聚焦橢圓與三角溯源算理與算法

余泳 吳宣良 武星紅

1 問題再現

（2023年全國高考數學甲卷理科第12題）已知橢圓x29+y26=1，F1，F2為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，cos∠F1PF2=35，則|OP|=（）.

A.25

B.302

C.35

D.352

2 問題分析

如圖1，由“P為橢圓上一點”可以得到“在△F1PF2中，有|PF1|+|PF2|=6”，而條件“cos∠F1PF2=35”相當于給出了∠F1PF2，“F1，F2為

兩個焦點，O為原點”說明“O為線段F1F2中點”，求|OP|之長等價于求三角形的中線長.所以，本題的實質是在某三角形中，已知兩邊之和、第三邊及其對角，求解三角形的中線.

章建躍認為，“通性通法”是解題教學追求的最終目標，教學中要引導學生注重“若拙”的通法.上述問題轉化為解三角形的問題后，首先從通性通法的角度，正弦定理和余弦定理是最一般的解題思路.其次，由于是中線問題，容易聯想到與向量加法結合.再次，利用條件求出點P的坐標也是一種自然的思路.根據以上解決本題的“通性通法”，筆者總結出了以下思維導圖（如圖2）.

3 問題解決

余弦定理思路：利用橢圓的定義以及余弦定理直接求出|PF1|，|PF2|，再利用余弦定理列方程求出|PO|的值，得到方法1.

方法1：在△F1PF2中，由cos∠F1PF2=35，得

|PF1|2+|PF2|2－65|PF1||PF2|=12.①

由題可得

|PF1|+|PF2|=2a=6.②

聯立①②得|PF1|=3+62，|PF2|=3-62.

又cos∠POF1=－cos∠POF2，|OF1|=|OF2|=3，所以可得

|PO|2+|F1O|2－|PF1|22|PO||F1O|

=－|PO|2+|F2O|2－|PF2|22|PO||F2O|.

解得|PO|=302.

人教A版新教材必修二課后習題中給出了中線公式，學生可以直接利用橢圓的定義以及余弦定理求出|PF1|2+|PF2|2，再由中線公式求解，得到方法2.

方法2：同方法1得到①②，聯立得

|PF1|2+|PF2|2=21，|PF1|＼5|PF2|=152.

由中線公式，知|F1F2|=23，解得|PO|=302.

事實上，中線公式可以由向量推導而來，因此求出|PF1||PF2|，|PF1|2+|PF2|2后，結合中線的向量公式以及數量積即可求出|OP|，于是得到方法3.

方法3：由PO=12（PF1+PF2），得|OP|=|PO|=12|PF1+PF2|

=12|PF1|2+2PF1·PF2+|PF2|2=21+2×35×152=302.所以|PO|=302.

在利用向量考慮中線問題時，極化恒等式是常用思路之一，這里求出|PF1||PF2|后可以利用極化恒等式求解，于是得到方法4.

方法4：由極化恒等式PF1·PF2=|PO|2－14|F1F2|2，得|PO|=PF1·PF2+14|F1F2|2.又|F1F2|=23，解得|PO|=302.

正弦定理思路：本題直接利用正弦定理會遇到困難，因為|PF1|與|PF2|的長度未知.但由|F1F2|=23，cos∠F1PF2=35，可知|F1F2|與∠F1PF2是定值，因此由正弦定理可以求解三角形外接圓半徑和確定外接圓圓心的位置.點P可以看作是圓弧與橢圓的交點，進而求出點P坐標.

假設點P的坐標為（x0，y0），聯立橢圓方程與圓弧方程求解（x0，y0），于是得到方法5.

方法5：由|F1F2|=23，cos∠F1PF2=45，可知點P的軌跡是兩段圓弧，其半徑為|F1F2|2sin∠F1PF2=534，圓心O1，O2在y軸上且與原點的距離為|F1F2|2＼5|cot∠F1PF2|=334.所以，兩段圓弧所在圓的方程為x2+y±3342=7516，結合橢圓方程得P（x0，y0）滿足x0=±322，y0=±3.故|OP|=302.

利用參數方程可以避免聯立橢圓與圓弧所在圓的方程，設點P的坐標為（3cos θ，6sin θ），聯立圓弧所在圓的方程求解即可，得到方法6（略）.

求解坐標思路：根據題目條件建立方程求解點P的坐標也是較為通用的思路，利用參數方程和向量可以求解，得到方法7.

方法7：設點P的坐標為（3cos θ，6sin θ），則PF1=（－3－3cos θ，－6sin θ），PF2=（3－3cos θ，－6sin θ）.由35=PF1·PF2|PF1||PF2|，化簡可得2cos 4θ+13cos 2θ－7=0.解得cos 2θ=12，故sin 2θ=12.因此|OP|=9cos 2θ+6sin 2θ=302.

焦點三角形面積公式是常用的二級結論之一，根據焦點三角形面積公式求出△F1PF2的面積，即可得到點P的坐標，得到方法8.

方法8：設∠F1PF2=2θ，0<θ<π2，所以S△F1PF2=b2tan∠F1PF22=b2tan θ.

由35=cos∠F1PF2=cos 2θ=cos 2θ－sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1－tan 2θ1+tan 2θ，解得tan θ=12.所以S△F1PF2=6×12=3.

又S△F1PF2=12|F1F2||yP|=12×23×|yP|=3|yP|，所以3|yP|=3，解得y2P=3.

所以x2P=9×1－36=92.

因此|PO|=x2P+y2P=302.

4 問題溯源

溯源1“爪型”三角形與斯特瓦爾特定理

在三角形中，連接一個頂點與其對邊上任意一點，因其形狀類似爪子所以被稱為“爪型”三角形，如圖3所示.“爪型”三角形的問題可以利用cos∠APB+cos∠APC=0和余弦定理求解.

1746年，蘇格蘭數學家斯特瓦爾特發現了這種關系，并由此給出了“爪型”三角形中五邊的關系：AP2=BPBC·AC2+CPBC·AB2－BP·CP.當然，究其本質，是余弦定理的運用.

當點P特殊時，還可以得到如下推論：

若AP為中線，則AP2=12AB2+12AC2－14BC2.

若AP為角平分線時，則AP2=AB·AC－BP·CP.

溯源2隱圓問題

如圖4，設線段AB的長度為定值，∠ACB=θ為定值，則點C的軌跡是以O1，O2為圓心，以AB2sin θ為半徑的兩段圓弧.圓心O1，O2在線段AB的中垂線上，距離為AB2|cot θ|.

實際上，文中給出的8種解題思路是從不同角度對斯特瓦爾特定理和隱圓問題的證明和應用.

5 問題拓展

在“爪型”三角形中，P可以是BC上的任意一點.

（2022年全國高考數學甲卷理科第16題）已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD，當ACAB取得最小值時，BD=.

解：略.

“爪型”三角形是解三角形問題中最常見的一種類型，解決

此類問題的常規思路就是利用余弦定理或向量求解.

6 反思建議

2023年全國高考數學甲卷理科第12題中涉及的方法很典型，解三角形問題常規入手方式就是正弦定理與余弦定理，因為題目是求三角形的中線，所以又可以聯想中線公式、中線的向量表達式、極化恒等式等.同時，該題套有橢圓外衣，因此還可以從橢圓的參數方程、橢圓焦點三角形面積的二級結論入手.

備考時，提醒學生注意數形結合，注重三角形邊角關系的轉換，以及與其他知識的聯系.鼓勵學生一題多解、多題一解，并讓學生自己歸納總結此類題型的解題技巧和思想方法，培養學生的數學運算、邏輯推理等數學核心素養.