基于學習路徑分析的“兩、三位數乘一位數”單元整體教學

[摘? 要] 為了做好算理和算法的遷移，開展“兩、三位數乘一位數”單元整體教學，文章以“兩、三位數乘一位數”單元為例，通過理解單元學習目標、確定學習起點、單元整體設計的思考等，對本單元的教學活動進行調整，重新設計了學習路徑。

[關鍵詞] 學習路徑;單元教學;多位數乘一位數

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出：數的運算教學應利用整數的乘法運算，理解算理與算法之間的關系。在數量關系的教學中教師應設計合適的問題情境，引導學生分析和表達情境中的數量關系，啟發學生會用數學的語言表達現實世界，形成初步的模型意識，提升解決問題的能力。在估算教學中，教師要引導學生在具體的問題情境中選擇合適的單位進行估算，體會估算在解決實際問題中的作用，了解估算的實際意義。

“多位數乘一位數”是學生學習表內乘法、萬以內加減法后的深入學習。以蘇教版小學數學教材為例，“兩、三位數乘一位數”單元教學內容包括整十、整百數乘一位數的口算和相應的估算;倍的認識，求一個數是另一個數的幾倍以及求一個數的幾倍是多少的簡單實際問題;不進位的兩、三位數乘一位數;不連續進位的兩、三位數乘一位數;連續進位的兩、三位數乘一位數;乘數中間或末尾有0的乘法等。從本單元的教學重難點看，重點是幫助學生掌握乘法的口算和豎式計算。那么，教師在教學過程中如何幫助學生利用已有知識建構乘法豎式模型，如何實現算理和算法的遷移？本文基于學習路徑分析，對“兩、三位數乘一位數”單元進行了整體教學的思考。

一、理解單元學習目標

1. 單元教學內容概述

蘇教版教材三年級上冊“兩、三位數乘一位數”單元的教學目標主要是：

（1）教師在數學課堂上設計學習任務讓學生經歷多位數乘一位數計算的探索過程，并讓學生能口算整十、整百數乘一位數和兩位數乘一位數;能正確豎式計算兩、三位數乘一位數;能合理地選擇策略估算兩、三位數乘一位數。

（2）讓學生結合具體情境理解“倍”的含義，能夠正確解決“求一個數是另一個數的幾倍”和“求一個數的幾倍是多少”的實際問題;能選擇估算策略解決實際問題;能用乘法和加減法解決兩步計算問題，在解決問題中通過思考、分析等基本方法，幫助學生積累數學活動經驗。

（3）讓學生在探索算法和解決問題的過程中，深刻感受數學知識能解決生活中的問題，增強與同伴之間的合作交流，進一步養成逐字逐句讀題、認真仔細計算以及有錯必訂正的好習慣。

人教版教材三年級上冊“多位數乘一位數”單元的教學目標主要是：

（1）在理解計算算理的基礎上，幫助學生熟練地掌握口算整十、整百、整千數乘一位數，兩位數乘一位數（不進位）的計算方法;

（2）給予學生較長的時間自主探索多位數乘一位數的乘法，讓他們明白筆算豎式中每一步答案的由來，會正確計算多位數乘一位數;

（3）幫助學生結合具體生活情境，學會選擇合情合理的策略進行估算，形成估算意識;

（4）讓學生運用所學的知識解決實際問題，提高解決問題的能力，發展應用意識。

北師大版教材三年級上冊“乘法”單元的教學目標主要是：

（1）讓學生在學習表內乘法的基礎上，繼續深入地學習乘法，用乘法解決問題;

（2）讓學生完整地經歷兩、三位數乘一位數計算方法的探索過程，正確掌握豎式計算方法;

（3）讓學生學會用乘法解決生活中的實際問題，進一步拓展解決問題的方法，提高解決問題的能力。

比較這三個版本教材會發現，都提出了“經歷探索兩、三位數乘一位數的計算過程，能正確筆算兩、三位數乘一位數，能解決簡單的實際問題”等要求。蘇教版教材在這個單元中還安排了倍的認識，能解決“求一個數是另一個數的幾倍”以及“求一個數的幾倍是多少”的簡單實際問題。人教版教材在這個單元中還安排了乘法估算的教學內容。

由此得出，本單元的教學內容有以下三個方面：（1）理解兩、三位數乘一位數的算理，掌握計算方法;（2）能夠結合具體情境，選取恰當的策略進行乘法估算;（3）理解“倍”的含義，能解決倍的相關問題。

2. 確定核心目標

在本單元的學習中，兩、三位數乘一位數的算理和算法是本單元的重難點，教師需要幫助學生經歷豎式模型的建構過程，讓他們理解豎式中每一個數的由來。當學生掌握了兩、三位數乘一位數的計算后，才能利用計算來解決倍的相關問題和估算問題。

同時，兩、三位數乘一位數作為豎式模型建構的“種子課”，兩、三位數乘一位數的算理和算法還影響著兩、三位數除以一位數、兩位數乘兩位數以及三位數乘兩位數的算理和算法的建構。因此，本單元的核心目標是“理解兩、三位數乘一位數的算理和算法，并解決乘法實際問題”。

3. 核心目標具體化

（1）理解兩、三位數乘一位數的算理和算法。

兩、三位數乘一位數包括整十、整百數乘一位數，兩、三位數乘一位數的估算，不進位乘法，不連續進位乘法，連續進位乘法，三位數的中間或末尾可能有0的乘法。理解兩、三位數乘一位數的算理和算法，重點要解決豎式的書寫格式以及在筆算過程中從哪一位乘起、怎樣進位等問題。

（2）解決相關乘法實際問題。

以蘇教版教材為例，本單元有關乘法實際問題包括以下三個方面：一是在教學整十、整百數乘一位數的口算和相應的估算之后，教材安排了倍的認識以及“求一個數是另一個數的幾倍”和“求一個數的幾倍是多少”等。這樣的教學安排有利于學生在解決問題中加深對乘法意義的理解，練習多位數乘一位數的計算;二是用估算解決簡單的實際問題，引導學生根據生活經驗和問題情境合理選擇估算策略，用乘法解決估算問題;三是教材從練習2開始安排了連續兩問的實際問題，從練習3開始安排了用乘法和加（減）法兩步計算解決的實際問題。

二、確定學習起點

為了了解學生的學習起點，筆者圍繞乘法算理算法、解決實際問題等角度設計了前測問題，測試了三年級230名學生兩、三位數乘一位數的掌握水平。

1. 學生對理解乘法算理算法情況的分析

測試題：每套書有16本，王老師買了8套。一共買了多少本？

（2）看豎式中，第一部分積是（? ）×（? ），表示（? ）套書共有（? ）本;第二部分積是（? ）×（? ），表示（? ）套書共有（? ）本;最后結果是把（? ）和（? ）合起來，表示（? ）套書共有（? ）本。

測試結果及其表現性評價框架見表1。

根據前測結果發現41.7%的學生處在水平0和水平1階段，他們知道16×8的答案，但是他們不理解如何寫成測試題中的豎式，更不清楚每一步積與最終答案分別是怎么來的;20%的學生處在水平2階段，他們不僅知道答案，也知道每一步的計算過程，但是不能結合具體情境解釋乘法含義。

2.學生對乘法解決問題情況的分析

測試題：

（1）三（5）班有47人去公園游玩，每張門票8元，帶400元買門票夠嗎？

（2）紅花有8朵，黃花有6朵，藍花有2朵。①黃花是藍花的幾倍？②綠花是黃花的3倍，綠花有多少朵？

測試結果及其表現性評價框架見表2。

根據前測結果發現52.6%的學生處在水平0、水平1和水平2，他們能用乘法解決如問題1的簡單題目，但是不理解倍的相關知識;16.9%的學生處在水平3、4，他們能解決有關倍的一道或兩道題目;只有2.2%的學生具有估算意識，且能用乘法解決簡單題目和倍的問題。

三、單元整體設計的思考

按照蘇教版教材的編排，“兩、三位數乘一位數”單元的學習分為三個階段：第一階段教學多位數乘一位數的口算和相應的估算;第二階段教學倍的認識，求幾倍數和幾倍;第三階段教學多位數乘一位數的豎式筆算。

根據學情分析，考慮到學生學習多位數乘一位數乘法的連續性，為了讓學生在不同乘法之間能進行算理和算法的正遷移，筆者將此內容分為兩部分：第一部分學習多位數乘一位數的口算和相應的估算、豎式筆算;第二部分學習用乘法解決倍的相關問題，同時補充計算一倍數、乘法豎式數字謎等知識。

綜上所述，基于學情分析，筆者把本單元的教學內容進行了微調，更加符合學生的認知，見表3。

經過調整后，本單元的教學內容依然分為三個階段，但是每一階段的具體學習內容有所調整。第一階段主要是口算和估算，尤其是估算能幫助學生檢查多位數乘一位數的答案是否正確;第二階段主要是豎式計算，需要6課時教學，從豎式意義的建構過渡到豎式的簡化，為后續乘法豎式計算鋪墊基礎;第三階段主要是倍的應用，包括求幾倍、幾倍數和一倍數，教學時要注重畫圖方法指導，幫助學生建立數學模型。

總之，基于學習路徑的單元整體教學有利于教師更好地把握單元的整體結構，根據學生學情從小切口入手，不斷深入挖掘出相關知識，有機串聯起知識的脈絡，幫助學生更好地理解和掌握數學知識。

基金項目：江蘇省現代教育研究2022年度課題“信息技術在小學數學教學中的運用研究”（2022-R-97293）。

作者簡介：樊繼學（1986—），本科學歷，一級教師，從事小學數學教學與研究工作，曾獲得江蘇省鄉村骨干教師培育站優秀課評比一等獎、連云港市小學數學優秀課評比一等獎。