借助對稱性質，優化解幾運算

鄒永剛

【摘? 要】? 解析幾何中的對應的曲線與圖形具有完美的對稱性質，具有很好的美學價值與實際應用．充分挖掘解析幾何中的對稱性質，結合曲線方程或圖形直觀，可以很好化隱為顯、化繁為簡、化生為熟、化動為靜等，實現問題的巧妙解決，優化過程提升效益，引領并指導數學教學與解題研究．

【關鍵詞】? 解幾；對稱性質；直線；圓；橢圓

對稱性質直接與平衡、和諧、美觀等聯系在一起，是形式美的一種最傳統技法，也是人類最早掌握的一個形式美法則．對稱性質不僅具有很好的美學價值，還是一種重要的數學思想方法，是思考與解決問題的一個重要出發點，更是探索與解決問題的一種精良武器．解析幾何中的點、直線、圓、橢圓、雙曲線與拋物線等都具有對稱性質，正確理清或合理挖掘其對稱性質，以形輔數，數形兼顧，優勢互補，可以開啟對稱性質應用的智慧火花，優化解題過程，提升解題效率．

1? 利用對稱化隱為顯

利用解析幾何中曲線或圖形的對稱性質，可以合理挖掘題設條件中的隱含條件，化隱為顯，為問題的解決提供更加直接有效的條件．

例1? （2020年高考數學浙江卷·15）已知直線與圓和圓均相切，則___，___．

分析? 根據題意條件，利用直線與兩圓均相切的位置關系，結合圓的幾何特征與解析幾何的對稱性質，化隱為顯，直觀尋找相關直線恒過線段C1C2的中點，進而利用直線的方程的確定以及點到直線的距離公式，通過方程的求解等加以轉化與應用，從而得以確定相關的參數值．

解? 依題知圓心，，兩圓的半徑均為1，

而，則知兩圓相離，

根據圖形的對稱性可知直線l：肯定過線段C1C2的中點A（2，0），如圖1所示，

則知直線l的方程為，

又根據相切，可知圓心C1到直線l的距離等于半徑1，

即，

結合解得，

此時，

故填答案：，．

點評? 合理分析題設，挖掘問題內涵，抓住關鍵節點，利用對稱性質巧妙化隱為顯，使得原來隱含的條件得以呈現，借助尋找對應的對稱點或曲線，或者利用對稱性質來構建關系，合理轉化，數形結合．利用對稱性質進行化隱為顯，關鍵在于挖掘相應解析幾何問題的本質與內涵，使得隱性條件轉化為顯性條件，為問題的分析與解決提供更好的條件．

2? 利用對稱化繁為簡

利用解析幾何中曲線或圖形的對稱性質，可以回避解題時的繁雜過程，化繁為簡，優化解題過程，減少數學運算．

例2? 如圖2，把橢圓C：的長軸AB分在6等份，過每個分點作x軸的垂線分別交橢圓C的上半部分于點P1，P2，P3，P4，P5，點F是橢圓C的右焦點，則________．

解析? 根據題意，常規思路是借助橢圓的焦半徑公式加以轉化，并結合等分點的性質利用等差數列的求和進行合理求解，過程比較繁瑣，數學運算量大，用時多．而通過橢圓圖形的數形結合，利用等分點之間的對稱性質，通過橢圓的定義應用，巧妙化繁為簡，處理起來更加簡單快捷，很好節約時間提升效益．

解? 由題意，可得，

根據橢圓的對稱性質，可知P1與P5，P2與P4分別關于y軸對稱，

設橢圓C的左焦點為F1，則知

，，

結合橢圓的定義，可得

，

同理，

而，

則有，

故填答案：30．

點評? 利用解析幾何中對應曲線或圖形的對稱性質來直觀分析，往往需要從圖形的整體視角來分析與處理，合理化繁為簡，技高一籌，改變原來繁雜的數學運算與邏輯推理為數形結合的簡單直觀分析，借助圖形中相關元素的轉化與變形，綜合解析幾何的對稱性質來直觀分析與巧妙處理．

3? 利用對稱化動為靜

利用解析幾何中曲線或圖形的對稱性質，可以實現題設條件中的動靜轉化，化動為靜，更加方便于邏輯推理或數學運算．

例3? （2022年高考數學新高考Ⅱ卷·15）設點，，若直線AB關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．

解析? 根據題意條件直接“翻譯”，題設中點A為定點，點B為動點，通過對稱性質，先確定點A關于y軸的對稱點A′的坐標，而動點B“靜止”，化“動”為“靜”，進而確定直線A′B的方程，其即是直線AB關于對稱的直線，利用圓心到直線A′B的距離小于等于半徑來構建不等式，通過求解一元二次不等式來確定參數a的取值范圍．

解? 由于點關于y軸的對稱點為，

而，可得，

所以直線A′B的方程為：

，

即，

而圓的圓心為，半徑為，

根據對稱性質可知，直線AB關于對稱的直線就是直線A′B，

所以圓心C到直線A′B的距離為

，

整理可得，

解得，

故填答案：．

點評? 借助解析幾何中的圖形特征，動靜結合，以“靜”治“動”，抓住直線與圓的位置關系中的對稱性質，從定點的對稱等性質入手，達到合理化動為靜的目的．特別是在解決該問題時，利用點關于坐標軸的對稱來確定直接方程，更加直接有效，很好達到分析與求解的目的．

4? 結語

在解決一些相關的解析幾何的綜合應用問題時，要全面理清并挖掘相關曲線（點、直線、圓、橢圓、雙曲線與拋物線等）的內涵與實質，合理借助曲線或圖形的對稱性質，利用對稱性質以美啟真，巧妙利用曲線的對稱性質，往往可以減少數學運算，優化解題過程，解法更加干凈利落，能夠簡明、快捷、優美地解決問題，啟發數學思維，提升數學能力，培養數學核心素養．