隱性直線型路徑問(wèn)題的解法探究

摘" 要：2019年貴陽(yáng)市中考題中有一道題隱性路徑問(wèn)題，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，屬于直線型路徑問(wèn)題，試題有一定的難度.文章重點(diǎn)分析該題解題思路，并給出該題的六種解法，以期對(duì)讀者提供破解隱性直線型路徑問(wèn)題的思路與方法.

關(guān)鍵詞：矩形；隱性路徑；直線型路徑；旋轉(zhuǎn)；相似；解法探究

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）17-0002-03

收稿日期：2024-03-15

作者簡(jiǎn)介：張成林（1981.3—），男，甘肅省武都人，本科，中小學(xué)一級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

隱性路徑包括直線型路徑與圓弧型路徑.隱性路徑問(wèn)題是歷年中考的熱點(diǎn)，倍受命題者的青睞.這類問(wèn)題通常考查勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換以及平面直角坐標(biāo)系等［1］，其綜合性較強(qiáng)，具有一定的選拔性功能，對(duì)學(xué)生而言具有一定的難度.筆者以2019年貴陽(yáng)市的一道中考題為例，對(duì)這類問(wèn)題的解題思路進(jìn)行分析，并給出六種不同的解法，供讀者參考.

1" 試題呈現(xiàn)

（2019年貴陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)第15題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，∠DCA=30°，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作∠DFE=30°的直角三角形DEF，使點(diǎn)E和點(diǎn)A位于DF兩側(cè)，點(diǎn)F從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是.

2" 思路分析

思路1" 如圖2（a）， 要化動(dòng)為靜，“主動(dòng)點(diǎn)”是點(diǎn)F，點(diǎn)E是因點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，不妨稱之為“從動(dòng)點(diǎn)”.先確定“從動(dòng)點(diǎn)”E運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)E1和終點(diǎn)E3，再選取運(yùn)動(dòng)過(guò)程中若干個(gè)特殊點(diǎn)（這里選點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)F2位置）對(duì)應(yīng)的 “從動(dòng)點(diǎn)”為E2，畫出這三個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)圖，猜想點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形，然后簡(jiǎn)單證明猜想.如圖2（b），E1是點(diǎn)F與A重合時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，是一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與定線段DE1的夾角不變，即∠DE1En=∠DAFn=60°.再根據(jù)相關(guān)計(jì)算公式計(jì)算出路徑的長(zhǎng)，如圖2（c）所示.

思路2" 如圖3，分別過(guò)點(diǎn)F，E作y軸、x軸的平行線相交于G，交y軸于H.易得△FGE∽△EHD，OC所在的直線解析式為y=33x.設(shè)點(diǎn)Fm，33m，E（x，y），OD=433，則HE=x，EG=m-x，GF=y-33m，HD=y-433，根據(jù)△FGE∽△EHD，列出方程，消去m，即可得出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的函數(shù)關(guān)系式， 據(jù)此可以判斷點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是一條線段.

思路3" 問(wèn)題中，不變的量有：D是定點(diǎn)，∠FDE=60°，∠DFE=30°， 點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑為線段AC，△FDE的形狀保持不變（大小在變）.如圖4（a）， 延長(zhǎng)DE到點(diǎn)E′，使得DE=EE′，通過(guò)觀察這些點(diǎn)的位置可以發(fā)現(xiàn)，它們?cè)谝粭l直線上.從圖4中可以直觀地看出點(diǎn)F繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后各個(gè)時(shí)刻的情況.圖4（b）中是△FDE在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各個(gè)時(shí)刻的具體情況，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中E和E′的連線始終過(guò)點(diǎn)D，知E和E′的運(yùn)動(dòng)路徑之間滿足以點(diǎn)D為位似中心的位似關(guān)系［2］，位似比k=EDE′D=EDDF=cos60°=12.如圖4（c），點(diǎn)E′的運(yùn)動(dòng)路徑為線段AC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所得；點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是點(diǎn)E′的運(yùn)動(dòng)路徑以點(diǎn)D為位似中心，以位似比k=EDE′D縮放形成.所以點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑等于點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑的一半，所以點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為833×12=433.

3" 解法探究

解法1" 如圖5，將△ADF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′DF′，則△ADF≌△A′DF′，則∠DAF=∠DA′F′=60°，∠ADA′=60°.因?yàn)镈A=DA′，所以△ADA′是等邊三角形，所以∠DA′A=60°，所以點(diǎn)A′在AC上.又因?yàn)椤螦′DC=∠DCA′=30°，所以A′D=A′C=AA′，所以A′是AC的中點(diǎn).因?yàn)锳′為定點(diǎn)，∠DA′F′=60°為定角，所以點(diǎn)F在線段l上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足AF=A′F′，即點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)等于點(diǎn)F′運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).因?yàn)镈E=12DF=12DF′，即點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是點(diǎn)F′運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的一半，所以點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是12×4÷32=433.

解法2" 如圖6，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E在點(diǎn)E1處，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E在點(diǎn)E2處，在線段AC上除A，C外任取一點(diǎn)Fn，點(diǎn)E在點(diǎn)En處.連接E1E2.因?yàn)镈EnDFn=DE1DA=cos60°=12，∠EnDE1+∠E1DFn=∠ADFn+∠E1DFn=60°，所以∠EnDE1=∠ADFn，所以△EnDE1∽△FnDA，所以∠DE1En=∠DAC=60°.因?yàn)镈E1是定直線，∠DE1En=60°是定角，所以點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑是定線段E1E2.因?yàn)锳B=4，∠DCA=30°，所以AD=BC=433.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠E1DE2=∠ADC=90°，所以DE2∥AE1.又因?yàn)椤螪E1E2=60°，∠E1DA=90°-30°=60°，所以AD∥E1E2，所以四邊形AE1E2D為平行四邊形，所以E1E2=AD=433.

解法3" 如圖7，分別過(guò)點(diǎn)F，E作y軸、x軸的平行線相交于G，交y軸于H.因?yàn)閠an∠COB=tan30°=33，所以O(shè)C所在直線的解析式為y=33x.設(shè)Fm，33m，E（x，y），OD=433， 則HE=x，EG=m-x，GF=y-33m，HD=y-433.因?yàn)椤螮HD=∠EGF=∠DEF=90°，所以∠HDE+∠HED=∠HED+∠GEF=90°，所以∠HDE=∠GEF，所以△FGE∽△EHD，所以GFHE=GEDH=EFED=3.從而可得y-3m/3x=3，且m-xy-43/3=3，消去m，得x=1，所以點(diǎn)E到y(tǒng)軸距離恒為1，即點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑是一條線段.仿照解法2，可以求出運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為433.

解法4" 如圖8，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，過(guò)D作DH⊥AC于點(diǎn)H.因?yàn)镋G//CD，所以∠CDE=∠DEG.因?yàn)椤螩DE+∠FDA=30°，∠HDF+∠FDA=30°，所以∠CDE=∠HDF，所以∠DEG=∠HDF.又因?yàn)椤螪GE=∠FHD=90°，所以△DEG∽△FDH，所以GEDH=DEDF=12，所以GE=12DH=14DC=1.因?yàn)辄c(diǎn)E到直線AD的距離為定值，所以點(diǎn)E在一條平行于AD的直線上運(yùn)動(dòng).仿照解法2，可以求出運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為433.

解法5" 如圖9，取DF的中點(diǎn)G，在Rt△DEF中，因?yàn)椤螪FE=30°，所以DE=DG=GF=12DF.因?yàn)椤螱DE=60°為定值，因此點(diǎn)F在線段AC上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G和點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度相等.當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A位置時(shí)，點(diǎn)G為AD中點(diǎn)，因此點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑是△ACD的中位線，所以點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是12AC=12×4÷32=433.

解法6" 由題意知，D是一定點(diǎn)，∠FDE=60°，所以點(diǎn)E可以看成動(dòng)點(diǎn)F以點(diǎn)D為位似中心，位似比是12，再繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的一個(gè)圖形.所以點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑與點(diǎn)F的路徑形狀相同，長(zhǎng)度是它的一半，點(diǎn)F的路徑長(zhǎng)度是833的線段，所以點(diǎn)E的路徑長(zhǎng)是AC長(zhǎng)度的一半，故點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為433.

4" 結(jié)束語(yǔ)

判斷動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為直線型（直線、射線、線段）的方法一般有三種，一是動(dòng)點(diǎn)與定直線距離不變時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的路徑是直線（平行線間的距離處處相等）；二是動(dòng)點(diǎn)與一定點(diǎn)（定點(diǎn)可在定直線上或直線外）連線與定直線所成的角度不變時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的路徑是直線（角平分線和線段垂直平分線都可以看作這種情況）；三是用函數(shù)知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的函數(shù)關(guān)系式.若動(dòng)點(diǎn)路徑對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為一次函數(shù)，則可判斷動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑是直線型的［3］.對(duì)于圓弧型路徑問(wèn)題，一般要先確定圓弧所在圓的圓心和半徑，再利用圓心角與圓周角之間關(guān)系、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題.

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［3］ 曾志勇.聚焦操作推理 引導(dǎo)素養(yǎng)培育：福建省2021年中考數(shù)學(xué)第22題的研究與思考［J］.數(shù)學(xué)之友，2021（5）：75-79.

［責(zé)任編輯：李" 璟］