統計部分新、舊數學教材比較分析

安 賀

(牡丹江市第一高級中學, 黑龍江 牡丹江 157000)

一、知識系統對比

(一)體例結構

舊教材統計章節布局結構圖

新教材統計章節布局結構圖

從新舊教材結構框圖能夠看出,整體變化較大,框圖形式區別明顯,從章節脈絡來看,舊教材在內容上,以數據收集為出發點,由此引出抽樣方法(簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統抽樣),通過對數據整理、分析、估計與判斷,由此介紹樣本估計總體的相關內容,再由變量間相關關系,引出線性回歸。而對于新教材則秉持一切從實際出發,將教學內容主體分為對總體而言涉及哪些研究方向,在總體數據基礎上進行抽樣得到樣本,利用樣本對總體進行估計,從而引出樣本估計的相關內容。

(二)知識點內容比較

舊教材新教材簡單隨機抽樣全面調查與抽樣調查系統抽樣簡單隨機抽樣(有放回與不放回)分層抽樣總體平均數與樣本平均數用樣本的頻率分布估計總體的分布分層隨機抽樣(按比例分層抽樣)用樣本的數字特征估計總體的數字特征分層隨機抽樣中的總體平均數與樣本平均數變量之間的相關關系獲取數據的途徑兩個變量的線性相關總體取值規律的估計總體百分位數的估計總體集中趨勢的估計總體離散程度的估計

由上表可知,新舊教材在統計這一章的知識點存在一定的差異。從上述圖表中可明顯看出,知識點容量增多,條理更加細化,要么知識點刪除(比如系統抽樣),要么知識點在原有基礎上得以擴充。并將教學內容與實際應用(計算機的操作與使用)緊密聯系,使得整章知識以科技作為依托,更具備實用性與前瞻性。

二、習題系統

統計的學習是以數學知識為基礎,將數學融入到生活,用數學的嚴謹邏輯闡釋實際生活中相關事物的內在聯系,并通過得到的結論充實數學的應用。所以統計的相應知識點與習題都是圍繞著實際生活,均以現實事物為背景,所以如何更好的解讀、挖掘與處理數據將成為解決統計習題的核心。

(一)例、習題數量

例習題的數量主要反映教科書例題和習題的容量,教材中有“例”或者“例題”“探究”“問題”這類標記的數學題記為例題,教材中的練習題、習題和復習參考題記為習題。統計結果如下:

舊教材新教材內容例題數量習題數量內容例題數量習題數量簡單隨機抽樣14簡單隨機抽樣48系統抽樣13分層隨機抽樣34分層抽樣、抽樣方法對比23總體取值規律的估計15用樣本的頻率分布估計總體分布13總體百分位數的估計35用樣本的數字特征估計總體的數字特征23總體集中趨勢的估計33兩個變量的線性相關12總體離散程度的估計23總計818總計1628

從例習題中可以看出,例題(包括探究問題)有所增加,具體變化如下:

1.新教材最大的特點就是很多的問題是以探究的形式體現,問題設置上,提高了學生的參與度,極大地能調動起學生的探究欲,各抒己見。與此同時,針對統計這一章節而言,其教學內容本身就是一個統計模型,以探究的背景體現,更能突出模型的特征(不斷完善其整體性與應用性)。

2.新教材中在本章并沒有介紹線性相關的內容,而是針對數據特點著重分析,在利用一維數據挖掘數據中,能夠獲得數據的哪些信息進而探究其實用價值。從例題中能夠看出,每一個設問同時也是在對一維數據價值的解答。

3.在統計學中,對數據的初級挖掘與初步處理也叫作描述性分析,這里面就是利用數據本身的形態對數據整體進行把控,在這里將線性回歸(二維數據的一種分析方法)的相關問題挪到后面,也是在保證描述性分析過程的完整性,為后續二維數據分析奠定了一個數據基礎。

(二)例、習題結構層次

依據不同課標編寫的新舊教材除了例習題的數量和類型有所差異,在例習題結構層次的劃分中也有所不同,舊教材將習題和參考題都分成了兩個層次,即A組和B組,且A組和B組之間的題目序號不是連續的,A組和B組的題目在難度上屬于遞進的關系。新教材將習題和復習參考題分成“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個層次,三個層次之間的題目序號是連續的,三個層次的名稱設置各有其目的和意圖,“復習鞏固”的題目主要是為了加深學生對所學知識的記憶和理解;“綜合運用”是比“復習鞏固”更高的層次,其目的是使學生學以致用,將所學知識運用到實際生活中,解決生活中的實際問題,提高學生解決問題的能力,“拓廣探索”是最高層次,這個層次的題目主要是為了鼓勵學生主動探索,培養學生的發散性思維,提高學生從多角度思考探究問題的能力。

三、例習題綜合難度

在數學學習中,教材中的例題具有重要的作用。它是知識的引領與線索,更具有典型性,新知識的獲得與鞏固離不開例題,在統計本章,從實際生活中的問題出發來探究數據的處理,強化了知識的應用性,也同時反映了生活中關注的話題。教材中的習題是對新知應用的一種反饋,能夠加深學生對知識的理解,同時通過一定量的習題可以對學生的知識進行深化與拓廣,并且習題較例題綜合性更強一些,在解答過程中更能將數學整體的框架構建完全,從而整體推升學生的數學思維。但是,習題量過大,也會導致學生負擔過重,從而打消學生的積極性。因此,在習題的安排上,要有精度與梯度,才能達到更好的鍛煉效果,實現預設的目標。下表是對新舊教材例習題難度因素的量化統計

(一)難度統計

難度因素等級水平題量百分比加權平均舊新舊新舊新背景無背景3126.98%21.82%2.062.07個人生活433184.31%56.36%公共常識487.84%14.55%科學情景141.96%7.27%數學認知操作25649.02%10.00%2.082.78概念7813.73%13.33%領會-說明93917.65%65.00%分析-探究10719.61%11.67%運算無運算302560.00%39.68%1.41.89數值運算202840.00%44.44%

續表

(二)五因素分析

根據以上五個難度因素水平所得的加權平均值,繪制出能夠表示不等式部分例習題難度水平的五邊形模型,如圖所示。

從上圖可以看出,整體新教材幅度變廣,說明綜合性增加,對于背景、知識含量相對相差不大,推理、運算、數學認知相對相差較大,特別是新教材提升了對數學認知的廣度。這說明,新教材對于統計這章更加注重綜合性與應用性,難度較舊教材變難。因此,在教學過程中更應該注重學生對統計本質的研究,將統計的應用性得到拓廣。

通過上述研究結果,習題綜合難度增加,知識點更服務于實際,理論證明難度增大,比如加入了樣本平均數與總體平均數,分層抽樣分為了按比例與不按比例,中位數擴充為了第p百分位數,從增加內容上實際就能體現出本章知識點難度較舊教材大,所以習題配置上難度也不會降低。由于統計來源于應用,從教材例題就能看出,較以往不同的是,一個例題圍繞一整節課,探究過程就是一個完整的統計報告,因此習題設置也選擇用多問題模式,使得學生更能成為課堂的主體,學生群體參與度大幅度提高,從習題數據角度能讓學生充分挖掘,多角度、多維度思考問題,培養了學生統計的綜合能力。

(三)課程時間

課程時間是指學習完本課程所需要的時間,在本文中指的是在新舊教材中學習不等式主題內容所需要的課時總和,新舊兩版教材都是根據《課程標準》來規定的課時,具體分配時間如表所示。

舊教材課時新教材課時隨機抽樣5隨機抽樣4用樣本估計總體5用樣本估計總體4變量間的相關關系4統計案例2實習作業1小結2小結與復習1總計16總計12

由上表可知舊教材課時T1=16,新教材課時T1=12。

(四)課程廣度

課程廣度反映了課程內容所涉及領域的廣泛程度,知識點是課程學習的基本單元,所以可以通過研究知識點的數量對課程廣度進行量化,新舊知識點的數量如表所示。

(五)課程深度

量化課程深度是一件非常困難的事情,它涉及概念的抽象度以及概念之間的關聯程度,還涉及課程內容的推理與運算步驟,沒有具體統一的標準。數學課程是以定義、概念、定理和實際應用等搭建起來的環環相扣的抽象整體,課程的抽象程度在一定程度上可以反映課程的深度。除了可以用數學的抽象度和概念之間的抽象連接來刻畫課程的深度,還可以用數學的推理、運算、概念間的關系等來刻畫課程的難易程度。因此,在量化課程深度時可以從大綱中對課程的行為動詞的要求入手,分析數學課程不同的知識點在大綱中的具體要求,并將大綱中的行為動詞進行賦值,從而量化課程深度。課程目標行為動詞具體賦值和新舊教材統計主題內容各個知識點的具體賦值如下表所示:

人教社舊新教材不等式內容知識點深度水平

新教材舊教材知識技能目標(賦值)+過程性方法目標(賦值)加權平均值隨機抽樣隨機抽樣了解(1)理解(2)2總體估計用樣本估計總體了解(1)理解(2)掌握(3)3變量的相關性變量的相關性了解(1)掌握(3)2.5

(五)比較結果

將以上分析得出的數據匯總,如下表:人教版新舊教材不等式內容的課程難度系數

教材版本課程時間T課程廣度G課程深度S可比廣度GT可比深度ST舊教材1677.50.43750.46875新教材12107.50.8330.625

根據史寧中教授的課程難度模型,分別計算出兩版教材不等式內容的課程難度:

其中,0<α<1,則,0.4375

四、具體建議

由以上數據可知,舊教材的課程難度低于新教材,新教材的課程難度比舊教材高約0.28。其主要原因在于,新教材相比舊教材課程廣度增加、深度一致,這兩個指標都揭示了課程的難度,結果是新教材的課程難度比舊教材高0.28,即新教材的課程難度比舊教材高28%。

根據上述得到的結果,能夠看出統計一章新舊教材差別相對較大,那么在教學過程中,我們就需要轉變教學模式,梳理新教材的教學脈絡,培養學生的綜合能力。從課程環節設置上來看,新教材更加注重問題探究的完整性與鏈條性,對應統計模型架構的連貫性也較為突出。因此,在教學過程中,要著眼于問題本身,注重多維度多角度的引領學生剖析問題,與此同時,在日常學習中,要有意識的豐富學生對于統計在實際生活中的應用,豐富統計知識架構,培養學生數學的實際應用能力。

在例習題方面,新教材大多以例題作為問題的引出,習題很多都是在例題基礎上對問題的進一步探究,包括近幾年的高考題也能看出,很多問題都是在例題與相應習題上的再設置。所以我們需要在教學過程中將例習題相應問題脈絡及時梳理清楚,有助于教材的整體把握。

Comparative Analysis of New and Old Mathematics Textbooks in the Statistics Section

AN He

(Mudanjiang No.1 Senior High School, Mudanjiang,Heilongjiang 157000)

Abstract:As a teaching book that systematically reflects subject content,the 2019 version of the new textbook guided by the new curriculum standards has entered the classroom,pointing out new directions for mathematics education. Based on this,the article starts from statistical content and analyzes the knowledge system of the statistical chapter in the new and old textbooks (including course structure and logical connection,style structure,knowledge point content,and mathematical culture infiltration) Analyzing the example exercise system (including the number,type,structural level,and comprehensive difficulty of the exercises) and course difficulty (including course breadth,course depth,comprehensive difficulty of the exercises,course time,and comparative results),in order to specifically grasp the similarities and differences in statistical knowledge between new and old textbooks,which helps to grasp and understand the new textbooks,and to propose some rationalization suggestions.

Keywords:New Curriculum Reform;High school mathematics textbooks;Comparison and analysis