小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀的理解和教學(xué)實踐

江蘇省無錫市江陰市第三實驗小學(xué) 黃鳳華

德國數(shù)學(xué)家D.希爾伯特在《直觀幾何》一書中指出，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究問題；也可以幫助我們尋求解決問題的思路；還可以幫助我們理解、記憶所得到的結(jié)果。這就是幾何直觀帶給我們的好處。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)在深入理解幾何直觀素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，努力探索有效培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的教學(xué)策略，讓他們能更積極、更有效地參與到數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，提高幾何直觀能力，以促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

一、看圖——生成數(shù)學(xué)描述的意識

看圖，就是教師在課堂上問學(xué)生“從圖中看到了什么數(shù)學(xué)信息”后，學(xué)生帶著目的，有意識地觀察、提煉圖中涉及的數(shù)學(xué)信息，并能用自己的語言描述看到的數(shù)學(xué)信息。在看圖能力培養(yǎng)的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生有目的地看圖，剔除圖中的非數(shù)學(xué)信息，提煉出相關(guān)的數(shù)學(xué)因素，并逐步過渡到用精練的數(shù)學(xué)語言表達所看到的數(shù)學(xué)信息。

（一）用數(shù)學(xué)的眼光看圖

對于以形象思維為主的小學(xué)生來說，他們往往會被教材中生動的主題圖吸引，尤其是低年級學(xué)生，如果沒有教師的有意識引導(dǎo)，讀圖時他們往往會被色彩鮮艷、形象生動的圖片吸引，把數(shù)學(xué)表達當(dāng)成看圖說話。

從第一節(jié)數(shù)學(xué)課開始，教師就要在課堂上引導(dǎo)學(xué)生進行讀圖的訓(xùn)練，用導(dǎo)向性明確的問題引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、識別圖像的信息，生成用數(shù)學(xué)語言描述信息的直觀意識。引導(dǎo)學(xué)生讀圖時，首先可以給予具體的提示：“從圖中可以看出的數(shù)學(xué)信息是什么？數(shù)學(xué)問題又是什么？”先看條件，再看問題，是讀圖的基本順序。

（二）用數(shù)學(xué)的語言表述信息

在教學(xué)過程中，教師除了需要引導(dǎo)學(xué)生說出圖中的數(shù)學(xué)信息，還需要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的專用詞匯概括看到的信息，比如：用速度、時間、路程來描述行程問題，用單價、數(shù)量、總價來描述購物問題。更重要的是，當(dāng)圖像中的信息較多時，教師還要引導(dǎo)學(xué)生按一定的邏輯順序來表達：先說哪個條件，再說哪個條件能體現(xiàn)出它們之間的關(guān)系。這里不僅需要學(xué)生能讀圖說意，還需要學(xué)生能將直觀信息進行邏輯思考和數(shù)學(xué)加工。這樣的持續(xù)訓(xùn)練不僅能使學(xué)生把圖意表述得更準(zhǔn)確，還能使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到長遠的發(fā)展。

（三）用變式抓住本質(zhì)特征

教師要對圖形素材進行多樣的加工，引導(dǎo)學(xué)生在讀圖的過程中抓住數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)直覺的基礎(chǔ)上構(gòu)建圖形的典型類型與常見變式，在豐富數(shù)學(xué)表象的同時進行數(shù)學(xué)的初步建模。

如“認識垂直”一課，通過初步感知關(guān)于垂直，學(xué)生能夠提煉出的關(guān)鍵詞是“相交”“直角”，但對于很多學(xué)生來說，他們印象深刻的垂直是“橫平豎直”，是能直接觀察到兩條直線相交后的垂足。為了突破常見類型帶來的思維定式，教師在設(shè)計練習(xí)時，就需要注重常見的典型類型與變式的交互出現(xiàn)，以幫助學(xué)生在圖形的辨析中，抓住兩條直線垂直關(guān)系的本質(zhì)特征。

二、析圖——深入對圖像信息的理解

“從圖中還能知道什么？”教師用這樣的問題引導(dǎo)學(xué)生對圖像展開深度思考和探究，對讀圖之后獲得的數(shù)學(xué)信息進行再次加工，或是對已知圖像進行自主測量、分析、比較等，結(jié)合文字語言和數(shù)學(xué)圖形進行合理的猜測、推理、計算等，進一步發(fā)掘圖像所表達的信息。

（一）結(jié)合圖形獲取信息

對于高年級學(xué)生，教師要鼓勵他們借助幾何直觀進行比較、分析，充分發(fā)揮直觀推理在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題過程中的作用，從而發(fā)現(xiàn)圖像條件之間的聯(lián)系以找到解決問題的突破點。

蘇教版數(shù)學(xué)六年級下冊“扇形統(tǒng)計圖”的課后練習(xí)，除了要求學(xué)生能讀懂扇形統(tǒng)計圖中各項分類所占總量的百分比，還要求學(xué)生對圖像進行分析，特別是圖中把條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖結(jié)合起來分析的類型，更加考驗學(xué)生對圖像信息深入理解的能力。教學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生對條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖進行對比、分析后進行相應(yīng)的計算，促進學(xué)生對圖像的深入理解。多種數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法的融合運用，能有效促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成和發(fā)展。

（二）辨析圖形理解意義

在不同的圖中找相同點，在類似的圖中找不同點，學(xué)生經(jīng)歷在辨析圖像中同中求異、異中求同的思維過程，不但能溝通數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，還能在對比、分析的過程中發(fā)展推理能力。

以“2和5的倍數(shù)的特征”為例，以往在探究“5的倍數(shù)”特征時，教師都是采用“初步發(fā)現(xiàn)—提出猜想—舉例驗證”的方式，但這樣的不完全歸納法所得出的結(jié)論，并不能完全消除學(xué)生心中的疑慮。于是，我們采用方格圖的方式，從“7為什么不是5的倍數(shù)”開始研究，逐步加大到17、27、37……107、9997……隨著格子圖的不斷變化，學(xué)生很容易通過對比發(fā)現(xiàn)，無論其他數(shù)位上是幾，只要個位上是7，5個5個地數(shù)格子，都會多2個格子，就不會是5的倍數(shù)。怎樣才能變成5的倍數(shù)？怎樣的數(shù)不會是5的倍數(shù)？方格圖中就能給出答案。（如圖1）因此，用數(shù)形結(jié)合的方式可以通過解釋規(guī)律將枚舉歸納提升為科學(xué)歸納，具有長遠的、廣泛的遷移價值。

圖1

學(xué)生通過分析圖，不但拓展了圖像信息理解的深度，還實現(xiàn)了圖與數(shù)、意與形的有機結(jié)合，更能在這個過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、畫圖——形成幾何表達的慣性

學(xué)生的畫圖能力并不是與生俱來的，而是需要教師的有意識引導(dǎo)。教師要積極鼓勵學(xué)生通過畫圖來尋找解決問題的途徑，逐步培養(yǎng)學(xué)生借助幾何直觀進行數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣。

（一）教給畫圖的技巧

1.從示范到放手

用圖形直觀表達數(shù)學(xué)信息意識的形成，一定是從教師的示范和指導(dǎo)開始的。從最初的表示簡單事物的示意圖，到表達數(shù)量關(guān)系的線段圖，或是表示兩個量積的矩形圖，甚至是表示集合關(guān)系的韋恩圖，都需要教師有意識地引導(dǎo)和示范以及提出規(guī)范要求，引導(dǎo)學(xué)生不但要畫圖，還要在圖上標(biāo)注出已知條件和問題，從而讓圖形更直觀，讓數(shù)量關(guān)系一目了然。在學(xué)生掌握了一定技能后，教師可以放手讓學(xué)生獨立畫圖。但為了保證圖畫準(zhǔn)確性，在學(xué)生獨立畫圖的初期，教師需要逐個關(guān)注，給予適時的點撥，并組織學(xué)生相互交流畫圖的過程和圖形表達的含義，通過教師的示范再逐步放手讓學(xué)生獨立畫圖表達，逐漸形成畫圖的習(xí)慣。

2.先思考再下筆

對于輔助解題類的畫圖，一開始，學(xué)生會根據(jù)題目信息精準(zhǔn)畫圖。比如，需要畫一個長方形時，學(xué)生會用直尺精確量出長、寬的厘米數(shù)，這樣往往需要耗費大量的時間，反而影響了教學(xué)的效率。其實，對于此類畫圖，教師要引導(dǎo)學(xué)生不需要畫得非常精準(zhǔn)，但也不能隨心所欲，可以根據(jù)所給數(shù)據(jù)的特點確定所畫圖的大概模樣。比如，畫長方體時，要根據(jù)長、寬、高的不同數(shù)據(jù)大小來決定長方體的形狀；畫線段圖時，需要畫幾條線段？（整體和部分的關(guān)系用一條線段，兩個獨立量的關(guān)系用兩條線段比較合適）需要畫多長？（要根據(jù)數(shù)據(jù)來預(yù)估所畫線段的長短）把圖畫得大小合適、形狀妥帖的前提是提前對數(shù)量、數(shù)據(jù)進行分析，先思考再下筆，這樣可以大大提高畫圖的準(zhǔn)確性。同時，教師還要引導(dǎo)學(xué)生注意畫圖的順序，注意圖形的層次性、結(jié)構(gòu)性、合理性。

在“稍復(fù)雜的分數(shù)乘法實際問題”中，“單位1的量”“分率的對應(yīng)量”這樣的文字描述對學(xué)生來說枯燥且難以理解。比如：要表示“女生人數(shù)比男生人數(shù)多四分之一”，要畫幾條線段？先畫誰？為什么要先畫男生？表示男生的線段畫多長比較合適？多四分之一怎么畫？有了這樣的思考順序的線段圖，學(xué)生對各個量所對應(yīng)的分率就能形成精準(zhǔn)的把握，從而通過線段圖的分析找出數(shù)量關(guān)系。

（二）養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣

1.習(xí)慣來源于自我需求

曹培英教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)研究》中指出，學(xué)習(xí)圖示豐富了問題解決的輔助手段，有利于學(xué)生逐步形成主觀構(gòu)造直觀、整理信息的習(xí)慣與意識，這些收獲具有長遠的效能，甚至可以說終身受益。隨著年級的升高，數(shù)學(xué)問題開始越發(fā)抽象，特別是出現(xiàn)有關(guān)分率的解決實際問題和平面圖形的周長、面積，立體圖形的表面積、體積變化，這類稍復(fù)雜問題的分析更需要直觀圖的支撐。當(dāng)學(xué)生在文字理解上遇到困難時，教師不要急于引導(dǎo)和指路，而是需要“等一等”，讓畫圖成為學(xué)生自己的需求。“一下子想不到辦法怎么辦？”“圖形變化之后變成什么模樣？”在解題困頓時，學(xué)生迫切需要一種策略來幫助自己理解數(shù)量關(guān)系，表達圖形直觀。此時，畫圖的策略才會成為學(xué)生真正的心理需求。

“一個分數(shù)，分子與分母相差15，約分后的結(jié)果是七分之四。這個分數(shù)原來是多少？”在沒有畫圖之前，學(xué)生應(yīng)該會利用分數(shù)的基本性質(zhì)，用一一列舉的方法，找到這個分數(shù)原來是多少。畫圖之后，有的學(xué)生在反思性作業(yè)中寫道：“這種方式十分簡便，重點就是畫圖，畫一畫，數(shù)據(jù)一標(biāo)，你就什么都懂了！”對學(xué)生來說，最直接的畫圖需求就是遇到了解題困頓。

2.習(xí)慣養(yǎng)成于教師要求

在日常教學(xué)中，教師會發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生無法理解為什么要畫圖，更沒有自覺畫圖的意識，這樣自然就無法養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣。因此，教師需要在某一階段教學(xué)時，明確提出畫圖要求，讓學(xué)生必須通過畫圖解決問題，并用是否畫圖作為評價學(xué)生解題過程是否完整的標(biāo)準(zhǔn)之一。漸漸地，學(xué)生才會在解決問題時產(chǎn)生主動畫圖的意識：“是否需要用畫圖直觀表達題意？應(yīng)該用怎樣的圖才能準(zhǔn)確表達？”把主動畫圖的意識和學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)相結(jié)合，進而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）用圖像語言表達

教師讓學(xué)生長期經(jīng)歷問題分析與圖形描述相結(jié)合的過程，培養(yǎng)學(xué)生畫圖的本能，引導(dǎo)學(xué)生會用圖像語言表達文字語言。這樣，學(xué)生的幾何直觀意識才能逐步發(fā)展起來。借助畫圖手段可以展示數(shù)學(xué)思考的過程，也可以證明數(shù)學(xué)推理的結(jié)論，特別是對于小學(xué)生來說，一些數(shù)學(xué)知識概念性較強，用語言描述、推理判斷過程時會存在一定困難。

比如，在學(xué)習(xí)了“多邊形的面積”后的練習(xí)題：“如果有一個平行四邊形和三角形等底，平行四邊形的高是三角形高的2倍，此時平行四邊形的面積是三角形面積的幾倍？”面對這樣一個缺少了圖形底和高長度的實際問題，學(xué)生呈現(xiàn)了不同的描述方式：一些學(xué)生用文字描述和計算表述推理過程，另一些學(xué)生則直接用畫圖的方式表示推理過程。從學(xué)生的圖中，我們不難發(fā)現(xiàn)，他們實際上是實現(xiàn)了用圖像語言表達文字語言。正是教師在日常教學(xué)中有意識地引導(dǎo)和訓(xùn)練，才讓學(xué)生在遇到實際問題時自然就形成了幾何表達的慣性。

幾何直觀作為一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，它的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，教師需要在教學(xué)過程中努力探索有效的培養(yǎng)路徑，以幫助學(xué)生不斷積累借助幾何直觀進行數(shù)學(xué)思考和解決問題的經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀能力。