讓數學核心素養在高中數學課堂落地生根

夏啟明 曹鑫月 陸萬順

奇偶性作為函數的重要性質之一，對研究函數圖象和性質具有重要作用.但“函數的奇偶性”這一節，內容較為抽象難懂，為了使學生更好地理解和掌握，需要精心設計教學過程，同時利用多媒體等教學資源，引導學生積極探索、合作交流，在學習的過程中發現規律、獲得知識，學會學習并且熱愛學習.

1 教學分析

1.1 教材分析

“函數的奇偶性”是人教A版必修一中第三章第二節“函數的基本性質”的第2小節.函數的奇偶性是函數的整體性質.在本書中，和處理函數單調性的方法一樣，先給出幾個特殊函數的圖象，通過這些圖象去直觀地理解奇偶性，然后利用表格發現數量變化特征，再通過代數運算進行驗證，由此建立了奇（偶）函數的概念.

1.2 學情分析

學生在初中已經學過軸對稱和中心對稱的圖形，同時，上一課學習了函數的單調性，并從初次學習函數性質的經驗中積累了研究函數的基本方法.

1.3 核心素養目標

本節課通過圖象直觀地感知對稱性，從具體的圖象中抽象出數學概念，并用數學符號語言揭示規律和表征，是培養學生數學抽象素養的核心.

1.4 教學重難點

教學重點：了解奇函數與偶函數的定義和圖象特征，根據函數奇偶性的定義判斷函數的奇偶性.

教學難點：將“圖象關于y軸（原點）對稱”轉化為定量的符號語言.

2 教學過程

2.1 創設情境，提出問題

首先展示圖1所示的圖形.

教師：生活中并不缺少美，而是缺少尋找美的樂趣.

請大家觀察老師展示的這兩幅圖片，美麗的蝴蝶和我們傳統文化中的京劇變臉，它們有什么共同的特征呢？

生1：它們是軸對稱的.

教師：我們把生活中的美抽象成了數學中的對稱，那同學們想一下，數學中有哪些內容展現了這樣的對稱呢？

生2：函數圖象，如f（x）=x，f（x）=x2，f（x）=x－1的圖象.

教師：類似，我們借助幾何畫板再畫一些函數的圖象，如f（x）=x－2，f（x）=x3，f（x）=x4的圖象.

設計意圖：通過情境創設，學生真正體會到數學來源于生活，發現于生活，與日常生活密切相聯，從而能夠很好地激發學生學習數學的興趣，體會數學美.

探究活動1：觀察這些函數的圖象，根據它們的特征給這些函數分類，并說明分類依據.

生3：函數f（x）=x2，f（x）=x－2，f（x）=x4的圖象都關于y軸對稱，函數f（x）=x，f（x）=x－1，f（x）=x3的圖象都關于原點成中心對稱圖形.

教師：請觀察這些函數的解析式，你能根據它們的特征給這些函數取一個特殊的名字嗎？

生4：關于y軸對稱的函數叫做偶函數，因為它們的指數都是偶數；關于原點對稱的函數叫做奇函數，因為它們的指數都是奇數.

教師：瑞士數學家歐拉在1727年首次提出奇函數和偶函數的定義時，是根據指數的奇偶性來定義的，同學們課下可以查閱有關資料加深了解.

教師：今天我們共同來探究函數的奇偶性.

設計意圖：通過設置問題，引發學生的猜想，數學史的引入讓學生更加了解函數奇偶性定義的發展過程，將課堂還給學生，極大地增強學生學習數學的興趣和信心，充分體現數學核心素養的要求.

2.2 探究新知，形成概念

教師：剛才我們是通過函數圖象的對稱性來對函數進行分類的，但是當我們遇到不熟悉的函數時，不能快速畫出它的圖象，也就無法判斷函數的對稱性，那我們又應該從哪個角度來判斷呢？

生5：既然從圖象角度無法判斷，那可不可以類比上節課學習函數的單調性的方法，從代數的角度來研究函數的奇偶性呢？

設計意圖：在學生學習知識的基礎上，結合最近發展區，提出一些學生能夠主動并且可以去解決的問題，激發學生的好奇心，讓學生真正學會學習.通過類比、數形結合、由特殊到一般的方法，學生在獲得知識的同時也獲得了學習的方法.

探究活動2：如何用數量關系來刻畫函數的對稱性呢？

教師：以f（x）=x2為例，通過幾何畫板演示，同學們有怎樣的發現呢？

生6：當自變量互為相反數時，函數值相等.（文字語言）

教師：觀察表1中相應的函數值，大家能證明生6的結論嗎？

生7：對于函數f（x）=x2，有f（－3）=f（3）=9;f（－2）=f（2）=4;f（－1）=f（1）=1.

教師：這些都是比較特殊的函數值，不能用局部代表整體，那如何用更加嚴密的語言來證明呢？

學生共同回答：要證明對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（－x）=f（x）.

教師：若對函數f（x）定義域內的任意x，都有f（－x）=f（x），那么其圖象關于y軸對稱嗎？

生8：函數圖象上的任意一點關于y軸對稱的點也在這個函數的圖象上.

設計意圖：培養學生主動探究、動手操作，以及能夠合理運用文字語言、符號語言表述問題特征的能力，促使學生的思維水平、問題解決的能力都能得到提升和發展.

引出偶函數的定義：一般地，設函數y=f（x）的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有f（－x）=f（x），那么稱函數y=f（x）是偶函數.

2.3 合作探究，類比推理

教師：類比偶函數的探究過程，你能在直角坐標系中畫出函數f（x）=x和g（x）=1x的圖象嗎？觀察發現它們有什么共同特征？（請兩位同學展示自己所畫圖形，教師用幾何畫板演示.）

學生完成表2.

可以發現，當自變量x取一對相反數時，相應的函數值也是一對相反數.

學生合作探究得出，對于函數f（x）=x，有

f（－3）=－3=－f（x）；f（－2）=－2=－f（2）；f（－1）=－1=－f（1）.

那么類比偶函數的定義，我們如何定義具有上述特征的函數呢？

生9：一般地，設函數y=f（x）的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有f（－x）=－f（x），那么稱函數y=f（x）是奇函數.

教師補充：奇函數的圖象關于原點對稱.

設計意圖：通過類比上一節課學習函數單調性的方法來研究函數的奇偶性，從整體上研究函數的性質，函數值隨自變量的變化而變化的規律特征，為以后的學習奠定了基礎.

2.4 講練結合，鞏固新知

例題利用定義，判斷下列函數的奇偶性：

（1）f（x）=x4；

（2）f（x）=x5；

（3）f（x）=x+1x；

（4）f（x）=1x2.

師生活動：教師引導學生找出判斷的依據——定義，根據定義求出函數的定義域I后，再判斷兩個條件“①任意x∈I，－x是否屬于I;

②f（－x）=f（x）或f（－x）=－f（x）”是否成立，只有①②同時成立，才能判斷函數的奇偶性.

預設的答案：

解：（1）函數f（x）=x4的定義域為R.

因為對任意x∈R，都有－x∈R，且f（－x）=（－x）4=x4=f（x），所以

函數f（x）=x4為偶函數.

（2）函數f（x）=x5定義域為R.

因為對任意x∈R，都有－x∈R，且f（－x）=（－x）5=－x5=－f（x），所以

函數f（x）=x5為奇函數.

（3）函數f（x）=x+1x的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞）.

因為對任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），都有－x∈（－∞，0）∪（0，+∞），

且f（－x）=－x+1－x=－x+1x=－f（x），所以

函數f（x）=x+1x為奇函數.

（4）函數f（x）=1x2的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞）.

對任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），都有－x∈（－∞，0）∪（0，+∞），

且f（－x）=1（－x）2=1x2=f（x），所以

函數f（x）=1x2為偶函數.

追問1：你能總結利用定義法判斷函數奇偶性的步驟嗎？

學生討論探究并回答：第一步，求函數的定義域I.第二步，判斷定義域是否關于原點對稱.如果定義域不關于原點對稱，則函數不具有奇偶性，結束判斷；若定義域關于原點對稱，則進行第三步.第三步，對任意x∈I，計算f（－x），若f（－x）=f（x），則為偶函數；若f（－x）=－f（x），則f（x）為奇函數；若f（－x）與f（x）既不相等也不相反，則f（x）既不是奇函數也不是偶函數.

追問2：如果可以作出函數的圖象，是否還需要利用定義判斷函數的奇偶性？你能得到其他的判斷方法嗎？

學生：可以直接根據函數的圖象判斷函數的奇偶性.如果函數圖象關于y軸對稱那么函數為偶函數；如果函數圖象關于原點對稱，那么函數為奇函數.

設計意圖：例1和追問1能夠幫助學生理解并掌握應用定義判定函數奇偶性的過程，進一步加深對概念的認識，在證明過程中提升學生的邏輯推理素養和數學運算素養.追問2能夠引導學生體會函數的圖象.對于研究函數性質的作用，提升學生直觀想象素養.

2.5 歸納小結，布置作業

教師：回顧本節課的內容，請回答以下幾個問題.

（1）什么是奇（偶）函數？用定義判斷函數奇偶性的步驟是什么？

（2）比較奇函數和偶函數的定義，說說二者的異同點.

師生活動：學生順利回答了第（1）個問題并指出了奇函數和偶函數的相同點與不同點.

（2）相同點：①定義域都關于原點對稱；②都是函數的整體性質.

不同點：①偶函數的圖象關于y軸對稱，而奇函數的圖象關于原點對稱；②當自變量取一對相反數時，偶函數對應的函數值相同，而奇函數對應的函數值相反.

設計意圖：通過梳理本節課的內容，學生更能夠系統地理解和掌握函數奇偶性的概念和判定，提升數學抽象、邏輯推理與數學運算核心素養.

本文立足于高中數學課堂實踐基礎之上，選取了人教版高中數學必修一中的重點之一——“函數的奇偶性”，進行具體的教學設計并實施教學實踐，為數學核心素養進一步落實到數學課堂中打下了良好的基礎.最后，學生可以通過建立“研究和思考”系統，利用所學到的知識來解決現實生活中的問題，切實將數學核心素養滲透到數學教學中.