核心素養(yǎng)立意下的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)命題

周建鋒

1 命題

原創(chuàng)題已知函數(shù)f（x）=ex－1－ln x（其中e=2.718 28……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），過(guò)點(diǎn)（a，b）（a≠0）可作曲線f（x）的兩條切線.

（1）請(qǐng)給出a，b應(yīng)滿足的充要條件；

（2）求證：b<2ea－1－2ln |a|－12a2+a－32.

（參考數(shù)據(jù)：e≈1.65.）

考查目標(biāo)：重點(diǎn)考查學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及對(duì)新情境問(wèn)題分析理解的能力.

設(shè)計(jì)思路：近幾年全國(guó)及各地高考數(shù)學(xué)卷對(duì)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題考查得比較多，廣大師生對(duì)這類題的研究比較深入，難以考查出學(xué)生的實(shí)際能力.2022年全國(guó)Ⅰ卷別出心裁，考查交點(diǎn)問(wèn)題并證明三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，體現(xiàn)出推陳出新的導(dǎo)向.

本題融入切線問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)切線問(wèn)題的分析能力.f（x）是一個(gè)下凸函數(shù)，過(guò)某些平面區(qū)域的點(diǎn)可作兩條切線，過(guò)某些平面區(qū)域的點(diǎn)可作一條切線，過(guò)某些平面區(qū)域的點(diǎn)沒(méi)有切線，這需要學(xué)生進(jìn)行深入分析，并作出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撌?得到a，b應(yīng)滿足的充要條件后，第（2）問(wèn)設(shè)計(jì)了一個(gè)不等式，需要利用第（1）問(wèn)的結(jié)論，將不等式進(jìn)行優(yōu)化，而且優(yōu)化后直接證明也有難度，需要用放縮或分析隱零點(diǎn)等手段進(jìn)一步證明.

2 命題過(guò)程

原始題已知函數(shù)f（x）=ex－1－ln x（其中e=2.718 28……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求f（x）的最小值；

（2）若過(guò)點(diǎn)（a，b）（a≠0）可作曲線f（x）的兩條切線，求證：a+b－2f（a）<115+ln 2.

（參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 5≈1.609 4.）

說(shuō)明：命題的最初想法就是角度新一些，從分析過(guò)一點(diǎn)作函數(shù)曲線的兩條切線，得到a，b應(yīng)滿足的充要條件a>0，b

修改1已知函數(shù)f（x）=ex－1－ln x（其中e=2.718 28……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求f（x）的最小值；

（2）若過(guò)點(diǎn)（a，b）（a≠0）可作曲線f（x）的兩條切線，求證：b<2f（a）－a2+2a－1.

（參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 5≈1.609 4.）

說(shuō)明：通過(guò)這次修改，第（2）問(wèn)需要證明一個(gè)復(fù)雜的不等式ex－1－ln x－x2+2x－1>0，但可以通過(guò)第（1）問(wèn)的結(jié)論，放縮為－x2+2x>0在00的條件，縮小了切線分析的空間，故再次修改.

修改2已知函數(shù)f（x）=ex－1－ln x（其中e=2.718 28……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求f（x）的最小值；

（2）若過(guò)點(diǎn)（a，b）（a≠0）可作曲線f（x）的兩條切線，求證：b<2ea－1－2ln |a|－a2+2a－54.

（參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 5≈1.609 4.）

說(shuō)明：解決了修改2的兩個(gè)問(wèn)題后，題目已經(jīng)比較完善了，但又覺(jué)得第（1）問(wèn)與第（2）問(wèn)沒(méi)有關(guān)聯(lián)性，顯得別扭（僅僅為了給學(xué)生送幾分而已），故修改為刪去第（1）問(wèn)，把第（2）問(wèn)分割成兩個(gè)問(wèn)題.

修改3已知函數(shù)f（x）=ex－1－ln x（其中e=2.718 28……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），過(guò)點(diǎn)（a，b）（a≠0）可作曲線f（x）的兩條切線.

（1）請(qǐng)給出a，b應(yīng)滿足的充要條件；

（2）求證：b<2ea－1－2ln |a|－a2+2a－54.

（參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 5≈1.609 4.）

說(shuō)明：到第四稿，還是覺(jué)得第（2）問(wèn)的結(jié)構(gòu)不是很完美，證明過(guò)程中過(guò)多地用到一些特殊數(shù)據(jù)，所以再次修改，得到最終稿，即本文開(kāi)頭的原創(chuàng)題.

3 試題分析

第（1）問(wèn)分析：對(duì)f（x）求導(dǎo)，f′（x）=ex－1－1x，

f″（x）=ex－1+1x2>0，發(fā)現(xiàn)f（x）是一個(gè)下凸函數(shù)（如圖1），x=0是它的一條漸近線.當(dāng)點(diǎn)（a，b）在漸近線右側(cè)、曲線y=f（x）下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的兩條切線，但要進(jìn)行論證.設(shè)切點(diǎn)為（t，f（t））（t>0），則切線斜率為f′（t）=et－1－1t，f′（t）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，不同的t值對(duì)應(yīng)的切線斜率不同，故當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于t的方程b=（a+1－t）et－1－ln t－at+1有兩個(gè)實(shí)根時(shí)符合題意，從而通過(guò)分析解的個(gè)數(shù)得到a，b應(yīng)滿足的充要條件.

解答第（1）（2）問(wèn)的思維導(dǎo)圖如圖 2、圖3所示.

4 實(shí)測(cè)結(jié)果

本題為2023屆某市四校聯(lián)考?jí)狠S題，滿分12分.我校本題平均分3.07，難度0.26，區(qū)分度0.21.由于整套試卷題目偏難，導(dǎo)致能做到本題的學(xué)生比較少.學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題主要有如下幾個(gè)方面：

（1）運(yùn)算能力不過(guò)關(guān)

①求導(dǎo)出錯(cuò)：如f′（x）=（x－1）ex－2－1x，f″（x）=ex－1－1x2.

②忽略了定義域（0，+∞）對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響.

（2）論證不嚴(yán)謹(jǐn)

使用“易得a>0，b

（3）轉(zhuǎn)化能力不足

在第（2）問(wèn)中，少數(shù)學(xué)生沒(méi)有考慮用第（1）問(wèn)的條件進(jìn)行放縮，而是用切線方程將b替換成以兩個(gè)切點(diǎn)x1，x2為元的不等式，難以證明.

5 體會(huì)

通過(guò)幾次修改，筆者對(duì)題目的構(gòu)思角度、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、考查素養(yǎng)等方面頗為滿意.首先，對(duì)函數(shù)曲線切線的分析是一個(gè)比較新穎的角度，通過(guò)對(duì)切線條數(shù)的分析，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，也即函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，與導(dǎo)數(shù)完美結(jié)合.其次，利用a，b滿足的條件證明一個(gè)雙變量不等式，通過(guò)第（1）問(wèn)的條件進(jìn)行放縮，消去b，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式的證明 .要證明指對(duì)數(shù)混合的不等式，需要扎實(shí)的化歸轉(zhuǎn)化基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生的應(yīng)變能力是一個(gè)很大的考驗(yàn).