提升“地球物理場論”課程教學質量的三個著力點

摘 要 “地球物理場論”是地球物理類專業一門非常重要的專業基礎課。筆者在近十年的教學實踐中，根據課程特點和學生認知規律，分別從數學知識的應用、物理知識的教學以及與后續課程的銜接三個方面，對提升課程教學質量進行深入細致的探索。筆者認為數學知識的應用應根據專業需要進行有針對性的取舍，讓學生體會到數學知識在專業上的應用，同時要注重體現數學知識中的物理思想;物理知識的教學應以恰當的方式引入新概念，在教學中適當地引入物理學史的介紹，注重讓學生掌握物理思想方法、學會用物理學的視角看待問題、分析問題和解決問題;通過科學符號的統一、課后習題的滲透、敘述的一致性上做好與后續專業課程的銜接。

關鍵詞 地球物理場論;數學知識應用;物理知識教學;后續課程銜接;物理思想方法

“地球物理場論”是地球物理類專業一門重要的專業基礎課，它以微積分、偏微分方程和矢量分析為主要數學工具，通過對彈性波場、重力場、電磁場等的學習，為地球物理類專業的后續課程打下牢固的數理基礎。它是基礎課與專業課銜接的橋梁，在整個專業教學中起著“承上啟下”的作用[1]。“承上”表現在這門課程涉及的數理類先修課程眾多，包括高等數學、大學物理、數理方程與特殊函數，且都對這些課程內容有廣泛、深入的應用;“啟下”表現在這門課所講授的彈性波場、引力場、電磁場等知識是地球物理類專業后續各專業課程的理論基礎，后續的所有專業課都會以這門課程的知識為基礎在某一方向進行深入的研究。“地球物理場論”這門課程講授的雖然都是物理學知識，但與通常的物理課程教學又有很大的不同，主要是這門課程涉及到抽象的數學知識較多，同時這門課程還需要與后續專業課做好必要的銜接，理論艱深，比較抽象，教學難度大，學生也難以理解掌握[2]。筆者在近10年的教學實踐中，根據課程特點和學生認知規律，分別從數學知識的應用、物理知識的教學以及與后續課程的銜接三個方面，對“地球物理場論”課程的高質量教學進行深入細致的探索，不斷調整課程教學內容，改進教學方式、方法，取得了良好的教學效果，提升了學生學習探索的熱情。

1 數學知識的應用

這門課程涉及的數學知識主要有微積分、偏微分方程和矢量分析，筆者根據后續專業課程和專業培養的需求，對數學知識進行有針對性的取舍，注重讓學生體會數學知識在專業上的應用。

1.1 微積分

這門課程涉及的微積分知識主要包括積分（尤其是多重積分）、常微分方程、級數展開等。這些內容學生在“高等數學”課程中都進行過系統地學習，但當時往往偏重于理論化的教學，缺少實際應用的訓練，而在專業課程教學中，需要的正是學生們將理論化的知識應用到具體物理模型上的能力。

例 如在重力異常的教學中，需要在直角坐標系下，將密度異常體的引力場強表示為三維積分，再將其中垂直于地表的分量單獨提出來，得到重力異常的計算公式。在實際教學中，筆者會從坐標系的建立開始，引入密度異常體，然后從中選取微元體，借助萬有引力定律得到微元體的引力場強，再通過積分得到完整的表達式，在這一過程中讓學生體會如何借助物理建模，將抽象的數學知識應用于具體的物理場景，也讓學生體會到物理中的疊加原理與數學上積分的對應關系。

1.2 偏微分方程

這門課程對于偏微分方程的應用集中在場方程的求解，尤其是靜電場、穩定電流場以及磁標勢的拉普拉斯方程求解，涉及的主要方法有分離變量法、鏡像法、格林函數法。這些方法雖然在數學物理方程的教學中都進行了講授，但由于這門課通常是由數學專業老師依據數學物理方程教材進行授課[3]，講授的原理和方法雖然相同，但在具體應用上仍然與“地球物理場論”課程存在一定的差異。

以分離變量法為例，在通常的數學物理方程教學中，都是以一維的波動方程和擴散方程的求解為例進行教學，而在“地球物理場論”課程中，涉及較多的直角坐標系下利用分離變量法求解拉普拉斯方程，則在數學物理方程的教學中鮮有涉及。因此，在這部分的教學中，筆者都會借助學生們已經掌握的分離變量的方法，在二維和三維直角坐標系下，對拉普拉斯方程的求解過程進行細致的推導，并加以應用舉例。

對于鏡像法，在數學物理方程課程中大多不作專門講授，即使講授也只是作為求解格林函數的一種輔助性方法加以介紹，很少涉及其中的物理思想。而在“地球物理場論”中，鏡像法除了是一種重要的求解靜電場、穩定電流場的數學方法以外，還蘊含了關于物理場方程求解中涉及的唯一性思想，即當兩個問題涉及的場源分布和邊界條件相同時，具有相同的解。筆者在教學中，會將這部分內容安排在唯一性定理的講解之后，將鏡像法作為唯一性定理的重要應用加以介紹。

對于格林函數法，則需要在數學物理方程教學中以純數學推導為主的教學基礎上，將其中所體現出的物理思想給學生加以重點介紹，即對于復雜場源、復雜邊界條件的求解可以借助點源在簡單邊界條件下的解，借助格林積分公式得到。這一物理思想方法不僅在求解靜電場時會用到（此時為泊松方程），還會在求解彈性波場的克奇霍夫積分時用到（此時為達朗貝爾方程）。在這兩處所用到的格林函數法有一些微小的差異（主要體現在對邊界條件的限制上），可以通過對比幫助學生們更好地理解、掌握這一方法。

1.3 矢量分析

矢量分析是“地球物理場論”這門課程用到的核心數學工具，它在“地球物理場論”研究中的地位相當于微積分在牛頓力學研究中的地位。對于這一重要的數學工具，通常沒有專門的課程講授，因此，在“地球物理場論”課程中，需要首先對這一重要的數學工具進行補充講授。

對于矢量分析的講授，應當在幫助學生建立起對梯度、散度、旋度理解的基礎上，重點介紹矢量分析的三大基本定理，即梯度定理、高斯定理、斯托克斯定理。此外還包括矢量場的亥姆霍茲定理以及亥姆霍茲分解，同時幫助學生掌握球坐標系和柱坐標系下所涉及的矢量微分和積分運算。另外，還需要向學生介紹一些重要的推論公式（例如格林公式），這些都會在后續的學習中發揮重要作用。

在 矢量分析的教學中，有一個問題是學生經常會問到的，那就是為什么要學習矢量分析？ 它到底有什么作用？ 對于矢量分析在“地球物理場論”中的作用，學生需要學到靜電場部分，才能初步體會到矢量分析的用處，而要真正理解這一數學工具的重要性，則需要學到時變電磁場部分。以筆者所在的長安大學地球物理系為例，矢量分析和彈性波場會在大學二年級第二學期講授，重力場和電磁場的內容則在大學三年級第一學期講授，時間上有較大跨度。這對學生的學習，尤其是對矢量分析的理解會造成較大障礙，也會影響到對重力場和電磁場的學習。為了解決這一矛盾難題，筆者通常會在講授完矢量分析的主要內容之后，向學生介紹如何借助矢量分析中的散度、旋度概念，更好地描述靜電場與靜磁場，特別是借助這一工具，可以在形式上非常方便地將描述靜電場、靜磁場的方程推廣到隨時間變化的麥克斯韋方程組，同時將這種描述方式與通過大小、方向描述矢量場的方式加以對比，以此來幫助學生建立起對于矢量分析這一數學工具在整個“地球物理場論”教學中的整體理解。這樣講授，學生雖然對具體的內容并不能完全理解，但借助于在大學物理中學習到的電磁場理論，學生可以建立起對于矢量分析的整體理解，特別是在后續課程的學習中會起到非常重要的作用。這樣的整體理解對于學生學習矢量分析有著非常大的幫助。

2 物理知識的教學

物理知識的教學是“地球物理場論”這門課程的核心，而物理教學最重要的就是要能夠幫助學生掌握物理思維、建立物理圖像，學會用物理學的視角去認識問題、理解問題和解決問題。

2.1 以適當的方式引入新的物理概念

“地球物理場論”這門課涉及大量的物理概念，這些概念如果很生硬地介紹給學生，會給學生的學習造成很大的障礙，甚至會產生排斥心理。物理學中的概念都是通過對物理現象的觀察與總結，結合數學上的考慮，以非常自然的方式引入。

在教學中，如果能通過適當的鋪墊，喚起學生先前的學習經驗，在一定情境中將涉及的概念自然而然地引出，可以極大地降低學生接受新概念的難度。位移電流是由靜態電磁場方程過渡到麥克斯韋方程組時非常重要的一個概念，通常教科書上在這部分直接通過對已有公式進行推導變形，得出此前理論內在的不自洽性，然后直接引出位移電流的表達式。這種教學方法雖然簡便，但缺少對位移電流這一概念的直觀講解，會讓學生們覺得更像是數學游戲，很難從中體會到新概念背后的物理思想，也不利于后續的教學。筆者在引入這個概念之前，首先從利用安培環路定理分析含電容器的交流電路時所產生的矛盾出發[4]，引導學生去思考如何來解決這個矛盾，在指出變化電場的通量積分具有與電流類似的效果之后，對具體的積分形式進行推導，在最終得到位移電流的數學形式之后，才最終引入位移電流這一概念。這樣學生對這一概念的引入就會覺得非常自然，容易理解，同時也為后續關于似穩電磁場以及時變電磁場的學習打好基礎。

2.2 注重對物理學史的介紹

“地球物理場論”課程中講授的都是經典的物理學知識，筆者在教學實踐中發現，每個物理定理、規律的發現、誕生背后都有一段物理學家艱難探索的勵志故事，在教學中根據教學內容，適當地引入物理學史的知識，讓學生了解所學的知識在當初是如何被發現的，可以讓學生理解物理定理、公式的來龍去脈，對所學知識有更全面、生動的認識，對其中所蘊含的思想有更深刻的理解，還可以啟發學生的創新思維。

在教學中，讓學生置于物理學家發現、探索物理的歷史情境之中，讓其了解物理學家科學探究的艱難歷程，可以促進學生對物理概念和規律的理解，有助于提升其科學思維和創新能力。其實，教師的任務不是把現成的知識灌輸給學生，而是借助于歷史設計教學活動，引導學生沿著歷史發展的路徑，了解知識的發生發展過程，從而完成這種再創造工作[5]。我們現在使用的“地球物理場論”教材因受篇幅所限，隱去了物理知識產生的過程。而恰恰是在物理學家發現、研究物理過程中的突破、失敗和磨難，蘊藏著豐富的創新思維與科學思想。因此，教師應結合教學內容，給學生講述物理學發展史和物理學家發現物理公式、定理的故事，使學生了解物理知識產生的過程，弄清物理公式、定理等的背景和來源，加深對其本質的理解。在講授萬有引力定律時，筆者會介紹牛頓是如何通過認識到地球表面物體受到的吸引力與月球繞地球轉動所受到的吸引力是同一種力，并利用當時已有的觀測數據，得到萬有引力的具體形式，尤其是如何確定與距離的平方成反比關系。在講授畢奧-沙伐爾定律時，筆者會介紹拉普拉斯是如何利用畢奧和沙伐爾的實驗觀測數據，得到通電導線產生磁場的具體表達式。筆者還經常結合教學內容，穿插介紹物理學家當時是怎么發現這個問題和如何研究、解決這個問題的。在講授麥克斯韋方程組時，筆者先總結在此之前已經得到的電磁學規律，并強調涉及的矢量分析這一數學工具是由麥克斯韋最早引入電磁學研究，然后通過具體的物理模型討論，讓學生體會到當時的電磁理論所遇到的自洽性問題，接著再引導學生思考如何從理論上解決這一問題，最后介紹麥克斯韋如何通過引入位移電流這一概念解決上述問題，最終建立了統一的電磁理論并接受了實驗的檢驗。這樣的講解，使學生切實體驗到物理學家麥克斯韋發現麥克斯韋方程組的真實背景與前因后果，感受到物理學家嚴謹求實的科學態度、實事求是的科學精神和勇于探索的創新精神等。“地球物理場論”教材上的科學結論固然重要，而它背后的孕育發展、由潛到顯的轉化歷程則更富啟迪。具體的物理知識固然重要，但不是教學的目的，“地球物理場論”課程的教學目的是讓學生真正學會運用運動、物質、能量和相互作用等物理觀念觀察、認識和理解客觀世界，形成獨特的物理思維方式。因此，教學不能把重心放在固定知識的掌握上，而是要從更宏觀的角度來開啟學生的智慧潛能、彰顯人的創新精神。教師不僅要給學生傳授物理知識，更重要的是要展示物理知識創生過程中的經歷、曲折和智慧，讓學生學到活的知識，認識到物理知識對于人類和個體發展的重要價值與意義，而不只是一個用符號表達的“死”的結論。在講清物理概念、結論的同時，用圖文并茂、生動形象的現代信息技術向學生展現物理定理的發現過程、物理概念的形成過程和物理問題的解決過程，將“死”的物理知識轉變為鮮活、生動的人類認識客觀世界的過程，讓學生了解科學探究過程，理解物理知識的來龍去脈，認識物理世界的特性、現象、規律和本質，使學生在學習形成知識技能的同時，其思維方式、創新意識和科學精神等方面也能獲得有效的浸潤和提升。

2.3 不能用數學推導代替物理知識的教學

在“地球物理場論”的教學中，經常會涉及較大篇幅的數學推導、計算，容易讓學生誤以為這些推導是課程的核心。教師必須要清楚數學推導、計算只是得到物理結果所依賴的工具，真正重要的是推導和計算背后所體現的物理思想和方法。筆者在教學中，在涉及推導和計算之前，都會首先強調遇到的物理問題是什么，要用什么樣的假設條件，在計算、推導過程中，也會反復強調物理思想在計算中如何體現，在得到結果之后，也會重點說明計算結果的物理含義，而不會簡單地只給出結果的數學形式。

在講授矢量分析中的梯度定理、高斯定理、斯托克斯定理時，筆者在證明這些定理之前，會首先介紹這些定理的最直觀的物理含義，在學生對這些定理的物理圖像有了感性的理解之后，才會去進行細致的數學證明，確保學生在一開始學習這些定理時，就將它們與具體的物理圖像、過程建立聯系，而不是只學會抽象的、純數學形式的定理。

在講授含介質的靜電場和靜磁場時，計算由介質引起的勢函數時，會得到極化電荷密度（包括面密度和體密度）和磁化電流密度（包括面密度和體密度）的微分表達式。這些表達式是通過數學上類比的方式賦予相應的物理意義，筆者在用這種方法講授之后，還會用微元分析的方法，針對對應的模型，直接得到上述的各種微分表達式，讓學生對通過數學類比方法所得結果的物理含義有更好的理解。

在講授似穩電磁場和時變電磁場的場方程時（包括勢函數的場方程，以及含導體與不含導體的情形），涉及很多方法類似，但具體細節不同的推導。在這些推導之前，筆者都會強調具體的物理問題以及前提假設，并指出這些前提假設如何體現在推導過程中，并且會對各種情形的推導結果的差異進行比較，幫助學生更好地理解不同物理模型之間的差異是如何反映到最終的場方程的差異。

3 與后續課程的銜接

“地球物理場論”的教學最終是為了地球物理專業后續的地震學、重力學、地電學、地磁學以及相應的勘探類課程打好物理基礎。因此，在教學中需要對后續課程做適當的鋪墊與滲透，從而做好與后續課程的銜接。

3.1 做好課程間科學符號間的銜接

科學符號在不同的教科書中常常會有一定的差異，甚至是在定義時也存在細微的不同。在這方面給學生做一些必要的介紹可以排除學生在課程學習上的障礙。例如在彈性力學的教科書中[6]，關于應力和應變的符號，與地球物理相關的教科書之間經常有一些差異[7]，甚至關于切應變的定義也往往存在一個“1/2”系數的差異。彈性力學的教科書中在引入切應變時，往往通過幾何方法，借助于對微元形變的計算，直接得出切應變的公式，因此不涉及“1/2”系數（見參考文獻[6]2～4節公式（c））。而在地球物理相關的教科書中，往往在介紹位移矢量場之后，通過對位移矢量場進行微分運算，直接得出完整的應變張量，此時引入“1/2”系數，可以將正應變與切應變用統一的公式進行表示（見參考文獻[7]公式（5.1-2）），同時與后續地震類的課程所采用的記號相同。筆者在教學過程中，會與講授后續地震類課程的老師進行交流，將符號間的差異以及由此引起的變化會提前告訴學生。

3.2 通過例題與習題對后續課程進行滲透

在“地球物理場論”的教學過程中，筆者通過課堂例題與課后習題的方式，將后續專業課中涉及的一些知識提前介紹給學生，將這些內容作為考試時的重點考察內容，這些都會很好地幫助學生做好課程間的銜接，為學生學習后續專業課程奠定良好基礎。

在講授重力異常的概念后，筆者會對幾類常見模型的重力異常的計算以例題和習題的形式加以講授;在講授柱坐標系下分離變量法求解拉普拉斯方程時，會以點電源在雙層介質中產生的場為例，提前向學生介紹垂向電測深的理論基礎;在講授似穩電磁場時，會介紹趨膚效應的物理原理以及相應的數學計算;在學期末，還會以專題課的形式，結合三維球坐標系下拉普拉斯方程的求解，向學生介紹地球正常重力場模型。

3.3 講清楚某些專業表述與物理學表述的差異

“地球物理場論”的授課歸根到底是為了后續的專業課程打好物理基礎，但在專業領域，有時候出于方便的考慮，會在一些問題的形式上與單純的物理學科有所區別，這個時候需要向學生介紹清楚引起這些差異的原因，以及對這些差異如何理解，以免學生在后續的學習中引起不必要的混淆。

以 引力勢概念為例，如果是從整個物理學來看，考慮到機械能守恒，會在引力勢的定義（以無窮遠為勢函數的零點）中出現一個負號，同時在由引力勢的梯度計算引力場時，也會出現一個負號。學生在大學物理課程中學習的也是帶負號的引力勢。但在大多數重力學與重力勘探的教材中，這兩個負號都沒有[8]。這樣做只是出于專業上方便的考慮，并不會對實際的計算產生任何問題。在教學中將這種類型的差異向學生講清楚，可以避免不必要的混淆，也能讓學生對基礎概念有更深刻的理解。

4 結語

“地球物理場論”是地球物理類專業非常重要的一門專業基礎課，學生對這門課程的學習效果會直接影響其對后續課程的學習，甚至會影響到將來的專業發展。為了提高課程教學質量，筆者近十年對這門課程教學進行深入探索，依據課程特點和學生認知規律，對課程教學內容和方法進行調整與改革：對數學知識的應用根據專業需要進行合理取舍，讓學生體會到數學知識在專業上的應用，注重體現數學知識中的物理思想。在物理知識的教學過程中，以恰當的方式引入新概念，在教學中適當地引入穿插物理學史的知識，讓學生掌握物理思想方法，學會用物理學的視角、方法看待問題、分析問題和解決問題。同時，注意做好與后續課程的銜接，為學生后續專業學習奠定良好的物理基礎。

參 考 文 獻

[1] 楊海燕，鄧居智，湯洪志，等.淺談地球物理學專業基礎理論課教學改革策略[J].東華理工大學學報： 社會科學版，2013，32（1）：91-93.

YANG H Y， DENG J Z， TANG H Z， et al. On the teaching reform strategy of fundamental theory course in geophysics[J]. Journal of East China Institute of Technology（Social Science）， 2013， 32（1）： 91-93. （in Chinese）

[2] 張會星，何兵壽，童思友. 以學習者為中心的“地球物理場論”課程教學模式探究[J]. 中國地質教育，2023，32（4）：115-118.

ZHANG H S， HE B S， TONG S Y. Research on the learner-centered teaching mode of geophysical field theory[J].Chinese Geological Education， 2023， 32（4）： 115-118. （inChinese）

[3] 梁昆淼.數學物理方程[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[4] 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學[M].3版.北京：高等教育出版社，2012.

[5] 吳駿，汪曉勤.發生教學法：從理論到實踐———以數學教學為例[J].教育理論與實踐，2013，33（2）：3-5.

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[6] 徐芝綸. 彈性力學（上冊）[M].5版.北京：高度教育出版社，2016.

[7] 薛琴訪.場論[M].北京：地質出版社，1978.

[8] 施國良，張國雄.宏觀場論[M].武漢：中國地質大學出版社，2008.

基金項目： 陜西省高等教育學會教改項目，課題編號：XGH21076。