中國“數學變式”研究20年的變遷

摘 要：變式及變式教學是中國數學教育教學的特征之一。基于中國知網（CNKI）數據庫，借助CiteSpace軟件，以中小學數學變式為主題，分別從發文作者、發文機構、關鍵詞對該主題領域的研究主體、研究熱點和趨勢進行可視化分析。從研究主體來看，研究機構和研究人員之間的聯系比較松散，建議加強主體合作，構建研究共同體。從研究熱點和趨勢來看，中小學數學變式以幾何為主要變式內容，以教學為變式載體，以學生思維的提升為變式目的；研究內容走向多領域、多課型，應立足課堂教學，滿足學生需要，同時深挖研究問題，突顯數學本質；以核心素養為導向的變式教學是研究的一大趨勢，應優化變式（教學）研究，發展核心素養。

關鍵詞：數學變式；CiteSpace；文獻綜述；可視化圖譜；中小學

中圖分類號：G633.6;G521"" 文獻標志碼：A""" 文章編號：1673-5072（2024）05-0553-09

“題海戰術”違背了數學教育的本質和規律，長期大量刷題，不僅未能使學生達到“熟能生巧”，反而使學生“熟能生厭”，為解決“題海戰術”所帶來的弊端，“數學變式”應運而生。數學變式可以理解為：從不同方面、不同層次、不同形式上變換數學對象的非本質特征，進而更好地突出其本質特征的教學形式和策略。變式是中國數學教育的重要特色［1］。顧泠沅在主持上海青浦實驗的過程中，系統地開展了變式教學實驗，并總結得到了具有中國特色的變式理論［2］。在對我國數學課堂教學進行變式分析以及對“中國學習者”悖論進行充分解讀的基礎上，我們可以認為，恰當地使用變式，會使數學課堂變得有意義；反之，就會使數學課堂變為被動灌輸和機械訓練［3］。變式可以將表象變深刻，將狹隘變寬廣［4］。通過恰當的數學變式能夠提高“三基”（數學基礎知識、基本技能和基本思想方法）的落實水平［5］，同時能夠加強思維的深度，拓寬思維的廣度，提升思維的靈活度，使學生對數學問題的理解深入到本質層面。當前國內外對于數學變式綜述的相關研究非常少，而數學變式只有基于已有的變式成果和變式經驗并且緊密聯系當下數學教育的時代背景，才能更加有效地促進數學變式繼續向前發展，使數學變式更具時代意義。本文運用文獻計量方法，對文獻數據進行可視化分析，以探求近20年我國中小學數學變式的研究熱點和未來的研究趨勢，并給出一些結論與建議，為相關研究提供一定的參考。

1 數據來源與處理

1.1 數據來源

本文以中國知網（CNKI）為來源數據庫，通過高級檢索功能，以“數學變式”為主題，時間區間設定為2001—2021年進行文獻檢索，共檢索到1134條相關期刊文獻，再人工剔除與中小學教育無關的期刊文獻，共得到966篇有效的期刊文獻。

1.2 數據處理

首先將966篇文獻以Refworks格式導出；再利用CiteSpace（6.1.R2）對導出數據進行轉換；接著通過可分析數據建立新的項目（project），對發文作者、發文機構、關鍵詞進行相關分析。

2 數據可視化及分析

2.1 作者共現分析

依據發文作者以及他們在同一篇文獻中出現的合作關系，基于CiteSpace的作者共現分析，得到了該領域關于作者及相互之間合作關系的可視化網絡圖譜（圖1）。圖譜共有525個節點，79條連線，網絡密度僅為0.0006，結構非常松散。大多數人都是單獨研究，主要作者之間僅形成了以張奠宙和孫旭花為中心的合作群體，此外，李嵐和姜珊珊以及馬曉丹和張春莉之間有一定的合作，但是合作程度并不高。所以，目前該領域的作者合作關系呈現出“整體分散、局部聯系、合作程度低”的特點。

發文量排名前5的作者如表1所示，發文量最大的是張奠宙（6篇），另外孫旭花發文4篇，均為核心期刊，且這兩位作者有合作研究，形成了一定的研究群體，所以張奠宙和孫旭花可被認定為該領域較權威的作者。

2.2 機構共現分析

依據所檢索文獻發文作者所處的機構以及不同研究機構在同一篇文獻中出現的合作關系，基于CiteSpace的研究機構共現分析，得到該領域關于研究機構及相互之間合作關系的可視化網絡圖譜（圖2）。圖譜共得到493個節點，68條連線，網絡密度僅為0.0006，結構非常松散，說明該領域的研究機構非常分散，相互之間的聯系不強。該領域的主要研究機構形成了以華東師范大學數學系為中心的研究群體，其他一些研究機構有一定的合作，但是合作的次數比較少，合作程度比較低。同時從總體來看，該領域的研究多集中在各大高校，中學也有一定的研究基礎。

發文量排名前5的研究機構，如表2所示。在高校方面，華東師范大學數學系（9篇）、北京師范大學教育學部（6篇）和數學科學學院（6篇）的發文量較高；在中小學方面，延邊第二中學（6篇）的發文頻次較高。同時，從最早發文年份來看，高校對于數學變式的研究更早，有更加扎實的研究基礎。

2.3 關鍵詞分析

關鍵詞是對文章的高度概括，它能反映一篇文章的主要內容。分別對文獻關鍵詞進行共現、聚類、突現3個方面的可視化分析，可揭示“中小學數學變式”這個領域的研究熱點和研究導向。

2.3.1 關鍵詞共現分析

依據所檢索文獻中出現的關鍵詞以及不同關鍵詞在一篇文獻中共同出現產生的聯系，基于CiteSpace的關鍵詞共現分析，得到該領域關于主要關鍵詞以及關鍵詞之間相互聯系的可視化的網絡圖譜。圖譜共得到496個節點，622條連線，主要節點及連線如圖3所示。

出現頻次最高的20個關鍵詞如表3所示，由高到低分別是：變式教學、數學教學、變式、數學、變式訓練、初中數學、高中數學、培養、一題多變、數學概念、一題多解、教學、創新思維、核心素養、思維能力、發散思維、中學數學、小學數學、反思、創新意識。

關鍵詞的中心性是量化關鍵詞地位重要性的一個重要指標，一般來說，當關鍵詞的中心性0.1時，可以將其視為核心關鍵詞，表明這個關鍵詞在該領域中處于比較重要的地位。通過數據分析發現，變式教學、數學教學、變式、數學、變式訓練這5個關鍵詞可視為核心關鍵詞。

2.3.2 關鍵詞聚類分析

在關鍵詞共現分析的基礎上，依據檢索文獻中關鍵詞相互之間緊密聯系的程度，基于CiteSpace的關鍵詞聚類分析，得到該領域關于研究類塊和結構特征的可視化的網絡圖譜，其中，每個聚類的標簽是根據LLR（Log-likelihood Ratio）排序算法得出的排序最高的關鍵詞，結果如圖4所示。從聚類的結果中選擇前12種聚類，分別是：#0變式訓練、#1小學數學、#2變式教學、#3變式、#4數學教學、#5創新思維、#6一題多變、#7圓錐曲線、#8反思、#9數學、#10發散思維、#11學生自主。該圖的參數聚類模塊值（Q）=0.8365gt;0.3，說明關鍵詞聚類結構顯著，聚類平均輪廓值（S）=0.9589gt;0.7，說明聚類是令人信服的。所以，這12個聚類能夠真實的反映該領域的主題分布情況。

2.3.3 研究熱點分析

根據關鍵詞共現和聚類以及相關文獻的分析，對“中小學數學變式”領域的研究熱點進行一定的歸納和總結。

1）以幾何為內容的變式研究

幾何領域的內容由于具有很強的抽象性，需要學生強大的空間想象能力，所以易成為教學難點。著名的上海青浦實驗對于變式教學的研究也是來源于幾何概念的教學。如果僅用標準圖形進行教學，學生很難認識其本質，而通過一系列的變式圖形可以將標準圖形一般化，從而產生更好的學習效果，特別是對于復雜幾何問題的解決效果尤為顯著［6］。近些年對于幾何領域的變式研究成果非常豐富，李健［7］以思維品質為落腳點，從情境、題型、解法和過程4個維度對教材中的一道立體幾何問題進行了變式研究。朱建良［8］從一道幾何作圖題出發，對如何通過變式揭示作圖的本質進行了研究。陳炳泉［9］通過將教材中的幾道拋物線題目鏈接高考試題的方式，對教科書中題目的變式進行了研究。梁海藝和吳躍忠［10］從集合的觀點出發，提出了一種頗有數學學科特點的幾何變式問題的制作方法。

從學習幾何概念來看，以幾何為內容的變式應“加強聯系，注重對比”。幾何新概念應從學生已知的舊概念或已有經驗變式而來，并且要注重幾何概念和幾何圖形的對應與聯系，對于概念和非概念示例、原型概念圖形和非原型概念圖形應注重比較。

從解決幾何問題來看，以幾何為內容的變式應立足教材，鏈接考題。教材和考題中的幾何圖形的變式應依圖發揮，達到深度變式，培養學生的模型意識。對于簡單的幾何圖形，通過“正向變式”增添或改變數學元素的方式，使簡單圖形走向復雜，使其變得更具數學味道和數學學習價值；對于復雜的幾何圖形，應該追根溯源，通過“逆向變式”將復雜圖形一步步簡單化、模型化，使變式的最終落腳點在基本圖形或數學模型上；對于復雜程度一般的幾何圖形，通過雙向變式，使變式既走向圖形的“來路”，也走向圖形的“去處”。通過變式學習，使學生形成對幾何圖形的模型化、結構化，進而提升學生解決新問題的能力。

從培養幾何素養來看，以幾何為內容的變式應兼顧可視化和操作化。可視化的幾何變式是指通過試卷、課件、圖片等直接向學生呈現可視化的變式內容。僅在這種幾何變式下，學生只能被動地接受已有變式內容和變式經驗。而操作化的幾何變式強調學生自主探究變式的過程以及自我變式經驗的獲得。圖形化交互資源整合了做的經驗和看的經驗，有利于學生幾何內容的學習，同時也有利于培養學生的空間觀念，提升學生的學習興趣［11］。基于圖形交互資源來展開幾何變式，學生不僅能夠獲得直接的變式結果，而且能夠體驗整個變式過程，獲得直接的變式經驗，這樣更有利于學生將幾何知識和經驗內化為潛在的幾何素養。

2）以教學為載體的變式研究

變式教學是中小學數學變式研究的集中體現，且大多是圍繞具體的數學問題來展開，例如：對一些教材的例題、習題的變式［12-14］，對典型的中高考題的變式［15-20］。對于數學問題的變式設計，要有利于形成一題多變、一題多解、多題一解，同時要注重對比性問題變式的設計［21］。

此外，在數學概念課中，通過運用正反兩方面的變式，促進對數學概念的深度理解［22］；在拓展概念外延和構建概念體系的過程中，通過概念的變式，有利于牢固掌握概念，同時能夠從“標準”和“非標準”兩方面來理解概念［23］。在小學數學的概念課中，通過概念多元表征的變式，可以使學生深層次地理解概念的內涵和本質，同時促進學生抽象能力的發展［24］。從具體的數學內容出發，例如：以“基本不等式”為教學內容，設計變式情境、變式問題、解法變式、語言變式、圖形變式等過程來展開變式教學［25］；以“概率與統計”為內容，從概念性變式、過程性變式、解題型變式3個角度來實施變式教學［26］。

變式教學可以理解為“變式的教”和“變式的學”兩方面。當前的變式教學大多聚焦在“變式的教”，教師對中小學數學內容展開變式，在數學課堂中向學生呈現變式問題，學生再解決變式問題，通過教師“變式的教”，學生能夠學會相關的變式內容。雖然變式教學的目的之一是要使學生學會具體的變式內容，但是學生變式思想的形成對于變式教學更為重要。變式思想的形成一定是在學生“變式的學”中潛移默化形成的，其有利于學生從“學變式”走向“會變式”。要想使學生在數學變式課堂教學中達到“變式的學”，“變式空間”的建立非常重要，“變式空間”是“變式的教”和“變式的學”中間的一個過渡區域，其為學生在變式教學中提供了思考變式的空間以及參與變式的機會，而教師是“變式空間”建立的主角，應學會為變式留白，這就需要教師注重教學法的變式以及具有變式留白特征的教學法的運用。

3）以思維為目的的變式研究

變式不僅是為了讓學生更加熟練的掌握數學知識、技能和方法，更要促進學生思維能力的提升。過于標準的數學變式容易使學生的思維固化，而非標準的數學變式，能夠發散學生的思維，擺脫固有思維的困境［27］。從不同的角度進行變式，可以促進思維整體性的發展。對問題情境、解題方法進行變式，能夠有效提升學生的抽象思維和發散思維的能力［28］。對幾何圖形進行變式，在“變”中尋找“不變”的本質，促進形象思維的發展［29］。通過比較變式，促進邏輯思維能力的發展；通過正反變式，促進辯證思維能力的發展；通過遞進變式，促進創新思維能力的發展［30］。

在當前大單元整體教學的背景下，中小學數學強調結構化課程內容和結構化數學思維。通過結構化課程內容的學習能夠有效促進對學生結構化數學思維的培養，同時結構化數學思維的形成也有利于學生有結構地去理解數學知識。點狀思維只停留在表面，很難深入到本質；線狀思維只關注思維的縱向，不考慮橫向聯系［31］。這兩種思維方式雖然能夠使學生學會知識，但很難使學生達到對于知識的應用和遷移。而結構化思維是一種有序的網狀思維，既從縱向深入到本質，又能從橫向產生聯系。在數學變式中需要通過形成結構化變式來培養學生的結構化思維。結構化變式需要形成有序的變式網，變式網的形成從縱向看需要有梯度，從橫向看需要有維度，從整體看需要對變式進行結構化整合。

2.3.4 關鍵詞突現分析

依據檢索文獻中關鍵詞在某一時間段出現較大變化的情況，基于CiteSpace的關鍵詞突現分析，得到該領域關于關鍵詞拐點出現及其持續時間的可視化的圖譜，如圖5所示。該領域共出現11個突變強度較高的關鍵詞，分別是：素質教育（4.25）、培養學生（3.24）、變式訓練（3.14）、創新能力（3.37）、數學教學（3.97）、數學課堂（3.2）、課堂教學（4.11）、初中數學（9.46）、高中數學（9.29）、小學數學（4.33）、核心素養（9.38）。

2.3.5 研究導向分析

根據關鍵詞突現及相關文獻的分析，可知數學變式已經廣泛地運用到中小學的數學課堂教學中，數學變式也從零散的變式訓練向系統的變式教學轉變，近20年數學變式有素質教育和核心素養2個導向。

1）以素質教育為導向的數學變式

2001年全國基礎教育工作會議發布了《國務院關于基礎教育改革與發展的決定》，明確提出了加快構建符合素質教育要求的基礎教育課程體系。課堂教學是落實素質教育的主戰場，而變式教學能夠發展學生的

思維和能力，提高學生的綜合素質，所以變式教學是實施素質教育的一個重要途徑。同時創新能力的培養是素質教育必不可少的一部分，可以通過創設開放性的變式問題［32］，加強變式思維的訓練［33］來培養學生的創新能力。

2）以核心素養為導向的數學變式

數學課程的基本理念指出“落實立德樹人的根本任務，提升數學學科核心素養”。所以數學變式不能僅停留在知識的獲得及技能的形成上，使學生的思維得到進階，能力得到提升，促進學生核心素養的發展才是其真正意義所在。在實際的教育教學中，應該將發展數學學科核心素養做為數學變式的高階目標［5］，變式應該成為核心素養視角下深度學習的重要環節［34］，同時核心素養背景下數學作業設計也需要注重變式［35］。

3 數學變式研究的特征與走向

3.1 研究的特征

3.1.1 研究內容從單一到豐富

變式在數學教學中的系統研究與運用首先出現在對數學幾何概念的教學中，顧泠沅提出了概念性變式和過程性變式，概念性變式又可分為概念變式和非概念變式，通過概念性變式，使學生能夠從多角度理解概念，從而深入的理解到概念的本質。過程性變式能夠為學生提供概念形成的動態過程，有利于學生對知識的建構和活動經驗的積累，進而有利于知識的運用和遷移。變式對于我國數學教育具有獨特的優勢，對它的研究也從理論層面逐漸走向實踐層面，同時研究內容的廣度也在不斷的提升，不僅涉及了函數、代數、幾何和概率統計等課程內容領域，對于初高中數學競賽的變式研究與推廣也更加深入與廣泛。并且有學者從數學課型的視角，提出了不同課型的變式教學的基本范式［36］。所以，數學變式的研究內容從單一的幾何概念變式，逐漸走向豐富的多領域、多課型的多元變式。

3.1.2 研究載體從解題到教學

數學變式經歷了從變式訓練向變式教學的轉變。變式訓練是一種解題訓練方式，強調從怎樣解題出發來展開變式，通過編制變式題組，使形成一題多解、多題一解等，但是機械的變式訓練容易造成新的題海戰術。而變式教學是一種教學方法，重在將數學變式融入到數學教學過程中。變式教學不僅可以豐富課堂教學，為課堂教學添彩增色［37］，而且有利于學生建立起對數學概念的多角度理解，增長數學活動經驗，實現知識的融會貫通［38］。

3.1.3 研究目的從熟練做題到培養思維

以往強調通過變式訓練培養學生解決問題的技能和技巧，使學生把握問題的本質，學到解題的通性通法，達到熟練做題的程度。但是這種傳統的變式訓練僅僅使學生的認知水平停留在操作與識別層面，未能達到數學思想的高度［39］。變式教學是從問題的本質特點出發，從不同的角度和方向抓住事物的特殊屬性，進而概括出事物一般屬性的思維方式的教學方法［40］。變式教學能夠激發學生思維的活力，使學生把握思維的本質，理清思維的脈絡，進而培養學生良好的思維品質［6］，同時巧妙的變式教學設計能夠促進學生高效思維的自動化［41］。從不同的變式類型看，概念性變式有助于思維技能的準確把握，過程性變式是促進思維在不同情境間應用和遷移的有效手段［41］。

3.1.4 研究導向從素質教育到核心素養

素質教育是針對應試教育的弊端而提出的以提高國民素質為根本宗旨的教育，有利于培養人的創新精神和實踐能力，促進人的全面發展。但是素質教育在實踐的過程中還存在諸多的難題［42］，這嚴重制約著素質教育的全面發展。而核心素養是對素質教育的繼承和超越，它更加重視對新時代人的素養的培養，更有利于全面把握人的素質結構［43］。所以，以核心素養為導向的數學變式研究更加具有時代特點，更有助于克服應試教育的弊端，促進素質教育的全面發展與實施，同時也更有助于落實核心素養，促進學生的全面發展。

3.2 研究的走向

3.2.1 加強主體合作，構建研究共同體

從研究主體看，該領域研究機構和人員之間的聯系大多比較分散，相互之間的合作還有待加強，中小學一線數學教師應成為研究主力。事實上，由于數學學科的抽象性、應用性等特征，中小學一線教師長期與數學變式打交道，積累了豐富的數學變式及其教學經驗。通過將一線中小學數學教師納入研究共同體，將他們的經驗聚沙為塔，進而上升為具有廣泛實用性的模式、策略，這將極大地推動中國數學變式研究走向世界。

3.2.2 立足課堂教學，滿足學生需要

隨著數學課程改革的逐步深入，那種“頭痛醫頭，腳痛醫腳”的曇花一現的研究形式已經行不通了，數學變式研究的持續性和深度需要進一步提高。課堂教學是數學變式研究的主陣地，學生需要是數學變式研究的內驅力，只有立足課堂教學、針對學生需要的數學變式研究才具有生命力，才能夠具有持續性，達到一定深度。

3.2.3 深挖研究問題，凸顯數學本質

從研究熱點和趨勢看，中小學數學變式主要是以變式教學的方式來呈現，并且變式教學大多是從對問題的變式出發來展開的，同時也包括一些基本課型和具體教學內容的變式研究。但是當前的變式教學還存在諸多不足，這些不足應成為變式研究的問題。一是變式源選取的意義和價值不大。真正有價值的變式源需要蘊含著豐富的數學思想、方法和原理，一定要有利于學生數學思維的提升和數學能力的發展，同時也一定要有利于數學學科核心素養的落實。二是過于追求變式的數量和難度。這就導致變式問題“散、難、多”，進而使課堂目標不聚焦，同時忽視了學生的基本學情，使整個課堂效率低下，不利于多維課堂目標的整體達成。三是在變式教學課堂中學生的主體性需要加強。教師對問題進行變式、學生再解答變式問題的教學模式已不能完全滿足實際的教學需要。學生只能知道問題“到哪里去”，很難了解到問題“從哪里來”，這實際上是形成了新的題海。學生的思維也被老師牽著鼻子走，這不利于學生持續性、整體性的發展。同時要從“雙基”發展為“四基”，學生的變式經驗是基本活動經驗必不可少的一部分。

3.2.4 優化變式教學研究，發展核心素養

一要注重變式教學的針對性研究。所謂的針對性，是指變式教學需要對教學目標聚焦，并且針對教學目標進行有目的的階梯式變式，從而實現目標的逐步達成。二要注重變式教學的整體性研究。所謂的整體性，是指變式教學需要預先的整體設計和規劃，由不同類型的數學變式，不僅促進學生對知識、技能和方法的深入理解，更要有利于學生思維整體性的發展。三要注重變式教學的生主性研究。所謂的生主性，是指學生不僅要成為“解題”的主體，也應成為“變題”的主體，讓學生自主去發現并提出變式問題，培養學生發現問題和提出問題的能力，學生自主提問的過程也是學生深入思考的過程，在這個過程中學生能夠明白變式的來龍去脈，抓住變式的本質，同時學生變式的過程也是學生思維外化的過程，這將有利于教師充分了解學生，進而更好的對課堂進行宏觀調控和微觀調整。四要注重變式教學的高階性研究。所謂的高階性，是指通過變式教學使學生達到高階學習，培養學生的高階思維，從布盧姆教育目標分類學來看，培養高階思維就是要使學生的數學學習不僅限于達到記憶、理解、應用的低階水平維度，而需要更進一步達到分析、評價、創造的高階水平維度。同時高階的變式教學需要將促進學生數學學科核心素養的發展作為變式教學的高階目標。

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Changes of Chinese “Mathematical Variation” Researchin the Past Two Decades：An Analysis Based on Visual Data

LUO Ke-yu，TANG Qiang

（School of Mathematics and Information，China West Normal University，Nanchong Sichuan 637009，China）

Abstract：Variation and its teaching are one of the characteristics of Chinese mathematics education and teaching.Taking the mathematical variation of primary and secondary schools as the theme，this paper visually analyzes the research subjects，hot spots and trends in this subject field from the perspective of authors，institutions and keywords，based on the database of China National Knowledge Infrastructure （CNKI） and with the help of the software Citespace.In terms of research subjects，the connection between research institutions and researchers is relatively loose，so it is necessary to strengthen the cooperation of subjects and build a research community.In the aspects of research hotspots and trends，the mathematical variation of primary and secondary schools takes geometry as its main content，teaching as its carrier，and the improvement of students’ thinking as its purpose.The research content is multi-field and multi-class，so it is necessary to rely on classroom teaching to meet the needs of students.At the same time，it is essential to dig deep into research problems and highlight the essence of mathematics.In addition，the core quality-oriented variation teaching is a major trend of research，and it is a must to strengthen the optimization of variation （teaching） research and development of core literacy.

Keywords：mathematical variation；CiteSpace；literature review；visualization map；primary and secondary schools