開展深度學習，把握問題本質

張偉

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》以下簡稱《標準》指出：把握數學的本質，啟發思考，改進教學.在高三一輪復習教學中，如何引導學生把握數學本質呢？筆者以一輪復習課“解三角形”為例，引導學生積極主動參與教學，一題多解，多題歸一，層層深入，開展深度學習，追本溯源，探尋解三角形的本質、思想與方法.

1 教學過程

1.1 引例

鈍角三角形ABC的面積是12，AB=1，BC=2，則AC=.

設計意圖：通過本例題的教學，復習正弦定理、余弦定理、面積公式，以及公式的變形與作用，理解利用方程法解三角形和方程思想等.

1.2 典型例題

例1如圖1，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC=223，AB=32，AD=3，則BD的長為.

思路分析：從幾何元素角度分析，解三角形就是已知三角形的六個元素（三個角和三條邊）中的三個元素（其中至少知道一條邊）求其他三個元素的過程；從代數方程的角度分析，解三角形就是知三求一，建立方程（A+B+C=π是其中隱含的一個方程），從正弦定理、余弦定理入手解決問題.

設計意圖：進一步引導學生理解利用方程法解三角形和方程思想等.

例2如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.

（1）求sin Bsin C；

（2）若AD=1，DC=22，求BD和AC的長.

第（1）問解答過程略，得到sinBsinC=12，從而得到ACAB=12，即AB=2AC.下面是第（2）問的教學片斷.

生1：因為S△ABD∶S△ADC=BD∶DC，所以BD=2.在△ABD和△ADC中，

分別由余弦定理得

AB2=AD2+BD2－2AD·BDcos∠ADB，

AC2=AD2+DC2－2AD·DC＼5cos∠ADC.

又因為cos∠ADC+cos∠ADB=0，所以

AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

又由（1）知AB=2AC，所以AC=1.

生2：因為S△ABD∶S△ADC=BD∶DC，所以BD=2.在△ABC和△ACD中，分別有

cos C=AC2+BC2－AB22AC·BC，cos C=AC2+DC2－AD22AC·DC.

由BC=322，DC=22，AD=1可得AB2+2AC2=6.又由（1）知AB=2AC，所以AC=1.

生3：同理，還可以在△ABD和△ABC中求解.

師：例2的解決思路與例1有什么聯系和區別？

生4：都是建立方程解三角形.

生5：區別是例1是在一個三角形中求解，例2是把邊和角放在兩個三角形中求解.

師：解一個三角形從條件個數的角度來分析是知三求三，即需要知道三個獨立的條件，那么解兩個三角形呢？請以本題為例進行分析.

生6：在△ABD和△ADC中，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍，AD=1，DC=22，共4個條件.

師：由（1）得到的AB=2AC算一個獨立條件嗎？本題還有其他條件嗎？

生7：AB=2AC不算一個獨立條件，因為它是由AD平分∠BAC和△ABD面積是△ADC面積的2倍這兩個條件推出來的結果.本題還有AD是公共邊，∠ADC與∠ADB互補，即∠ADC+∠ADB=π這兩個獨立條件.

師：本題如果在△ACD和△ABC中求解共需要幾個獨立元素呢？

生8：除了已知的四個條件外，還有AC是公共邊，∠C是公共角，共六個獨立條件.

師：從條件個數的角度來分析，解一個三角形需要知道三個元素，解兩個三角形需要知道六個元素.這里所說的元素，廣義來講可以是公共邊、公共角、互補角等，也可以是面積、中線、高線、角平分線、周長等，它們都可以轉化為三角形中的元素，但一定要是相互獨立的元素.

師：本題我們是利用建立方程的方法求三角形邊的長度和角的大小，請大家想想除了可以利用正余弦定理建立方程，還可以有哪些方法建立方程求解？

生9：與長度和角度有關的問題，可以考慮用向量的方法建立方程.考慮到D是BC的三等分點，可以得到AD=23AC+13AB，兩邊平方得（AD）2=23AC+13AB2，化簡得1=49AC2+19AB2+49AB·AC·cos∠ACB.在△ABC中，由余弦定理得BC2=92=AB2+AC2+2AB·AC·cos∠ACB，可得AB2+2AC2=6.又由（1）知AB=2AC，所以AC=1.

生10：因為與長度和角度有關，所以還可以通過建立平面直角坐標系來建立方程.

以A為坐標原點，建立如圖3所示的平面直角坐標系.

設∠BAD=∠DAC=θ，AC=b，則AB=c=2b.

所以B（2bcos θ，2bsin θ），D（1，0），C（bcos θ，－bsin θ）.

由DC=22，DB=2，得

（2bcosθ－1）2+（2bsinθ）2=2，

（bcosθ－1）2+（bsinθ）2=12.

化簡，得2b2－1=1，得b=1，即AC=b=1.

師：下面我們來看幾個變式訓練.

變式1在△ABC中，AB=2AC，D是BC邊上的點，AD平分∠BAC，AD=AC，DC=22，求AC的長.

變式2在△ABC中，AB=2AC，D是BC邊上的點，AD平分∠BAC，AD=1，cos∠BAC=18，求AC的長.

變式3在△ABC中，AB=2AC，D是BC邊上的點，AD平分∠BAC，AD=AC，S△ABC=378，求BC的長.

小結與反思：（1）我們是如何解三角形的？（解三角形的本質是方程法.）

（2）建立方程的方法和途徑有哪些？（正余弦定理、向量法、坐標法、構造特殊三角形等.）

（3）請你談談從條件個數的角度我們是如何命制解三角形問題的？（命制涉及兩個三角形的題目時，都是先給出兩個三角形，再將有關這兩個三角形的相互獨立的條件個數減少到六個.）

設計意圖：通過例題和變式的解決，引導學生掌握解三角形的基本方法，探尋研究一個問題、一類問題的基本思路與方法.授人以魚不如授人以漁，學生掌握了研究數學對象的思路，知道從哪些角度來研究問題后，自然不滿足于已有的問題，必然會產生新的想法，進而會自己提出問題、分析并解決問題.

師：不難發現，這六個條件中，除了已知的邊長和角度，還可以是隱藏的條件，比如公共邊、成倍數關系的邊、公共角或互補的兩個角等，也可以“換一種表達方式”給出條件，如給出面積、周長、中線長，角平分線長、向量形式的等式、正余弦邊角互化得出的等式、幾何關系等式等.

師：請各位同學自己編制試題.

改編1在△ABC中，cos∠BAC=18，D是BC邊上的點，AD平分∠BAC，BD=2DC，AD=1，求△ABC的面積.

改編2在△ABC中，sin C=2sin B，D是BC邊上的點，AD=23AC+13AB，AD=1，tan∠BAC=37，求△ABC的周長.

改編3在△ABC中，cos∠BAC=18，D是BC邊上的點，AD平分∠BAC，BD=2DC，△ABC的面積為378，求AD的長.

設計意圖：給學生提供充分活動的機會，使他們在主動探索和合作交流的過程中獲取知識、形成技能，在獲取廣泛數學活動經驗的基礎上使知識、能力方面由“獲取”轉化為“建構”，“感性”上升為“理性”.

例3（2021年新高考Ⅰ卷）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊AC上，且BD=b，若AD=2DC，求cos∠ABC.

解法1：若AD=2DC，則AD=23b，DC=13b.

在△ABD中，由余弦定理，可知cos∠BDA=BD2+AD2－AB22BD·AD=13b2－9c212b2.

在△CBD中，由余弦定理，可知cos∠BDC=BD2+CD2－BC22BD·CD=10b2－9a26b2.

又∠BDA+cos∠BDC=π，所以cos∠BDA+cos∠BDC=0，則

13b2－9c212b2+10b2－9a26b2=0，即11b2=3c2+6a2.

又b2=ac，所以3c2－11ac+6a2=0，故c=3a或c=23a.

在△ABC中，由余弦定理，可知cos∠ABC=a2+c2－b22ac=a2+c2－ac2ac.

當c=3a時，cos∠ABC=76>1（舍）；

當c=23a時，cos∠ABC=712.

綜上所述，cos∠ABC=712.

解法2：在△ABC中，BD=23BC+13BA，平方得

BD2=49a2+19c2+49accos B.①

在△ABC中，由余弦定理得

b2=a2+c2－2accos B.②

聯立①②，得11b2=3c2+6a2.

以下部分同解法1.

思路分析：本題涉及兩個三角形，只有五個獨立的條件，故無法確定三角形，那么如何求cos∠ABC呢？找到邊長a，b，c之間的關系，利用余弦定理求解.

設計意圖：考慮到學生已經初步掌握了解三角形的方法、思想與本質，而從條件的個數分析，本題只有五個獨立條件，缺少給定某一條的邊長這一條件，故三角形不能確定.滿足題意的三角形都相似，不能求出邊長a，b，c，但根據邊長a，b，c之間的關系可以求出cos∠ABC.因此進一步引導學生當條件個數不足時，如何求解三角形問題.

這也為繼續研究三角形中的邊長、面積和周長的取值范圍等問題做好鋪墊.

2 教學反思

當前，在高中一輪復習中，大多數學校采取的復習方式是根據教輔資料的設計，每一小節通過基礎知識梳理、典型例題剖析、課時作業等環節進行教學，然后輔以大量的專題訓練和考試.這種做法的優點是能夠幫助學生更好地鞏固基礎知識，提升解題技能；缺點是不能幫助學生深刻理解內容的本質，掌握核心思想與方法，提升理性思維，落實核心素養.“為國選才”是高考的基本功能，黨中央、國務院印發的《深化新時代教育評價改革總體方案》明確提出：“改變相對固化的試題形式，增強試題的開放性，減少死記硬背和機械刷題現象”，高考命題探索“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的綜合考查模式，高考命題加大題目的創新力度、注重思維能力考查要求，課堂教學要回到注重數學內容的本質，加強關鍵能力的培養，促使學生學會思考，善于總結與反思.如果在重視基礎的前提下適度開展深度學習，學生通過教師的引導和幫助，借助適宜的活動情境或手段，能主動地去觀察、猜測、思考、探究，能提出問題并解決問題，真正成為教學的主體.教師在傳授知識的同時，要注重知識的追根溯源、注重思維的深層訓練、注重師生的深層對話、注重學習的深層評價，引導學生“知其然”到“知其所以然”，促進學生的學習從“學會”到“會學”.