數學核心素養在課堂中的實施策略研究

梁平

【摘? 要】? 三角函數是研究循環往復現象的重要數學模型，本文在三角函數定義的基礎上以課堂實錄的方式呈現正弦函數與余弦函數圖象的研究過程，提供研究函數圖象的基本步驟和具體實例，通過學生自主探究與合作探究，增強學生分析問題、解決問題的能力.

【關鍵字】? 正弦函數；余弦函數；核心素養

深入挖掘數學學科的核心價值，樹立以發展學生數學學科核心素養為導向的教學意識，將數學學科核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程——這是筆者教學設計的根本宗旨.本節課教學的重點是正弦函數圖象的繪制，設計的一大亮點就是由研究函數的一般過程入手，引導學生自主繪制正弦函數圖象，難點放在三角函數橫縱坐標為無理數的解決上，利用三角函數定義、數形結合的思想，突破難點，在過程中體會三角函數的本質，點的選取與繪制成為理解定義應用定義的重要載體.以圖象繪制為依據，體會函數圖象的描點、平移，簡化作圖等綜合處理過程，以數學思想方法為依托，培養數學核心素養.

本單元正弦函數余弦函數的圖象與性質在本章的位置如圖1所示.

正弦函數、余弦函數是一類基本初等函數，作為函數的下位知識，對于它們的研究基本遵從函數圖象與性質的研究思路，可以類比、對比指數函數、對數函數等展開研究：定義—圖象—性質—應用.

在弧度制下，任意角的集合和實數集建立起一一對應的關系，為三角函數奠定基礎，三角函數的定義為圖象的繪制提供了條件，圖象又對后期研究函數的性質提供的方法和依據.

理解角度作為自變量與實數是一一對應的，以本節數學知識作為載體，為滲透類比的思想、轉化化歸的思想，以及數形結合的思想，還有提高數學推理論證能力、幾何直觀能力、代數運算都提供了很好的契機.

探究點的確定與選取過程中，樹立善于思考、嚴謹求實的科學精神；系統地思考如何將定義在單位圓中三角函數的定義利用幾何直觀與代數運算繪制到平面直角坐標系下，體會幾何圖形在精確處理無理數的應用，問題處理的必要性、合理性、優越性；同時，利用五點作圖培養學生簡化數學問題，以及在五點作圖中體會點的對應在函數以及函數圖象上的重要地位，通過正余弦函數的沒再聯系繪制余弦函數圖象體現了劃歸的數學思想，培養學生自主學習習慣，增強學生間相互交流，取長補短，形成良好課堂學習氛圍，達到學生主動、全面、健康發展.

引發學生在問題的發現與解決中進行思維活動，使學生在思考、討論、交流中經歷每個問題的產生和解決過程.

分為以下四個教學環節：

1? 情境引入

1.1? 觀察現實世界中的周而復始現象

現實世界中普遍存在周而復始的現象，比如沙漏在重力的作用下在鉛錘面內做周期擺動，此時如果勻速地拉動紙板，紙板上就會留下一條連續光滑的曲線，這條曲線也從一個側面反映了沙漏的擺動特征.我們知道三角函數是描述周期現象的一類特殊的函數模型，那么它與這條連續光滑的曲線是否存在某種內在聯系呢？帶著這個問題，我們開始繼續研究三角函數.

設計意圖? 讓學生體會三角函數在現實生活中的實例特征，初步感知圖象變化，自然引出函數圖象的研究.

1.2? 類比指對冪函數的研究經驗

我們在定義給出之后，可以畫出函數圖象，通過觀察圖象特征，獲得函數性質的一些結論.在三角函數中，我們發現單位圓上任意一點旋轉一周又回到原來的位置，這一現象也可以用公式（一）來表示，這說明自變量每增加或減少個單位三角函數的函數值重復出現，利用這一特征就可以簡化三角函數圖象與性質的研究過程.

1.3? 正弦函數余弦函數的圖象

利用類比函數的研究思路，自然引出這節課的重點內容，熟悉函數研究的一般路徑.在研究之初就強調三角函數周而復始的特征，為所有三角函數的研究提供簡化的依據.

2? 問題導入

問題1

師? 首先來看正弦函數，用角的終邊與單位圓交點的縱坐標來定義正弦函數，通過觀察我們發現單位圓上任意一點旋轉一周又回到原來的位置，這一現象也可以用公式一來表示，這說明自變量每增加或減少個單位三角函數的函數值重復出現，利用這一特征，在繪制正弦函數在整個定義域上的圖象有什么幫助呢？

生? 不必畫出整個定義域上的圖象，只需要畫出的圖象即可.

問題2

師? 那請同學們試著畫出，的圖象，體會它與以往函數的繪制有何不同？

生? 選取特殊點，但是繪制的時候會出現無理數，不容易繪制準確位置.

設計意圖? 引起研究沖突，由于正弦函數的點基本都是無理數，在繪制過程中會當取值時，的值大都是近似值，加之作圖上的誤差，很難精確做出圖象，認識新函數的圖象的真實面貌，代數無法解決準確繪制的問題，只能從幾何入手.

問題3

師? 如何在直角坐標系內，精確畫出正弦函數上任意一點？先從一個具體點開始研究.以點為例，對于橫坐標，代數無法解決，將會從哪個方向入手解決？

生? 利用幾何回歸定義，利用單位圓解決.

設計意圖? 培養學生遇到問題首先回歸定義尋找突破的意識，然后觀察自變量及將函數值的幾何意義，借助單位圓，確定正弦函數上任意一點的幾何轉化.

問題4

師? 在單位圓中是一個角度，在坐標系下是一個長度，如何將角度轉化為長度？

生? 利用弧度制進行轉化.

問題5

師? 有了具體一點的繪制，如何繪制任意一點，我們在軸上任取一點，如何找到它的縱坐標的準確位置？

生? 實際動手操作.

設計意圖? 觀察自變量及函數值的幾何意義，借助單位圓，確定正弦函數上任意一點，學生的難點在于在直角坐標系下，是一個點的橫坐標，但在單位圓中的它是一個弧度制的角，無法建立聯系，可以從各自的幾何意義入手尋找解決途徑.給一些工具，讓學生充分發揮自己的主動性，體會單位圓中正弦函數的定義，體會正弦函數上任一點的繪制方法和數形結合的重要應用，更加深入的理解點與三角函數的定義的內在聯系和轉化.

問題6

師? 我們已經學會了繪制正弦函數圖象上的某一個點，你能制定一個方案，畫出在上的圖象嗎？

生? （1）找一些特殊點，然后利用上面找點的方法逐一描點，然后連線；

（2）把單位元進行等分，將坐標軸上線段進行對應等分，再平移縱坐標描點；

（3）找上的一些特殊點，利用單位圓的對稱性得到各個區間上的圖象.

設計意圖? 充分體驗取點作圖過程，從中感受正弦函數在單位圓中的對稱性，簡化作圖過程.

師? 可以用信息技術，在取足夠多的點，并將這些點用光滑的曲線連接起來，得到比較精確的函數在上的圖象.

設計意圖? 信息技術可以達到動點成線的直觀效果，使學生進一步理解任意一點與整體圖形之間的關系，理解圖象形成的內在道理.

問題7

師? 根據正弦函數在的圖象，你能得到正弦函數在整個定義域上的圖象嗎？你的依據是什么？

設計意圖? 從到實數集的延伸，是從有限到無限的推廣過程，引導學生進行邏輯推理與直觀想象.

師? 圖象完全一致，所以我們就可以不斷將函數圖象向左向右，無限延伸.

這就是正弦函數的圖象，正弦函數的圖象叫做正弦曲線，是一條波浪起伏的連續光滑曲線.

問題8

師? 對于函數的研究能夠快速又準確地做出其簡圖，往往起到重要的作用，你能抓住那些關鍵點確定正弦函數在上的簡圖嗎？

設計意圖? 在精度要求不高的前提下，五點法作圖起到關鍵作用關鍵點的選取和對應是這個問題的關鍵，而點的對應關系是解決整個問題的重要節點.最大值點最小值點與軸的交點，有了這些點就可得到圖象的大致形狀了.

問題9

師? 有正弦函數的圖象，你能得到余弦函數圖象嗎？

設計意圖? 縱坐標變成橫坐標畫圖的時候就不那么容易實現了，引導學生通過正弦函數和余弦函數的內在聯系，實現化歸與轉化.

師? 當然有些同學想到再用定義去繪制余弦函數圖象非常好，但是繪制的難度會增大，所以在解決一個新的問題的時候我們不僅需要回歸定義，更要利用已有的知識解決新的問題，這種化歸的思想在數學問題的解決中起到了非常重要的作用.

問題10

師? 你能用點的坐標，解釋這種平移變換嗎？

設計意圖? 從代數形式上點的坐標解釋圖象變換，使學生發現平移的本質點在，點就在.

問題11

師? 類似于五點法作正弦函數圖象，如何做出余弦函數的簡圖，選取哪個區間比較合理，取哪些關鍵點呢？

設計意圖? 通過類比讓學生掌握余弦函數圖象特征，并再次體會五點法作圖.

3? 概念的鞏固應用

例1? 畫出下列函數的簡圖.

（1）；

（2）.

設計意圖? 利用已有知識研究新函數的繪制，可以鞏固五點作圖，圖象變換.

4? 回顧小結鞏固延伸

通過函數的一般研究過程，引出了正弦函數余弦函數圖像繪制的需求，我們利用定義突破了正弦函數任意一點的繪制的難點，體會了回歸定義的必要性，通過選取具體的足夠量的點得到了正弦函數在上的圖象，又利用正弦函數周而復始的特性得到了整個定義域上的圖象，隨后通過選取關鍵點學會用五點作圖法得到正弦函數的簡圖，利用正弦函數與余弦函數的內在聯系，利用已有知識解決了未知問題，實現了問題的轉化.最終繪制了正余弦函數的圖象，為今后研究性質做好鋪墊.

5? 結語

正余弦函數圖象的繪制在研究三角函數的過程中起到非常重要的作用，根據函數研究的一般路徑，有了函數定義之后必定要繪制函數圖象，這是函數研究的必經之路，為性質的研究提供依據，但正余弦函數圖象的繪制，與之前函數圖象的繪制最大的不同是無法沿用之前的描點法，而需要利用幾何描點法來解決無法準確確定繪制無理數的問題，本節課利用三角函數在單位圓中的定義，借助弧度制引導學生尋找角度與線段長度之間的關系，利用幾何描點法實現突破.在解決了任意一點的準確繪制問題，下一個難點就是利用等分的方法繪制足夠多的點.因為本班學生發散思維比較好，在繪制的過程中有些同學想到了用三角函數的對稱性大大簡化繪制過程.利用正余弦函數的內在聯系得到余弦函數圖象，體現了知識之間的相互聯系.這種方法也為之后繪制復雜的三角函數提供了思路.表面上本節課是在繪制函數圖象，但中間蘊含了豐富的思想方法，包含了邏輯推理，數學抽象，直觀想象等多個數學核心素養，對學生提升解決數學問題的能力起到非常重要的作用.

參考文獻：

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