形，把路程算兩次，可得

40×t2+50×t2=s.Ⅰ

對于實際的情形，把時間算兩次，可得

s2-4040+12+s2+4055=t.Ⅱ

二式聯立，可得方程組，很容易解出t，s.

把Ⅰ式代入Ⅱ式，消去s，可得關于t的方程，容易解出t，進而得到s的值.

把Ⅱ式代入Ⅰ式，消去t，可得關于s的方程，也容易解出s，進而得到t的值.

實際上，行程問題的公式vt=s涉及三個量v，t，s，屬于ab=c型關系的典型代表，類似的問題還有傳統的銷售問題、工程問題、濃度配比問題等，其對應關系如表2所示.

因此，遇到不同問題，只要暗含ab=c或a1·a2·…·an=b這種形式的數量之間的關系式，在設計表格時，是可以互相類比的.至于一個問題，分成不同的情形（如例2中的原計劃情形和實際情形），那就在每種情形中作出分析，最后綜合考慮，構建方程即可.

在例2中，還有一個重要的關系類型，那就是T=t1+t2+…+tn，即“整體等于部分之和”，表現在本題中，就是“總路程=前段路程+后段路程”及“總時間=前段時間+后段時間”；另如，溶液質量（體積）=溶質質量（體積）+溶劑質量（體積），第一季度產量=一月份產量+二月份產量+三月份產量，等等.

例3 在一容器內盛有20升純酒精，把酒精倒出一部分再注滿水，第二次又倒出與第一次等量的液體，然后再注滿水，此時容器內酒精體積是水的三分之一.問第一次倒出純酒精多少升？

分析 此類問題的基本關系有：濃度=溶質溶液；溶質=溶液×濃度；溶液=溶質濃度；溶液=溶質+溶劑.

列表（表3）分析如下.

第1，2行容易填寫；借助第1，2行容易填寫第3行；借助第3行容易填寫第4行；借助第3，4行填寫第5行時，在思考上，應該是先填寫溶液，再填寫溶質，最后填寫濃度，且濃度的填寫有兩個角度，一個是按題目已知條件用已知數填寫，一種是按照濃度公式用未知數的式子表示，同時，這也是被用來算兩次以列出方程的那個量，最終列出的方程為：

20-x-20-x20·x20=131+13（或直接寫成14）.

2.2 運用“畫圖法”輔助列方程

例4 一小船由A港到B港順流而下需6h，由B港到A港逆流而上需8h.一天，小船從早晨6時由A港出發駛向B港，到達B港時，發現船上一救生圈在途中掉入水中，立刻返回，1h后遇到救生圈.

（1）小船按水流速度由A港漂到B港需多少小時？

（2）救生圈是在何時掉入水中的？

分析 除一般行程問題所涉及的速度、時間、路程之間的常規關系外，本例還涉及船在靜水中航行的速度v靜，水流速度v水，順水航行的速度v順，逆水航行的速度v逆之間的關系：一是v順=v靜+v水；二是v逆=v靜-v水，所以v靜=v順-v水=v逆+v水，這樣，設小船按水流速度由A港漂到B港需y小時，把A，B之間的路程看作1，可得v水=1y，v順=16，v逆=18，把v靜算兩次，得16-1y=18+1y，解得y=48.

假設早晨6時出發，th后救生圈掉入水中，可畫出圖1所示的線段圖：上面的線代表船，下面的線代表救生圈，在t小時以前，二者是在一塊的；中途救生圈掉入水中，船行至B，同時救生圈漂流了一段距離；此時，船發現“問題（丟了救生圈）”，回頭去找救生圈，救生圈繼續漂流，二者隨后相遇.我們把救生圈落水后船的行進過程分成上、下兩段來畫，而救生圈的漂流過程也可以分成連續的兩段；每一段所對應的速度和時間都已經做了標注.顯而易見，可以把“救生圈落水到船行至B”這段時間內船行的距離算兩次，一方面，它可以表示為16×（6-t）；另一方面，它也可以表示為“救生圈的漂流距離+船回頭找的距離”，即148×［（6-t）+1］+18×1，綜合可得16×（6-t）=148×［（6-t）+1］+18×1，解得t=5，即救生圈是在11：00掉入水中的.

由中可見，“線段圖”對分析題目中v，t，s這些數量之間的關系提供了非常直觀的形象，思考起來就容易多了.當然，本題仍然可以采用列表法分析，只不過思考的直觀和形象性就差多了.

從物理學上相對運動的角度來看，我們假設水是不動的，則有：

從救生圈掉入水中到船發現丟了救生圈的這段時間=船回頭找到救生圈所用的時間=1.

即救生圈是在6+6-1=11時掉入水中的.

如果這樣說，你感覺理解上有困難，我們可以換一種方式來表達：

救生圈落水后，漂流向前，與船行方向相同，速度為v水；船順水航行，速度為v順=v靜+v水；二者距離不斷拉大，拉大的速率為v順-v水=（v靜+v水）-v水=v靜.

船到達B，返回來找救生圈時，救生圈依然繼續向前漂流，與船相對而行，速度為v水；船逆水航行，速度為v逆=v靜-v水；二者距離不斷減小，減小的速率為v逆+v水=（v靜-v水）+v水=v靜.

也就是說，拉大的速率=減小的速率，“船回頭找到救生圈的時間”與“救生圈落水到發現時的時間”是一樣的，均為1小時，由此可知救生圈是在6+6-1=11時掉入水中的.

例5 海上有A，B兩島，一天中午12時，甲、乙兩條渡船同時從A島出發駛向B島.甲船航速為10千米/時，乙船航速為8千米/時.如果它們連續不停地在兩島之間往返航行，那么在第二天中午12時兩船首次同時返回A島.請解答下面的問題：

（1）通過分析甲船比乙船多行駛的路程與A，B兩島距離之間的關系，求出兩島之間的距離.

（2）在這24小時中，兩船分別在兩島之間往返運行了幾次？它們同時到達過B島嗎？

（3）在兩島之間的距離、甲船航速不變的情況下，如果在出發后12小時兩船首次同時到達B島，乙船航速應調低為每小時多少千米？

分析 如果按實際情況畫圖，那么反來復去的路線是重復的，即便分開層次去畫，也不容分析數量之間的關系（如圖2-1）.

這時，我們可以嘗試把運動軌跡“展直”到一條直線上去，如圖2-2和2-3所示，這樣就容易思考、對比和分析了.我們把船從A出發時記作A0；往返一次回到點A時，記作A1；第二次往返回到點A時，記作A2…….把船初次到達B時記作B0；往返一次回到點B時，記作B1；第二次往返回到點B時，記作B2…….由于兩船一快一慢，所以在航行過程中，快船走的路程會比慢船越來越多，圖2-2展示了這一情形.

設兩島之間相距skm，當快船到達圖中的An時，如果慢船恰好到達An-1，則兩船就會第一次同時回到點A，此時快船比慢船多走了2s（如圖2-3所示）；當快船到達An時，如果慢船恰好到達An-2，則兩船就會第二次同時回到點A，此時快船比慢船多走了4s……

同理，當快船到達圖中的Bn時，如果慢船恰好到達Bn-1，則兩船就會第一次同時到達點B，此時快船比慢船多走了2s；當快船到達Bn時，如果慢船恰好到達Bn-2，則兩船就會第二次同時回到點B，此時快船比慢船多走了4s……

對于（1），易知兩島之間往返一次的距離必然為2s=24×10-24×8=48，s=24km.

對于（2），易知在這24小時中，甲船在兩島間往返運行10×2448=5次，乙船在兩島間往返運行了8×2448=4次.

如果它們曾經同時到達過B島，設此時慢船行駛的路程為（48n+24）km，再設快船行駛的路程為［48（n+k）+24］km，則應有48n+248=48（n+k）+2410，即2（4k-n）=1，此方程無整數解，所以兩船永遠不會同達B島.

如果僅是為了得到問題（2）的解，也可以這樣處理：由甲、乙兩船單程所需時間分別為2.4h，3h，可以排出它們的往返時間表：

可見24h中，兩船沒有同時到達過B島.實際上，觀察表中數據的規律，乙船到達B島的時刻均為奇數，二船要想同時到達B島，則甲船到B島的時刻首先必須為整數，而這些整數均為偶數（12的整數倍），奇數與偶數怎么會相等呢，也即二船永遠不會同時到達B島.

對于（3），在兩島距離、甲船航速不變的情況下，如果在出發后12小時兩船首次同時到達B島，則必有甲船到達圖中B2處，若此時乙船到達B0處，則乙航速應調低為每小時24÷12=2千米；若此時乙船到達B1處，則乙航速應調低為每小時（48+24）÷12=6千米.

例5 鐘表問題.

分析 此例不再提供具體的問題，只提供相關的分析方法.圖2-1出示了16點時的情形，分針與時針所夾的角是120°；圖2-2出示了自16點開始t分鐘后的情形，標注了時針和分針轉過的角度.此時，t≤60分鐘；當tgt;60分鐘時，類似操場上跑步的圓周運動，可仿之進行分析，不同之處在于，鐘表問題研究的是角速度，而操場上跑步的圓周運動研究的是線速度.

對于一些問題，無論是“列表法”，還是“畫圖法”，可能都難有用武之地，這時就必須采用其它的分析策略了，以下示例為“間接設未知數”的方法：

例6 某車間生產一種工件，該工件由1個A零件，2個B零件和4個C零件組合而成.一個人一天可生產5個A零件，或者6個B零件，或者15個C零件.若該車間共有12個人，請問如何安排生產，可使生產的零件正好配套？

分析 此問題直接設未知數較為繁瑣，且不易著手，適合間接設未知數.

設共生產零件x套，則有x5+2x6+4x15=12，解之，得x=15.之后不續.

參考文獻

［1］喬治·波利亞.數學的發現：對解題的理解、研究和講授［M］.劉景麟，曹之江，等譯.北京：科學出版社，2006.7.

［2］孫維剛.孫維剛初中數學［M］.北京：北京大學出版社，2005.1.

［3］史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.9.

作者簡介 顏茂輝（1981—），男，河北晉州人，中學數學一級教師，初中數學教研員，主要從事初中數學命題研究.