中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化融入數(shù)學課程的價值探析

摘 要：中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化融入數(shù)學課程有著獨特的教育價值——作為工具提供探究背景、解釋知識緣由、彰顯思想方法，從而促進數(shù)學學習；作為目標培育數(shù)學觀念、堅定文化自信、涵育中華精神，從而實現(xiàn)學科育人。這兩個價值面向雖有區(qū)別卻相關聯(lián)。

關鍵詞：中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化；中國古代數(shù)學；數(shù)學課程；教育價值

2021年1月，教育部印發(fā)《中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進中小學課程教材指南》，首次對中小學課程教材如何有效落實中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育進行頂層設計。2022年4月，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在“課程理念”中，首次將“繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”作為課程內容選擇的原則之一。［1］為什么要將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化融入數(shù)學課程？換言之，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化融入數(shù)學課程有怎樣的教育價值？

一、 作為工具：促進數(shù)學學習

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化歷史悠久，富含中國特色，具有一定的世界影響，是數(shù)學學習的重要資源庫。其中許多知識、思想及其背景等都可以通過適當轉化融入數(shù)學課程，作為工具促進學生數(shù)學學習。

（一） 提供探究情境

新課標在“教學建議”中，強調了情境設計和問題提出，特別指出要“注重真實情境的創(chuàng)設”。［2］好的情境和問題可以促進學生積極主動參與數(shù)學學習活動，在分析及解決問題的過程中提升數(shù)學核心素養(yǎng)。中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化博大精深，許多促進數(shù)學知識產生、發(fā)展及應用的情境都可以被直接或改編運用到數(shù)學教學中。這樣的情境可以較好地反映數(shù)學學習的必要性及重要性，而且具有本土特色。

宮、商、角、徵、羽是中國古代的基本音階，所謂“五音不全”中的“五音”就是指這五個音調。不同的音是如何產生的呢？古人發(fā)現(xiàn)：半徑固定、長度也固定的管子所發(fā)出的聲音是確定的；半徑相同時，管子越長，所發(fā)出的聲音越低，因此，確定音高的關鍵在管長。中國古代計算音高的主要方法是“三分損益法”。三分損益法就是：先選一個起始律管（確定音高的管子），其發(fā)出的音是基本音“宮”，將起始律管的長度分成三份，去其一份為“損”，即律管長度乘以23；增其一份為“益”，即律管長度乘以43。損和益交替進行幾次，就可逐步得到其他律管長度，產生其他四個音階。［3］《史記·律書》記載：“九九八十一以為宮，三分去一五十四以為徵，三分益一七十二以為商，三分去一四十八以為羽，三分益一六十四以為角。”［4］《史記·律書》中選取的基本律管長度為81，以先損后益的方法推算得其他音階對應的律管長度。這種推算律管長度的方法依賴于分數(shù)的乘法及加減法，可以作為分數(shù)乘法學習的探究情境。這樣的跨學科探究情境貼近生活現(xiàn)實，有利于調動學生的內驅力。在求解律管長度的探究過程中，學生可以充分體會分數(shù)乘法運算的意義，增強理解現(xiàn)實世界、解決真實問題的能力。

（二） 解釋知識緣由

新課標在“教學建議”中，強調了教學內容結構化，特別指出要“了解數(shù)學知識的產生與來源、結構與關聯(lián)、價值與意義”。［5］邏輯與歷史是梳理及分析數(shù)學內容的兩個重要維度。其中，歷史情境中知識的來龍去脈蘊含著知識建構的根源，體現(xiàn)著知識生成的意義，還昭示著某些知識之間的內在關聯(lián)，這些都有利于學生對數(shù)學本質的深入理解。中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化源遠流長，如今數(shù)學教學中的許多知識緣由都可以從中探尋，例如為什么要研究小數(shù)；而且，有些知識緣由只能從中尋找，例如為什么小數(shù)不小卻被稱為小數(shù)。

最早提出小數(shù)概念的是魏晉時期數(shù)學家劉徽，他給《九章算術》“少廣”章中的“開方”作注時說：“微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退至彌下，其分彌細……”［6］這是劉徽在已知方田面積求邊長而開方開不盡時的處理方法，無名者指的是沒有單位名稱的數(shù)。中國古代數(shù)學家樂于以度量衡單位表示不滿整數(shù)的零頭數(shù)，劉徽在長度的記法中就用到了丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽八個從大到小的長度單位［7］。受十進制計數(shù)法影響，其中相鄰的長度單位之間均為十進關系。例如，8.66025寸被劉徽記為8寸6分6厘2秒5忽。小數(shù)數(shù)位少時，這樣處理可以，但小數(shù)位數(shù)多時，這樣處理就很不方便了。如此精細的單位并沒有多大的功利或實用方面的價值，所以這些單位更可能是出于計量理論或數(shù)學方面的考慮。［8］ 劉徽在“開方”注中打破了數(shù)的表示對計量單位的依賴，指出開不盡的數(shù)在沒有單位名稱可用時，可不借助度量衡單位標志。由于人們已經熟知和習用十進長度單位制，所以劉徽以10的整數(shù)次冪為分母。小數(shù)誕生的緣由揭示了其與度量衡、十進制計數(shù)法、十進分數(shù)、開方的內在關聯(lián)，也說明了測量情境之于小數(shù)的重要性。這里的“微數(shù)”即為“小數(shù)”的濫觴，表示不足一的微小的數(shù)，即我們現(xiàn)在說的純小數(shù)。后來，小數(shù)這一術語含義擴展，舊瓶裝新酒，用來泛指含有小數(shù)部分的數(shù)，字面意思與概念內涵也就不同了。

（三） 彰顯思想方法

數(shù)學學習不僅要學習知識內容，而且要學習思想方法，后者是數(shù)學的靈魂。在時間的長河里，從宏觀而非局部的角度審視數(shù)學，更容易識別那些具有重要意義的思想方法。我國古代的幾何學沒有像古希臘一樣建立比較嚴格的演繹推理體系，但也創(chuàng)造了具有東方特色的邏輯推理方法。

特色之一是，提出看似顯然的出入相補原理，并將其應用于多種多樣的問題解決。著名數(shù)學家吳文俊用現(xiàn)代語言描述了出入相補原理：一個平面圖形從一處移置他處，面積不變；又若把圖形分割成若干塊，那么各部分的面積和等于原來圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡單的相等關系。立體的情形也是這樣。［9］出入相補原理的應用之一是面積求解。《九章算術》中首先給出基本圖形方田（長方形）的面積為“廣、從步數(shù)相乘”，即長乘以寬；然后給出“圭田”（三角形）的面積為“半廣以乘正從”，即半底乘高。對此，劉徽注曰：“半廣者，以盈補虛為直田也。”也就是，通過出入相補原理，將三角形轉化為矩形，從而得到三角形的面積公式［10］，如圖1所示。對于邪田（直角梯形）、箕田（一般梯形），劉徽也通過出入相補原理求其面積。出入相補原理可將矩形、平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積求解聯(lián)系起來，不同圖形的面積求解最終歸于矩形的面積也體現(xiàn)著轉化的思想。出入相補原理具有直觀性，可通過操作驗證，適合小學生積累數(shù)學活動經驗，嚴格論證合理性則需要用到初中三角形全等等知識。這樣的情境可以將小學與初中不同知識聯(lián)系起來，有利于學生體會操作與論證各自的魅力。

二、 作為目標：實現(xiàn)學科育人

除了作為工具，了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化本身就是一種教育目標，包括了解我國數(shù)學演進發(fā)展、主要成就，了解我國著名數(shù)學家等。這些目標本質上是學科育人的目標，可以在數(shù)學學習中潛移默化地達成，與數(shù)學學習相得益彰。

（一） 培育數(shù)學觀念

除了掌握具體數(shù)學知識，解決具體情境中的數(shù)學問題，學生還應對作為一門學科的數(shù)學的本質和作用有一定的洞察力，形成一些有關數(shù)學與自然、社會和文化之間關系的觀念。 ［11］

我國古代數(shù)學植根于中華傳統(tǒng)文化經脈中，其發(fā)展有著不同于西方數(shù)學的一面，是培育學生全面數(shù)學觀不可或缺的素材。

例如，我國古代分數(shù)理論的發(fā)達與律學有密切關聯(lián)：律學即研究音樂所用音律的科學，律學的核心問題是確定以管長為標尺的基本音程；長期以來，律學家都采用三分損益法確定律管長度，而這是一種依賴于分數(shù)四則運算的數(shù)學方法［12］。此外，研究年月日和時令季節(jié)的古歷都依據(jù)分數(shù)形式的基本數(shù)據(jù)制定，這也大大刺激了分數(shù)理論的發(fā)展。除了數(shù)學與音樂、天文等學科的關聯(lián)，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化中也有很多素材展示了數(shù)學與生活乃至社會文化背景的密切關聯(lián)。例如，《九章算術》中許多平面圖形稱為“某某田”，反映了古代圖形面積的知識源于土地測量；《九章算術》中的大量度量衡單位換算問題，與秦漢時期度量衡統(tǒng)一的背景密切相關；而修馳道、治溝洫、建官倉、整頓邊防等在《九章算術》“商功”章也都有反映。數(shù)學還影響了人們的語言表達，如咫尺天涯、半斤八兩、錙銖必較、千鈞一發(fā)等成語都巧用了數(shù)學計量單位。

（二） 堅定文化自信

文化自信是一個國家、一個民族發(fā)展中最基本、最深沉、最持久的力量。面對西方文化沖擊，弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化對于堅定文化自信具有重要意義。我國古代數(shù)學雖然注重實用，沒有發(fā)展出西方的演繹體系，但是在諸多方面也曾取得領先世界的成就，對印度、阿拉伯等地區(qū)產生重要影響。

以數(shù)的表示為例，用十個記號及位置表示一切實數(shù)是一種深遠而重要的思想。古巴比倫人采用六十進制。古埃及雖然采用十進制，但是沒有位值概念。我國距今三千多年之前的殷墟甲骨文就已采用十進制計數(shù)法，春秋戰(zhàn)國時期算籌計數(shù)標志著十進位值制完全確立。此外，至戰(zhàn)國時期，我國已掌握分數(shù)四則運算規(guī)律。埃及較早有分數(shù)的表達及運算，但是將分子不為1的分數(shù)化為煩瑣的單位分數(shù)之和。歐洲直到文藝復興時期才有系統(tǒng)的分數(shù)算法及理論。公元3世紀，劉徽就明確提出小數(shù)概念。由于統(tǒng)一的十進單位制出現(xiàn)較晚，西方直到16世紀才有人注意到小數(shù)。受經濟生活中不足和虧損的推動，負數(shù)概念也很早就在中華大地萌芽，《九章算術》明確引入負數(shù)處理被減數(shù)小于減數(shù)的情形，正負術則是世界上負數(shù)加減法則的最早記錄。印度人在公元7世紀左右開始認識到負數(shù)。歐洲則直到16、17世紀還有人不承認負數(shù)。

（三） 涵養(yǎng)中華精神

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化積淀著多樣的精神財富，中國古代數(shù)學家的人格特質、學術態(tài)度等是數(shù)學教學中實施德育的理想素材，而數(shù)學家的專業(yè)能力、教育背景、工作環(huán)境等則可以幫助學生更好地了解科學研究情境。這些都有助于涵養(yǎng)中華精神。

三國時期，布衣數(shù)學家趙爽為生計而辛勞，卻“負薪余日，聊觀《周髀》”，珍惜光陰，勤奮鉆研。南北朝時期，祖暅研究專注，“當其詣微之時，雷霆不能入”——對數(shù)學的執(zhí)著與熱愛可見一斑。著名數(shù)學家、天文學家祖沖之編制大明歷時，遭到保守勢力反對。祖沖之據(jù)理力爭，“愿聞顯據(jù)，以核理實”，“浮辭虛貶，竊非所懼”——為了明辨是非，他建議彼此拿出明確的證據(jù)來討論；至于那些捕風捉影無根據(jù)的貶斥，他也絲毫不畏懼。公元3世紀中國古典數(shù)學理論奠基人之一劉徽提出十進制小數(shù)、正負術、割圓術等重要數(shù)學思想。劉徽重視理論研究與時代背景密切相關。魏晉以來以“析理”為要點的辯難之風興起，學者互相辯難，追求理勝，體現(xiàn)在數(shù)學上則是證明大量從經驗中生成的數(shù)學結論。劉徽本人也具有很高的科學素養(yǎng)，博覽群書，“采其所見”，汲取已有學者想法用于自己的數(shù)學創(chuàng)造，尊重前人卻不盲從。他指出《九章算術》多處不精確之處及錯誤，謹慎坦率；他分析了牟合方蓋與球體積的關系，但是未能求得牟合方蓋的體積，于是明確指出“敢不闕疑，以俟能言者”。

作為工具和作為目標，是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化在教育場景的兩個價值面向，二者雖有區(qū)別卻相關聯(lián)。傳統(tǒng)數(shù)學文化作為工具促進數(shù)學學習時，往往稍作延伸引導便可達成了解傳統(tǒng)數(shù)學文化的目標；而要想深入了解某些傳統(tǒng)數(shù)學文化，必須學習理解其中的數(shù)學元素。

參考文獻：

［1］［2］［5］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：2， 87， 85.

［3］［6］［7］［8］［9］［12］ 劉鈍.大哉言數(shù)［M］.北京：商務印書館，2022：105，116， 117， 113， 358，104105.

［4］ 司馬遷.史記（三）［M］.韓兆琦，譯注. 北京：中華書局，2010： 2003.

［10］ 郭書春.九章算術譯注［M］.沈陽：遼寧教育出版社，1998：57.

［11］ M. Niss， T. Hjgaard. Mathematical competencies revisited［J］.Educational Studies in Mathematics，2019（1）： 928.

（孫丹丹，山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，博士。主要研究方向：數(shù)學史與數(shù)學教育。）