“確定位置”：跨學科整體教學的一次有益嘗試

【摘 要】

以八年級數學課“確定位置”為主題，探討了結構化設計、整體教學和跨學科在教學中的應用.結構化設計能夠幫助學生建立系統的知識體系，提高學習效率;整體教學理念強調將知識點相互聯系，以促進學生對知識的整體把握;跨學科元素的融入，豐富了教學內容，激發起學生的學習興趣.實踐表明，這種綜合教學方法有助于學生更好地理解和掌握確定位置的概念與方法，能有效提升學生的數學素養和綜合能力.

【關鍵詞】 整體教學；結構化；跨學科；數量；位置

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自本區公辦初中，學生基礎較好，有一定的自學能力、推理能力及運算能力.

1.2 教材分析

“確定位置”在小學已經接觸，可以用數對、角度加距離的方式來確定位置.到了初中之后，教材在原有的基礎上又進一步提升.本節課經歷了從生活到數學的抽象過程，從數學到數學的發展過程，最后又回歸到從數學到生活的應用過程［1］.整節課目標精準、過程精彩、資源精良，特別是信息化技術在課程中進行了深度的融合.

教學目標：（1）了解可以用數量（一對數）來描述物體（一個點）的位置；

（2）知道位置的變化與數量的變化有著密切的聯系；

（3）理解位置的確定與數量的確定之間的一一對應關系；

（4）通過解決本節“交流”中的問題，引導學生經歷研究數量、位置變化的“全過程”，以利于增強學生“發現和提出問題、分析和解決問題”的能力.

教學重點：感受現實生活中物體位置確定的多種方法和方式，數量變化與位置變化、數量的確定與位置的確定之間一一對應.

教學難點：用“數量”來描述“位置”的變化；用“數對”確定平面上“點”的位置，初步感受數和形之間的緊密聯系.

教學方法和教學手段：通過觀察、討論、操作等參與活動，在課堂中融合信息科技和智能化的元素；通過合作探究，歸納總結，感受豐富的確定物體位置的現實背景，體會“生活—抽象—數學—發展—數學—建?！睢钡膶W習過程.

2 教學過程

2.1 生活中感悟——從生活到數學

觀看“六關節機器人打螺絲”視頻（圖1），從機器人準確地確定螺絲位置的過程中，引出課題“確定位置”.

設計意圖 通過這段剪輯的視頻導入，讓學生直觀感受到六關節機器人能夠精準的打好每一個螺絲的過程，激發興趣.

問題1 小明周末準備去動物園，乘坐地鐵三號線（如圖2）可以到達動物園，站點是錢橋站.同學們觀察一下，從始發站到錢橋站有多少個站點呢？

生：20.

設計意圖 從學生的生活經驗出發創設情境，提出問題，并進行及時總結——錢橋站這個站點就是一個位置，20是一個數字，它們之間有一種對應關系.同樣，找到一個數字也能對應得到一個站點的位置，并順學而導，從生活中抽象出數學內容：數軸——在數軸上一個點的位置與實數是一一對應的，讓學生體會到：數軸是一維的，確定它的位置需要一個點，同樣一個點也能對應著一個數字，數字和點之間是一一對應的，從而形成“數學感悟”，并在接下來“數學的眼光”環節中，通過學生尋找生活當中類似的例子，進一步加深對知識的理解.

問題2 小明到達錢橋地鐵站后，發現到動物園還有一段距離，于是找到這樣一張地圖（圖3），地圖上的起點是地鐵站，終點是動物園.如何描述這個動物園的位置？

設計意圖 從這個問題可以引出“在平面當中需要兩個數字才能確定點的位置”，從動物園的位置在起點往東350米，再往南1600米，到建立東西和南北方向的直線，并定義正負，從而引出可以用正數和負數來描述一個點的位置.

問題3 通過地球上的經、緯度，可以確定一個城市在地球上的位置.

圖4是一張平面經緯圖，請你說出杭州的地理位置.若給你一組經緯度，你能說出是哪個城市嗎？并提出經緯度在其他方面的應用，如臺風路徑問題.“臺風中心不斷移動”是“位置的變化”.氣象部門用經緯度來描述這種變化，即用（一數對）來確定平面內一點的位置.

設計意圖 通過“希沃白板5.0”的學科工具“地球儀”插入這一頁課件，在使用中可以通過經緯度精確定位城市或者臺風中心每隔12小時觀察到的位置.播放預先用希沃白板制作的臺風中心移動路徑的視頻動畫，讓學生進一步理解：“臺風中心不斷移動”是“位置的變化”，“位置的變化”對應著“經緯度上數量的變化”.氣象部門用經緯度來描述這種變化，即用（一數對）來確定平面內一點的位置，并通過路徑的預判及時進行預警.

問題4 小明在無錫動物園游玩（圖5），有人問太湖歡樂園在哪里？那么小明應該怎么描述它的位置？

設計意圖 引出方向角與距離.并讓學生總結出此種方法來確定物體位置時首先要找到觀測點和建立方向標，然后測量出目標與觀測點之間的距離和相應的方向角.

數學感悟（歸納） 在平面內，確定一個點的位置一般需要兩個數量.常用表示形式：有序數對、經緯度法、方向角與距離.（圖6）

設計意圖 通過觀看視頻，感受學習確定物體位置的必要性.隨后從學生的生活經驗出發，創設情境，先后提出4個問題，激發學生學習數學的熱情.讓學生親

歷發現數學問題、解決問題的全過程，感受現實世界中蘊含著大量的數學信息，并在問題解決中形成自己的數學感悟，在感悟生成后以數學的眼光去尋找身邊的數對知識的運用.

問題5 數學的思維

（1）如圖7，設計一種方法能夠快速描述每個象棋的位置.

（2）將與帥的位置如何描述？描述的數據一樣嗎？

設計意圖 通過小組討論匯總出不同的描述象棋位置的方法，并在小組互問中加強對知識的理解.

2.2 數學的發展——從數學到數學

例1：下列表述中，能確定位置的是（" ）.

A.某校報告廳8排

B.北偏西30°

C.距離小明家3 km的某大樓

D.東經120°，北緯32°

練習：如圖8，用（0，0）表示點A的位置，用（2，1）表示點B的位置.

（1）圖中C，D，E三點位置分別如何表示？

（2）在圖中標出（3，2），（1，2）的位置上的點，并分別標上字母F，G.設計意圖

第（1）問中明確：給出一個位置，能夠用一對數來表示它.第（2）問中明確：給出一對數，就能找出它的位置.本題的解決，讓學生再次感受了位置的變化與這個數字的變化，以及確定其間的一種對應關系.

例2：如圖9，BC=6 cm，直線l是線段BC的垂直平分線，在點A沿直線l自上而下運動的過程中，圖中的一些線段和角的大小也隨著變化.

（1）∠BAC的大小是如何變化的？

（2）點A在什么位置時，△ABC是等腰直角三角形？說明如何確定點A的位置.

（3）若沒有中垂線，說明如何確定點A的位置.

（4）點A在什么位置時，△ABC是等邊三角形？

設計意圖 在問題的解決中，培養學生動手畫圖、動腦思考、歸納總結、大膽提出猜想的能力.

（1）在有直線l的情況下，確定點A的位置，相當于在一條直線上確定一個點的位置：可以是AO的長度，也可以在點B或者點C處作一個45°的角，符合題目要求的點A有兩個.

（2）在沒有直線l的情況下，確定點A的位置，相當于在平面內確定一個點的位置就需要兩個數.回歸本題第（2）問的狀態，建立兩條直線，用兩個數來確定點A的位置；還可以在點B、點C處同時畫出兩個45°的角，兩條射線的交點就是點A的位置（與方向角與方向角的確定位置的方式原理相同）.

（3）如果要確定點A，使得△ABC是等邊三角形，還可以使用圓規，分別以點B、點C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧的交點就是點A.

（4）教室采用雙屏幕布置，實物投影和課件演示各用一個屏幕，讓學生在經歷充分的頭腦風暴后，再經歷幾何畫板的動態演示，加深對問題的理解.同時，借助幾何畫板的操作功能演示多種確定點A的方法，在工具欄的選擇中，學生也能加深對點的位置確定的理解.

例3：如圖10，點P在長方形ABCO的邊OA上，過點P作BP的垂線，交OC于點Q.

（1）點P從點O出發沿OA方向運動的過程中，你發現了哪些變化？是如何變化的？

（2）你能發現并提出怎樣的問題？

設計意圖 在問題的解決中，再次強化學生動手畫圖，從多次畫圖中去尋找點Q的變化規律，從而歸納OQ的長度變化，引導學生提出問題：點P的位置在哪里時，OQ的長度能取到最大值？對提出的問題，通過幾何畫板驗證發現：點P的位置在OA的中點時，OQ的長度取得最大值，如何對猜想進行數學的證明？還需要以后的知識，為后續的學習埋下伏筆.2.3 建模應用——從數學到生活（1）進行笛卡爾、心型曲線、解析幾何方面的數學文化介紹.

設計意圖 讓學生了解相關的數學史，知道很早以前就有學者從蜘蛛網如何確定蜘蛛位置這樣的生活現象中抽象出如何刻畫點所在的位置，并發展成如何用數來刻畫圖形，進而發展出解析幾何這一門學科，讓學生感受從數學到數學的發展過程.

（2）演示機器人在平臺上操作，在電路板上進行焊接.（Gif動圖）

設計意圖 經歷從生活到數學的抽象過程，從數學到數學的發展過程，最后從數學回到生活當中，進行建模應用［2］.通過機器人手臂的操作，自然能想到它的操作原理是什么？根據所學的知識，將這個操作平臺想象成是一個平面，給機器人的是一對數，機器人把這一對數轉化為平面內點的位置，然后就去操作了.此過程讓學生從中感受到了建模應用的力量.（3）展示二維碼，學生用準備的手機進行微信掃碼，發現獲得的信息是一個英文單詞：hello.

設計意圖 常見的二維碼，是在給定一對數之后，得到不同的位置，變成黑色或白色，進而儲存一定的信息在里面.進一步明確，在二維的平面上面確定位置，只需要一對數據.

（4）展示宇宙空間站的對接.

設計意圖 提出問題：如果在空間中確定位置知道需要幾個數據呢？學生會回答：3個.在空間當中，它是三維的，需要3個數據.設想我國的航天器在空間站進行對接，它的位置確定則需要更多更復雜的技術.

（5）介紹“心電圖”相關的知識（展示心電圖形成的Gif動圖）

心電圖是檢查、診斷心血管疾病的重要手段之一.心臟肌肉收縮時，會產生一股股微小的生物電流，這些變化的電流所產生的電壓可以通過心電圖機放大后顯示出來，形成一條波形的連續曲線，稱為心電圖（圖11）.心電圖把有關的數據直觀地反映出來，建立了“數”與“形”的聯系.

設計意圖 心電圖圖像的動態生成，既說明了心跳數據的變化引起了數量的變化，也說明了數量的變化引起相應的點的位置的變化，圖像的動態生成，為以后函數圖像的學習埋下伏筆.

（6）在https：//python123.io進行編程演示.

①用Python編程繪制一個正方形（圖12）：

import turtle

for i in ranage（4）：#循環次數

turtle.forward（100）#前進長度

turtle.right（90）#朝右旋轉

設計意圖 幫學生解密編程中的一些指令，發現繪制正方形的時候也用到了“確定位置”的方法，循環四次后，繪制出一個正方形.

②用Python編程繪制一個直角三角形（圖13）：

import turtle

turtle.forward（100）

turtle.left（90）

turtle.forward（50）

turtle.goto（0，0）

設計意圖 學生在經歷第1個編程題后，就很容易讀懂本題：前進100，然后左轉90，再前進50，最后回到起點，每一次給定數據都能夠確定點的位置，于是順利猜想出來這是一個直角三角形.

③用Python編程畫彩色螺旋線（圖14）：

import turtle

import time

turtle.pensize（2）

turtle.bgcolor（“black”）

colors=

［“red”，“yellow”，“purple”，“blue”］

turtle.tracer（False）

for x in range（400）：

turtle.forward（2* x）

turtle.color（colors［x%4］

turtle.left（91）

turtle.tracer（True）

設計意圖 三色螺旋線的編程，讓學生對“確定位置”的理解范圍進一步擴大.

2.4 學習小結

（1）本節課你學到了什么？怎么學的？

設計意圖 學生通過黑板上的板書，可以清晰的知道，從生活中抽象出了數學的內容，經歷了數學到數學的發展，又經歷了數學建模應用于生活.師生共同感悟到了在一維上面只需要一個數據就能確定點的位置，點的位置可以轉化為一個數據，這是一一對應的；在二維平面上面，位置的確定需要一對數了，一對數也能描述一個點的位置.在學生的討論和問答中，一條清晰的學習線：生活—抽象—數學—發展—數學—建?！钪鸩叫纬?

（2）以后你還想研究什么？

設計意圖 引導學生再次回憶整節課的學習內容，可以是想研究更多維的，例如三維的的位置有哪些確定的方法，可以是今天提及的解析幾何到底是什么樣子的，可以是想了解一下笛卡爾的故事，心形圖到底是什么，可以是今天留下的幾個需要以后的知識學習才能解決的問題等.通過形成問題，讓學生回顧今天所學的內容，形成相應的思考.

（3）數學哲理（填空）

愿同學們用智慧和努力這兩條人生的經緯線，確定自己的人生位置，通過正確的行進方向創造美好的未來.

設計意圖 通過填空讓學生回答的方式，去思考自己應該以什么作為自己人生的經緯線？這也是將數學與德育相結合的一種嘗試.

3 回顧與反思

3.1 設計立意

“確定位置”這一課中，教學設計意圖得到了充分的體現.結構化的整體教學思路強調知識的整體性和連貫性，而不是將知識割裂成獨立的片段.課堂中，教師并沒有單獨地講解如何確定一個物體的位置，而是將其置于一個更大的知識框架中.開課伊始，引入地理坐標、方向和距離等概念，使學生能夠在一個更廣闊的背景下理解位置的概念.這種方法的好處是學生能夠更好地理解知識的內在聯系，形成更完整、更深刻的知識體系.本課的另一個嘗試是跨學科貫通融合，它要求教師將不同學科的知識結合起來，使學生在學習某一知識點時能夠同時獲得多種學科的知識.本課中學生會接觸到地理學、物理學或哲學中的相關概念，例如地理學中的經緯度、物理學中的向量表示或哲學中的空間觀念等.這種方法的好處是學生不僅能夠獲得更全面的知識，還能夠培養出更為全面的思維方式.通過這兩種教學方法的結合，學生不僅能夠深入理解本課的知識點，而且能夠培養出更為開放和全面的思維方式，而這正是教育的真正目的：培養出能夠應對復雜多變世界的全面發展的人才，應對未來的不確定性．

3.2 教學反思

3.2.1 整體建構下的興趣激發

興趣是最好的老師，如果學生對所學的知識感興趣，有深究的欲望，就會自覺自愿地參與到學習中去.通過一段剪輯的六關節機器人打螺絲的視頻在課前導入，在舒緩學生神經的同時引發學生思考：現在人工智能這么厲害了嗎？打螺絲的工作也被機器人取代了嗎？這節課會告訴我們機器人打螺絲中的哪些技術？這些話題直接引發學生的思緒和情緒的高點，瞬間提升了學習氛圍，為接下來的主線“小明同學去動物園”作出了鋪墊，從發生的一系列故事中抽象出數學的知識，在學生已有的生活經驗和知識經驗下，通過對話呈現知識的抽象和發展的過程，教師教學的切入點在對話中形成，而接下來的教學便有的放矢、事半功倍.

3.2.2 數學與信息技術的巧妙融合

從創設情境剪輯的“機器人打螺絲”視頻，到授課過程中采集上課素材，如對智慧公交軟件的使用、對高德地圖的使用，在臺風中心移動路徑系列問題中調取“希沃白板5.0”的地球儀、經緯度功能，都體現了學材開發的新路徑，帶給學生新思考.特別是授課教室是一個有著兩塊“希沃白板”的教室，區別于以往只有一塊“希沃白板”，兩塊“希沃白板”的出現，帶給我們全新的視野.教師上課時一塊用來播放課件，另外一塊用作板書，在需要時又可以成為實物投影儀的展臺，在進行例2，例3兩個運動型問題的處理時，一塊“希沃白板”展示的是問題，另一塊“希沃白板”則用來運用“幾何畫板”來演示、探究，兩塊“希沃白板”，一塊展示“整體”，一塊研究“局部”，而教師在整個過程中同時操作兩個課件，巧妙地運用了先進的信息技術.在建模應用環節，通過對編程語言的解讀，讓學生理解到，編程也不是那么可怕，在繪制簡單圖形的時候，也是通過確定點的位置，通過數量的變化，引起位置的變化，通過位置的變化，形成運動的路徑，從而創造出圖形，特別最后一句，“有興趣的同學可以研究一下如下代碼，它可以在網站生成這樣美麗的三色螺旋線”，極有可能引發同學對這一編程語言的探索.

3.2.3 跨學科元素的有效介入

“位置的確定”融合了小學、中學、大學、生活實際中的各個角落：從生活中的地鐵站臺開始，到動物園、游樂園、臺風中心的位置，蘊含了對于數軸、平面直角坐標系、極坐標系的運用，并介紹了坐標系的出現，從笛卡爾到心形線到解析幾何的發展，用發展的眼光帶領學生學習，明確“確定位置”這節課學習的必要性.最后還將主題上升到建模應用，如二維碼、心電圖、航天航空和編程的運用，讓學生放眼未來，感悟到學習數學是為了將來在工作、學習中運用數學方法、思想解決問題.跨學科元素的有效引入和使用，從生活中抽象出數學，帶領學生一起經歷數學的發展、應用，利用數學建模應用回到生活中，從而貫通生活與數學的實踐，真正培養了學生的核心素養［3］.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］朱宸材，茅莉萍，徐芷筠.指向初中生模型觀念培養的教學實踐與反思［J］.中小學課堂教學研究，2023（06）：56-60.

［3］朱宸材.點評：以核心素養為指向，充分發揮知識載體作用［J］.中學數學教學參考，2018（12）：18-20.

作者簡介 楊峰（1978—），男，中學高級教師，無錫市梁溪區教學能手，主要從事初中數學教學、命題與解題研究.

朱宸材（1980—），男，博士研究生，江蘇省正高級教師.