高中函數(shù)問題的兩種常用解題方法探究

吳葉

【摘要】針對同一類型問題，掌握不同的解答方法，有助于促進(jìn)學(xué)生對理論知識(shí)的理解與掌握，從而做到融會(huì)貫通、舉一反三.函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，其解題的思路和方法也是多種多樣的.本文針對高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題，分析了運(yùn)用圖象法和導(dǎo)數(shù)法這兩種常用方法解答問題時(shí)的思考過程，并舉例進(jìn)行詳解，以期望加強(qiáng)學(xué)生對這一知識(shí)點(diǎn)的掌握與理解.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；多元；解題思路

1? 圖象法

圖象法在解函數(shù)問題中的應(yīng)用主要是根據(jù)圖象的特點(diǎn)，判斷函數(shù)單調(diào)性、方程根的個(gè)數(shù)，以及不等式解集等問題.解題的思考過程為：首先分析題設(shè)的含義，然后畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，再依據(jù)函數(shù)圖象得出相應(yīng)的關(guān)系式，最后求解作答.具體題型分析如下：

1.1? 利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

例1? 已知函數(shù)f（x）=2－x－1，x≤0，－x2+4x，x>0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

分析? 對于容易在給定區(qū)間上畫出圖象的函數(shù)，當(dāng)要求討論其單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)時(shí)，最便捷的方法是直接畫出圖象進(jìn)行解答.

解? 如圖1，畫出f（x）的圖象，易知f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為0，2，單調(diào)遞減區(qū)間為－∞，0和2，+∞.

1.2? 利用函數(shù)圖象研究方程根的個(gè)數(shù)

例2? 已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（1－x）=f（1+x），當(dāng)x∈0，1時(shí)，f（x）=x，函數(shù)g（x）=e－x－1－1<x<3，求f（x）與g（x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析? 方程f（x）=0的根就是函數(shù)f（x）圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f（x）=g（x）的根就是函數(shù)f（x）與g（x）圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

解? 由題意可知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，

當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=2－x，g（x）=e1－x，設(shè)h（x）=2－x－e1－x1≤x≤2，則h′（x）=－1+e1－x≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號，即函數(shù)h（x）在1，2上為減函數(shù).又h（1）=0，則h（x）≤0，即函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在1，2上無交點(diǎn).因此函數(shù)f（x）和g（x）在－1，3上的圖象如圖2所示，可知兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn).

1.3? 利用函數(shù)圖象研究不等式解集

例3? 已知函數(shù)f（x）=2x－x－1，求不等式f（x）>0的解集.

分析? 當(dāng)函數(shù)較為復(fù)雜，不方便用代數(shù)法求解不等式時(shí)，可以利用數(shù)形結(jié)合來處理，將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的上下關(guān)系問題.

解? 不等式f（x）>0等價(jià)于不等式2x>x+1.畫出函數(shù)y=2x和函數(shù)y=x+1的圖象如，圖3所示，易知兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）和（0，1）.觀察圖象可知，當(dāng)x>1或x<0時(shí)，函數(shù)y=2x的圖象在函數(shù)y=x+1圖象的上方，即2x>x+1，故不等式f（x）>0的解集為（－∞，0）∪（1，+∞）.

2? 導(dǎo)數(shù)法

2.1? 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間是其重要應(yīng)用之一，也是高考的熱點(diǎn)，解決此類問題關(guān)鍵在于根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的符號變化確定參數(shù)所滿足的條件.解題的思考過程為：首先求函數(shù)f（x）的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）>0或f′（x）<0，最后得出結(jié)論.

例4? （2021·全國高考節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=x3－x2+ax+1，請討論f（x）的單調(diào)性.

解? 對函數(shù)求導(dǎo)得f′（x）=3x2－2x+a，對于3x2－2x+a=0，Δ=4－12a.

①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT當(dāng)a≥13時(shí)，Δ≤0，即f′（x）≥0在R上恒成立，此時(shí)f（x）在R上單調(diào)遞增；

②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT當(dāng)a<13時(shí)，Δ>0，方程3x2－2x+a=0的兩個(gè)根為x1=1－1－3a3，x2=1+1－3a3，

即

x∈－∞，1－1－3a3和1+1－3a3，+∞時(shí)，f′（x）>0；

當(dāng)x∈1－1－3a3，1+1－3a3時(shí)，

f′（x）<0.

綜上所述，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為－∞，1－1－3a3和1+1－3a3，+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為1－1－3a3，1+1－3a3.

2.2? 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，主要是判斷函數(shù)極值或最值的存在情況，以及求極值或最值.這類問題涉及函數(shù)的單調(diào)性，往往需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，關(guān)鍵點(diǎn)是如何對參數(shù)的討論區(qū)間進(jìn)行劃分.其思考過程如下：

①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，首先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)f′（x），再進(jìn)行解方程，判斷f′（x）的符號，最后求出極值得到結(jié)論；

②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，首先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)f′（x），再求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值，以及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后將函數(shù)的極值與端點(diǎn)值比較，確定函數(shù)的最大值或最小值.

例5? （2022·福建調(diào)考）求函數(shù)f（x）=exx2－3在2，4上的最值.

解? 根據(jù)題意得f′（x）=exx+1x－3x2－32，令f′（x）=02≤x≤4，得x=3，當(dāng)2≤x<3時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)3<x≤4時(shí)，f′（x）>0.因此函數(shù)y=f（x）在x=3取得最小值，即fmin（x）=f（3）=e36，在x=2或x=4處取得最大值，

即f（2）=e2，f（4）=e413，而e413·e2<e2，所以fmax（x）=f（2）=e2.

參考文獻(xiàn)：

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