中華優秀傳統數學文化融入綜合與實踐領域的思考與探索

摘 要：中華優秀傳統數學文化同綜合與實踐領域關系密切——傳統數學文化有利于綜合與實踐活動的目標達成、內容開發、特點發揮，綜合與實踐活動也能發揮和體現傳統數學文化的主題優勢、應用價值。傳統數學文化融入綜合與實踐領域，有助于推動核心素養的落地，促進思想方法的凝練，實現學習路徑的拓寬，助力教學資源的開發。通過傳統數學文化的搜集與整理、篩選與解讀、分析與關聯、設計與融合，可以有效地實現綜合與實踐活動的效果。

關鍵詞：中華優秀傳統數學文化；中國古代數學；綜合與實踐

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在育人導向、課程結構、教學內容等多個方面作出了較大的調整。其中，在教學內容方面，“綜合與實踐”領域的修改最為明顯，主要表現為增加了課時容量，擴大了內容范圍，提供了參考范例。此外，新課標也非常注重中華優秀傳統數學文化（以下簡稱“傳統數學文化”）的融入，在修訂原則、課程理念、實施建議、評價建議、教材編寫建議等方面多次提到傳統數學文化，把傳統數學文化的育人功能提升到一定的高度。面對這些變化，本文重點探討傳統數學文化和綜合與實踐領域的關系，以及傳統數學文化融入綜合與實踐領域的教育價值與教學要點。

一、 傳統數學文化和綜合與實踐領域的關系

傳統數學文化同綜合與實踐活動在教學目標、教學內容、學習特點等方面有相似性，兩者是互相促進，相輔相成的。

（一） 傳統數學文化助力綜合與實踐活動開展

1. 傳統數學文化有利于綜合與實踐活動的目標達成

數學課程的目標主要分為實踐性目標和智力性目標。前者表現為數學課程的學習可以為解決日常生活和科學發展中的問題提供數學工具和方法。小學數學的內容多半有明顯的實際背景，可以用來解決實際問題。［1］這一特點在綜合與實踐領域體現得尤為明顯。《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調，綜合運用數學內部各領域的知識和方法解決問題。與之相比，新課標更加重視數學與其他學科知識之間、數學與科學技術和社會生活之間的聯系。而為社會實際服務正是中國古代數學的傳統，也是它的特色。與外國古代數學著作相比，中國古代數學在學以致用方面可謂獨樹一幟。［2］因此，傳統數學文化同綜合與實踐活動的目標具有高度的一致性。

2. 傳統數學文化有益于綜合與實踐活動的內容開發

義務教育階段的綜合與實踐主要包括主題活動和項目學習，其中小學以主題活動為主。新課標又把主題活動分為兩類：一是融入數學知識學習的主題活動；二是運用數學知識及其他學科知識的主題活動。在新課標列舉的可供參考的主題活動中，與傳統數學文化聯系密切的有“身體上的尺子”“年、月、日的秘密”“曹沖稱象的故事”“度量衡的故事”“具有相反意義的量”以及“圓周率的故事”等，占相當大的比例。教學過程中應充分發揮傳統數學文化系統性、全面性的特點，使主題活動的價值最大化。在此基礎上，還應繼續開展如下兩方面的活動：一是以更廣闊的視野，從世界數學文化中汲取養分，將世界數學文化融入其中，以便更好地開展綜合與實踐主題活動；二是借鑒綜合與實踐活動的形式，將傳統數學文化融入更多領域的教學內容中，比如以主題活動的形式開展單元整體教學——這也符合新課標提出的“自主設計形式多樣、富有趣味的活動”的要求。

3. 傳統數學文化有助于綜合與實踐活動的特點發揮

綜合與實踐領域的教學具有其他領域所不具有的特點。一是多學科綜合。這一點明確包含在綜合與實踐領域的教學目標中，無須贅言。除此之外，綜合還應體現在該領域內容與傳統數學文化以及現代信息技術手段的深度融合上。二是多場景應用。新課標指出，項目式學習可以采用“課內+課外、校內+校外、集中+分散”等靈活的方式進行。同樣，主題活動也可以采用這一模式，同時可以適當改為以“課內、校內、集中”為主，以“課外、校外、分散”為輔的形式。三是多主體參與。綜合與實踐的“多場景應用”和“長時間學習”活動方式，特別是在資料搜集、方案設計、場景選擇等方面，需要學生、教師乃至家長都成為學習活動的主體。從傳統數學文化的角度看，可以通過經典數學名著、歷史流傳或考古發現的與數學文化有關的文物、散落在其他歷史典籍或學科著作中的數學內容以及近代以來的各類數學史專著等渠道，廣泛發動師生家長，從報刊書籍、博物館、網絡等多種途徑搜集資料，并將研究成果在學校、家庭、社區等多種場合展示。

（二） 綜合與實踐活動助推傳統數學文化落地

新課標明確指出，將中華優秀傳統文化等重大主題教育有機融入課程。除了在日常教學中有機滲透，綜合與實踐活動是助推傳統數學文化落地的最佳載體。

1. 綜合與實踐活動能發揮傳統數學文化的主題優勢

中國古代數學最基本的特點是具有鮮明的社會性。通觀中國古代數學著作的內容，幾乎都與當時社會生活的實際需要有著密切的聯系。［3］這些內容既與生活實際密切聯系，又經過了分類整理，而不同典籍中的相關內容還存在一脈相承的關系。從主題活動的角度看，傳統數學文化的融入具有先天優勢。經典數學著作中各部分的內容，如《九章算術》中的“方田”“粟米”等，《五曹算經》中的“田曹”“兵曹”等，都屬于廣義的研究主題；而《九章算術》中的平面圖形的面積計算、立體圖形的體積計算、各種糧食按比例兌換的計算等，《孫子算經》中的度稱量（度量衡）單位等，都是專項的活動主題。只要對這些主題進行適當的挖掘和整理，便能使其以綜合與實踐活動的形式呈現。

2. 綜合與實踐活動能體現傳統數學文化的應用價值

傳統數學文化重視實際應用，它與農業、天文、醫學、音樂等有著千絲萬縷的聯系，體現了數學作為基礎學科的重要價值。傳統數學文化中，各類數學專著，如《九章算術》《五曹算經》《周髀算經》等，都體現了利用數學知識解決實際問題、利用實際問題承載數學知識的特點。在其他幾個領域的教學中，教學內容所涉及的數學知識往往比較聚焦，更加注重數學本身的內在邏輯。在這種情況下，即使安排了相應的應用問題，其背景與情境也相對單一，且經過了初步的抽象，不是真正的現實問題，因而，傳統數學文化豐富、全面、綜合的優勢在一定程度上受到了限制。而綜合與實踐活動注重多學科互動，注重實際問題的解決，更能充分發揮傳統數學文化的應用價值。以綜合與實踐活動的形式承載傳統數學文化，能架起傳統與現實之間的橋梁，展現傳統數學文化的強大生命力。

此外，在綜合與實踐活動中促使傳統數學文化落地，不僅可直接運用于解決實際問題，而且體現了各個歷史時期社會發展的需要，反映了中國古代勞動人民積極向上的精神面貌和勇于探索的優秀品質，這無疑對發展學生核心素養有極大的助益。

二、 傳統數學文化融入綜合與實踐領域的教育價值

綜合與實踐領域有著獨特的教育價值，能讓學生在現實情境中發現數學問題，通過探究和合作運用數學語言表述問題，并合理運用數學知識解決問題。［4］為了充分實現綜合與實踐活動的價值，僅憑教材中有限的資源是不夠的。將傳統數學文化融入綜合與實踐領域，能從不同層面實現兩者的價值。

（一） 推動核心素養的落地

新課標修訂原則指出，要堅持創新導向，強化課程綜合性和實踐性，推動育人方式變革，著力發展學生核心素養。可見，綜合與實踐活動是發展學生核心素養的重要載體。核心素養包括必備品格與關鍵能力兩方面，具體到數學學科教學，必備品格主要表現為具有學科特質的品格，關鍵能力體現為“三會”目標。數學課程中具有學科特質的品格受到數學學科精神的直接影響。如在“圓周率的故事”中，可以引導學生理解與體會劉徽等古代數學家對錯誤知識的質疑批判和對數學真相孜孜不斷的追求。對于關鍵能力，綜合與實踐活動中情境真實、較為復雜的問題，更加有利于“三會”目標的實現。以“度量衡”中的“衡”（質量單位）為例，結合傳統數學文化，以主題活動的形式開展學習，將有助于學生運用數學的眼光，把物體的稱量這一實際問題轉化為稱量單位的多少的數學問題。同時，這也有利于學生運用數學的思維，借助已有的在長度、面積等概念形成過程中獲得的經驗、方法解決更為復雜、抽象的質量單位問題，并將長度、面積、質量這些度量單位的發展過程進行比較。最后，學生還需運用數學的語言，通過簡潔有效的表達，與同伴交流質量單位統一和完善的必要性。

（二） 促進思想方法的凝練

綜合與實踐活動涉及多學科，跨越課內外。教學中為了避免目標分散等問題，必須凝練出明確的核心思想方法。傳統數學文化在漫長的發生發展、鞏固應用的過程中，總是與實際問題相依相伴。在不斷解決實際問題的過程中，數學知識得到了發展，思想方法得到了提煉。以“圓周率的故事”為例，關于圓周率，傳統數學文化中最為人所熟知的是祖沖之將圓周率計算到小數點后七位，但人們往往關注了結果，而忽視了過程。早在春秋戰國時期，人們就已經提出了關于圓周率的看法：“周三徑一。”這一極為粗略的值一直沿用到魏晉時期，才由劉徽正式提出質疑并得出了更為精確的值。可以說，如果沒有劉徽的割圓術以及其中包含的極限思想，人們對圓周率的認識在很長時間內還將停留在“周三徑一”的水平。因此，以主題活動的形式研究圓周率，不是簡單地了解幾個人物，知道一些結論，而要讓學生經歷圓周率不斷精確的過程，更為重要的是，體會這一過程中蘊含的核心思想方法。核心思想方法的凝練，既發揮了傳統數學文化的優勢，又確保了綜合與實踐活動的學科特質。

（三） 實現學習路徑的拓寬

傳統數學文化中，不同時期、不同人物對某一主題的研究形成了不同的路徑和結論，這些都是拓寬綜合與實踐活動路徑的有力依據。事實上，綜合與實踐活動更適合作為一種教學理念和方式，而不僅僅是作為一個學習領域。以主題式或項目化的視角看待教學活動，可以使我們的教學視野更加開闊。以“圓的認識”為例，如果把認識圓、研究圓視為一種學習主題，再結合傳統數學文化，則將獲得至少兩種不同的教學路徑。一是源于觀察實踐的路徑。即用不同的工具嘗試畫圓，從得到的不同結果中反思所用工具對畫圓的影響，總結出圓的兩大要素——圓心和半徑。二是源于類比思考的路徑。即以正六邊形為基礎，不斷畫出更多邊數的正多邊形，在此過程中體會從中心點出發所作的等長線段的數量變化引起正多邊形的形狀變化，進而概括圓的要素，體會半徑的特征。兩種路徑都與傳統數學文化中關于圓的概念形成過程有關，分別指向人們認識圓的兩條不同途徑，但兩者都能做到殊途同歸，指向“一中同長”。

（四） 助力教學資源的開發

數學教材受篇幅和學時所限，大多只能從知識的邏輯性出發，對從古至今的數學內容做高度概括和總結。［5］受限于此，數學發展過程中大量豐富、生動的素材都只能棄之不用。這對學生準確把握數學的本質，形成正確的數學觀是極為不利的，也和綜合與實踐活動相對開放的理念不符。將傳統數學文化融入綜合與實踐活動，既能將傳統數學文化的價值最大化，又能解決綜合與實踐活動資源不足、徒有形式的弊端。傳統數學文化中可用于綜合與實踐活動的素材不勝枚舉，僅就上文列舉的幾個主題活動而言，就可以找到豐富的素材。如《九章算術》等典籍中以“步”作單位來度量長度和面積這一素材，可用于“身體上的尺子”的學習；將殷商時期甲骨文中記錄的“一年有36514日”與《史記》中記載的“歲三百六十六日，以閏月正四時”相結合，對研究“年、月、日的秘密”中的閏年有著重要的意義；《孫子算經》中各種度量單位的起源以及相互關系，是學習“度量衡的故事”的重要依據；與“具有相反意義的量”相關的傳統數學文化素材也很豐富，不僅有劉徽對用算籌表示正負數的規定（正算赤，負算黑），更有諸多關于正負數表示相反意義的量的實例。可以說，僅是一部《九章算術》及其劉徽注，其中的教學素材就足以涵蓋小學數學的大部分領域和內容。

三、 傳統數學文化融入綜合與實踐領域的教學要點

根據綜合與實踐活動的特點和實際需求以及傳統數學文化的育人價值，可以形成傳統數學文化融入綜合與實踐領域的教學要點。

（一） 搜集與整理

獲取傳統數學文化的途徑主要有數學典籍、數學史著作、歷史文物等。在搜集過程中，以中華優秀傳統數學文化為主的同時，也應根據實際需要，適當融合其他文化，如國外數學文化、現代數學文化以及現代信息技術手段等。比如，與“度量衡”中的“衡”相關的傳統數學文化素材有很多，《中國古代度量衡》《中國古代度量衡圖集》《中國科學技術史（度量衡篇）》對此進行了詳盡論述，博物館等場館中也有大量的相關權衡實物，國外的數學史、科技史論著中也有“衡”的發展介紹。搜集到相關的資料后，還應根據綜合與實踐活動的特征以及當前研究主題的需求進行適當整理，以備進一步的處理。比如，上述與“衡”相關的素材有很多，但是考慮到“權衡與質量”學習是學生接觸質量概念的開端，需要更好地發展學生的質量量感，而且，以操作性活動開展教學更能凸顯綜合與實踐活動的特點，在資料的整理過程中重點整理了與衡器相關的素材，特別是與天平功能相同的衡器。充分的資源準備，可以使綜合與實踐活動在注重開放性的同時，又能兼顧學習活動的有效性。

（二） 篩選與解讀

從不同渠道搜集到的素材或資源都有其特定的價值，如創設情境、提供素材、鋪設路徑、拓寬思路、增強體驗等，但是對綜合與實踐活動而言，要具有開放性和可操作性，因此并不是所有的素材或資源都適合主題活動或項目學習。為了凸顯綜合與實踐活動的特征，需要圍繞活動主題和核心目標篩選最為重要的素材。同時，由于傳統數學文化本身表達方式等原因，加上部分內容較為隱晦、復雜，為了達到預期的教學效果，需要確保教師自身對其中包含的數學內容的理解準確無誤，故此應對篩選得到的素材進行解讀，使其更加適應學生的認知水平和活動的實際需求。比如，“權衡與質量”的教學目標主要是：在模擬中國古代稱重的過程中，感受重量概念發展的關鍵步驟，發展質量量感；在數學學科實踐中，了解中國古代科技，感悟中國古人的智慧。在這樣的目標指引下，我們以衡器的發展為主線，重點篩選出了中國古代的衡器，如戰國時期楚國的木衡、明代的戥子（桿秤）等。然后聚焦篩選出的素材，進行教育取向的解讀。衡器的出現是社會發展伴生的精細刻畫的需要，實現了從粗糙交換到等重量交換再到稱出不同物品的重量以實現更大規模、更為精準的交換的需要。楚國木衡的兩個構件，木衡實現了等重量交換，權（相當于天平的砝碼）的加入可以稱出不同物品的重量。因此，權的出現與標準化的過程就是衡發展的關鍵，度量單位產生的必要性、標準化與擴充。

（三） 分析與關聯

傳統數學文化與學生之間存在一定的距離，用于教學前，應根據活動的目標，對已有的素材和資源進行分析，包括是否能與教材內容兼容，需要做哪些調整與鋪墊，以怎樣的方式呈現易于被學生接受等。在分析的基礎上，應充分考慮傳統數學文化浸潤、教學目標達成、學生能力發展之間的關系，明確所選的傳統數學文化在創設教學情境、形成活動序列、突出教學重點、突破教學難點、提升學生認知等方面所能發揮的作用。比如，從“權衡與質量”的教學目標中可以發現，模擬中國古代稱重的過程、感受重量發展的關鍵步驟是教學的重要環節，但是，直接模擬古代稱重的過程與我們今天直接用天平稱重沒有本質的差別。因此，需要將感受重量發展的關鍵步驟與模擬古代稱重的過程相結合，將度量單位產生的必要性、標準化與擴充融入其中。在長度測量經驗的加持上，學生在重構的中國古代重量發展的過程中，通過操作，圍繞量感發展的核心稱重單位展開學習，將有助于教學目標的實現。

（四） 設計與融合

綜合與實踐活動的設計，不僅要關注知識、技能目標的達成，更要關注核心素養的落實；不僅應關注課時目標的完成，更應關注整體目標的實現。為此，應更具有整體性、連貫性：除了本課時、本活動之外，應體現相關教學內容與教學活動之間的呼應與互通。同時，應特別注意避免使傳統數學文化游離于教學活動之外或僅作為點綴，特別注重將傳統數學文化由歷史形態、數學形態轉化為教育教學形態，以學習活動的素材、路徑、方法等形式成為教學活動的有機組成部分，以單元整體乃至整個知識領域的視角推進學習活動的開展。比如，在“權衡與質量”的教學中，設計了四個主要任務：第一個任務是分組用花生、小球等稱量神秘物品的重量，思考為什么稱出相同質量的神秘物品卻用了不同個數的花生、小球，借此引出要想稱出物品的重量需要統一稱重單位，不同花生的重量不同，因此不能作為稱重單位；第二個任務是用小球稱重三種重量的物品，結果發現小球只能稱出其中的一種物品，更重的物品需要更大的稱重單位，更輕的物品需要更小的稱重單位；第三個任務是兩組對比，一是呈現木衡構件權，讓學生認識到小球、更輕的小球、更重的小球的功能就是木衡中的多個權，二是呈現古代衡的發展歷程，讓學生與自己學習的過程對比；第四個任務是呈現案秤，讓學生找出權在哪里、衡在哪里，為衡器的發展鋪墊。整個融入中華優秀傳統文化的綜合與實踐活動，以衡器的發展為隱線，以動手操作為明線，實現了數學核心素養發展，同時很好地為后續質量的學習進行了鋪墊。

總之，作為數學史的重要組成部分，傳統數學文化能把壓縮了的數學知識的發生、發展過程重新復原，展現它的全貌。以綜合實踐活動的形式融合傳統數學文化，學生能夠更加充分地參與到數學發展的各個關鍵歷史節點，體驗作為數學發展的親歷者和推動者的成就感。

參考文獻：

［1］ 張奠宙，孔凡哲，黃建弘，等.小學數學研究［M］.北京：高等教育出版社，2009：23.

［2］ 李迪.中國數學史大系（第一卷）［M］.北京：北京師范大學出版社，1998：15.

［3］ 劉邦凡.中國邏輯與中國傳統數學［D］.天津：南開大學，2004：38.

［4］ 黃友初.小學數學綜合與實踐教學的內在邏輯與實施要點［J］.數學教育學報，2022（5）：2428.

［5］ 梁俊.數學名著的教育價值研究［D］.大連：遼寧師范大學，2008：12.

（岳增成，杭州師范大學經亨頤教育學院，副教授。數學史與數學教育工作室小學教研基地負責人。李建良，浙江省杭州市蕭山區夾灶小學。）