在畫法幾何課程中空間思維的教學實踐

［摘 要］ 空間思維能力是學生理解三維立體結構和二維平面投影之間關系的一座橋梁。如何在畫法幾何教學中有效提高學生的空間思維和空間想象能力，是值得重點探索的課題。根據多年的教學實踐，從授課形式、授課理念和哲學思想角度闡述提高學生空間思維的心得，認為既須鼓勵學生建立起三維物體與二維平面投影的空間轉化信心，也須通過融會貫通的授課方式讓學生更好地理解畫法幾何知識體系，并傳遞“萬變不離其宗”的哲學思想，引導學生以有限的知識來應對變化萬千的三維物體的投影問題。

［關鍵詞］ 畫法幾何；空間思維；畫圖能力；正投影法；融會貫通

［基金項目］ 2019—2022年廣東省基礎與應用基礎研究基金項目“力致發光變色的形狀記憶高分子的設計合成及其性能研究”（2020A1515010476）

［作者簡介］ 黃華華（1982—），女，廣東信宜人，博士，中山大學材料科學與工程學院副教授，主要從事功能高分子合成及應用研究。

引言

畫法幾何是理工科專業必修課程“工程制圖”中最重要和最核心的部分。“工程制圖”課程是一門用投影法繪制工程圖樣和解決空間幾何問題的理論與方法的技術基礎課，畫法幾何部分主要是研究用正投影法圖示空間幾何形體和圖解空間幾何問題的基本理論及方法［1］。簡而言之，畫法幾何就是研究如何“由物畫圖，由圖想物”的過程，這一過程須要把投影分析與空間想象緊密結合。所以，畫法幾何的學習，離不開空間思維和空間分析能力的培養。因此，在畫法幾何教學過程中，如何有效培養學生的空間分析和空間想象能力，是重中之重的教學任務［2］。而學生空間思維能力的提高，將令其受益終生，因此，這也是每位“工程制圖”教師的教學使命。根據筆者連續擔任“工程制圖”課程六年授課經驗，分享對學生空間思維能力培養的思考和見解。

一、引導學生，建立三維立體結構與二維平面投影的空間轉化信心

畫法幾何研究的核心問題是如何用二維平面投影來反映三維物體。為了將三維立體結構在二維平面圖形中反映出來，引入了正投影法。正是由于正投影法的引入，使三維立體結構的表達不再符合日常形象思維和感性認識而變得抽象。而空間想象能力，正是連接二維投影和三維物體之間的橋梁，如何架通這一橋梁，是諸多學生面臨的關鍵難點，也是教學中須特別注意解決的問題［3］。

通常，在教學過程中我們會借助電腦動態圖片、3D動畫或者各種三維模型來引導學生理解三維立體在二維平面的投影問題［4］。但是，單純依賴這些輔助手段，容易給學生造成聽課很明白、做題卻發愁的情況，因為學生課后離開了這些輔助，容易不知道如何引導自己進行空間想象。筆者通過教學經驗發現，引導學生善于借助身邊隨處可見、隨手拈來的三維實物進行空間想象，會獲得事半功倍的教學效果。而且，這種引導在學生剛開始接觸工程制圖和畫法幾何時就開始展開，會讓學生對學習畫法幾何時產生濃厚的興趣，提高自創三維模型的積極性。例如，在“工程制圖”第一次課介紹三個互相垂直的投影面構成三投影面體系的概念時，讓學生尋找周圍環境，如地面、正面墻壁和右邊墻壁可構成第一掛角，或者把課本打開垂直放置桌面也可構成一個三投影面體系；在介紹直線與平面的投影時，引導學生采用筆、書本、三角板等通過正投影法理解特殊位置直線和特殊位置平面的投影規律；在講解直線與平面相交或者兩平面相交的遮擋關系時，讓學生用筆穿過紙張或者小紙張穿過大紙張來琢磨二者的投影問題；在講解立體投影、體與體相貫時，紙杯、粉筆盒、卷曲書本和水杯都是很好的三維實物，利用好水杯，學生能更直接地理解曲面立體的投影特點，也能更好地明白兩曲面立體相交時的相貫線形成及其投影規律。因此，在課上，通過電腦動畫和三維模型展示，再加上身邊的三維實物，不僅活躍了課堂的氛圍，提高了學生的空間想象積極性，更重要的是，幫助學生建立了三維立體與二維平面空間轉化的信心。在課程后期，會看到學生很自然地借助水杯或者書本等進行空間想象，發現學生的空間思維越來越活躍，看圖做題的速度越來越快。

二、融會貫通的授課理念

在畫法幾何介紹中，大多數課本和授課都會從點、直線和平面的投影開始講解，接下來是簡單體的投影、平面與立體相交、立體與立體相交，再到組合體。這樣一個知識結構體系在教師看來是合情合理、銜接自然且富有邏輯性的。可是，對于初學該課程的學生而言，教學中知識點的銜接具有跳躍性。如果教師在授課過程中，完全照本宣科，僅僅按照點、直線、平面到立體的投影這樣一個線索進行講解，學生在學習過程中，會產生不少困惑［5］。例如，他們不明白特殊位置直線和特殊位置平面的意義，而在解決體的投影問題時，不會運用這些“特殊線”和“特殊面”來讀圖與畫圖；在簡單體投影的講解中，很難理解立體表面取點問題的重要性，而在畫圖時，又不能很好地運用面上取點法來作圖。然而，在筆者的教學經驗中，發現課堂中融會貫通的講授方式，一方面，能讓學生更好地理解畫法幾何的知識結構體系，另一方面，能促進學生靈活自如地運用畫法幾何的基礎知識，而不是照葫蘆畫瓢式地解決二維平面表達三維物體的問題。

筆者認為，很多教師在授課中都會或多或少采用融會貫通的方法，給學生梳理知識體系，但真正將融會貫通落到實處，并不是一件簡單的口頭表述的事情，這需要教師熟練運用畫法幾何知識結構體系去讀圖和畫圖，并在教學過程中做好課程設計和方案。在這里，筆者列舉以下三個例子加以說明。

1.在講解特殊位置直線和特殊位置平面前，展示如圖1（a）三維立體結構在三個投影面上的投影，讓學生觀察直線IF與直線EF的投影，從而引出投影面平行線與垂直線的投影特點；觀察平面AFIH與平面FEJI的投影，引出投影面平行面與垂直面的投影特點。而在講解點、直線與平面投影后，及時運用這些投影特點，對較為復雜的立體結構投影進行分析，如圖1（b），重點分析P面的投影，學會利用垂直面的投影特點，想象P在側面投影面的投影形狀。通過體的投影引出直線與平面投影，再反饋體的投影這樣一個融會貫通的講課方式，容易使學生清楚地知道點、直線與平面投影是三維模型在二維平面上投影的基礎，并且培養學生從點、直線與平面投影的角度去分析三維模型在二維平面上投影問題的思維能力。

2.在講解基本體面上取點法，尤其曲面立體的表面取點問題時，可以適當展示一些典型的組合體三視圖，讓學生初步明白復雜的組合體或者不規則三維物體在二維平面的投影，可歸根于立體表面的取點問題，從而清楚面上取點法的重要性。如圖2（a）所示，通過向學生展示被兩個平面截切后的不規則圓錐三視圖，指出問題的關鍵是把立體表面上的A、B和C點投影做出來，從而引出曲面立體表面取點方法，并在此圖上展示輔助直線法和輔助圓法完成該立體的三視圖。而介紹體表面取點方法后，反過來讓學生獨立完成如圖2（b）的三視圖。在圖2（b）中，圓錐是水平放置的，而前面展示的體表面取點法包括圖2（a）的圓錐是立起來。學生對立起來的圓錐比較容易接受，但面對水平放置的圓錐，尤其如圖2（b）被截平面截切后的圓錐，部分學生會出現畏難情緒，一些學生能想象出其投影形狀，但不懂如何采用體表面取點法將中間點I在俯視圖中做出來。所以，需要在水平放置的圓錐上進一步展示通過輔助直線法和輔助圓法兩種方法來完成體表面取點的問題。因此，通過組合體投影引出面上取點法，再反饋組合體投影這樣一個融會貫通的授課方法，一方面，可以讓學生重視面上取點法的學習，認真掌握基本體的表面取點方法，另一方面，能夠提前培養學生對待復合體投影的正確邏輯思維和空間想象能力。

3.在講解立體與立體相交，涉及含有內表面結構的表達或者含有內孔的體與體相交時，可以引導學生以剖視圖的角度進行空間想象。在許多教材和課程安排上，剖視圖是設計在《立體與立體相交》和《組合體》章節后才開始向學生介紹的。而在這里提倡，提前給學生介紹剖視圖的概念，并向學生展示一些簡單的剖視圖，原因主要有以下三點：一是非常有助于學生解決含有內孔的體與體相交的投影問題。含有內部結構的三維物體的表達，尤其涉及含有內孔的體與體相交，對于初學者來說是一個富有挑戰性的難題。如何幫助學生克服面對內部結構復雜的物體空間想象困難的問題？采用剖視圖的角度進行空間想象是一個非常好的辦法。引導學生在面對有內孔結構的三維物體時，假想用剖切平面剖開物體，將處在觀察者與剖切面之間的部分移開，而將其余部分向投影面投射，這樣學生自然而然地學會了將內部結構轉化為外部立體進行空間想象。二是在具體學習《剖視圖》章節時，學生也自然理解和接受剖視圖的表達方式。如果沒有前面的提前鋪墊，許多學生會產生困惑，為什么前面涉及內部結構表達時，沒有介紹用剖視圖的角度去看待內部結構呢？為什么前面用虛線表達內部結構而在這里須改成粗實線呢？三是這樣一個承上啟下和層層遞進的講解思路，體現了畫法幾何知識的連貫性以及本課程融會貫通的學習理念。在筆者看來，融會貫通理念的傳授，就如“授人以魚不如授人以漁”，具有非常重要的教學意義。

三、萬變不離其宗的哲學思想

在學習畫法幾何的圖形表達過程中，我們會發現，畫法幾何的投影原理和概念是很少的，如何利用有限的投影原理來面對形狀各異和結構多變的三維物體在二維平面上的表達，是值得我們認真探討的課題。在畫法幾何中非常重要的關系就是三視圖間的三等對應關系（長對正、高平齊、寬相等）和方位對應關系。這兩種對應關系貫穿整個畫法幾何的學習，不論畫圖還是讀圖都須要運用這兩種對應關系來解決三維立體結構與二維平面間的空間轉化問題。因此，如何引導學生真正利用好三視圖間的對應關系，來應對變化萬千的三維物體的投影，也就是如何引導學生將“縱橫不出方圓、萬變不離其宗”的哲學思想落到實處，是畫法幾何教學中最重要的思想引導。

根據筆者的教學經驗，要讓學生在畫法幾何中真正體會到“萬變不離其宗”的哲學精髓并自然運用，在授課過程中須注意以下兩點：一是在圖解過程中，教師要以身作則，經常通過動畫方式，向學生逐步展示如何運用三視圖間的對應關系來讀圖和畫圖。二是強調采用正確的圖解思路進行解題。尤其對于已知三維物體的二視圖或部分視圖，須做出第三視圖。首先進行空間想象，然后根據已知投影作出未知投影，最后進行反饋，確認三維物體與二維平面的表達是否一致。而進行空間想象到作投影畫圖，再到圖形確認的過程，都離不開三視圖間對應關系的運用。

結語

總而言之，在畫法幾何教學過程中，學生空間思維和空間想象能力的培養，是非常重要的教學目標之一。一旦學生對三維立體結構在二維平面投影空間轉化的信心和興趣建立起來，其繪圖和讀圖能力培養則是水到渠成的事情，所以，教師應鼓勵學生多動手搭建三維模型，多思考、多練習。此外，通過融會貫通的教學理念，可以讓學生非常清楚畫法幾何的整個知識體系，真正掌握用正投影法來圖示空間幾何形體和圖解空間幾何問題的基本理論及方法，能以“萬變不離其宗”的哲學思想，以有限的理論知識沉著應對生產和生活中各種三維物體的二維平面表達問題。

參考文獻

［1］耿直，王闖.新工科背景下環境工程專業課程教學改革探討：以畫法幾何及工程制圖課程教學為例［J］.科教文匯，2022（1）：44-47.

［2］李玲，李卉.機械制圖之“相貫線”課堂教學優化與實踐［J］.教育教學論壇，2017（33）：134-135.

［3］曾萍.工程制圖中組合體三視圖的教學探討［J］.貴州農機化，2020（1）：33-36.

［4］徐健，賀婷婷，姜杉，等.拆分式組合體模型的研發與在工程圖學實踐教學中的應用［J］.教育教學論壇，2017（4）：177-178.

［5］黃才華，葉喜蔥.“畫法幾何”課程教學難點化解的研究與實踐［J］.中國電力教育，2014（8）：94-95.

The Cultivation of Spatial Thinking During the Course of Descriptive Geometry

HUANG Hua-hua

（School of Materials Science and Engineering， Sun Yat-sen University， Guangzhou， Guangdong 510275， China）

Abstract： The ability of spatial thinking is a bridge for students to understand the relationship between three-dimensional structure and two-dimensional plane projection. How to effectively improve spatial thinking and spatial imagination ability of students is an important topic worthy of study in descriptive geometry teaching. Based on years of teaching practice， the author expounds his experience in improving spatial thinking of students from the perspective of teaching form， teaching methodology and philosophy. The author believes that it is not only necessary to encourage students to establish confidence in the spatial transformation of three-dimensional objects and two-dimensional plane projection， but also to let students better understand the knowledge system of descriptive geometry through a well-integrated teaching method. In addition， it is meaningful to pass on the philosophy of “never changing without its religion”， so as to guide students to deal with the projection problem of various three-dimensional objects with limited knowledge.

Key words： descriptive geometry; spatial thinking; drawing ability; projection method; well-integrated teaching