引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的“四部曲”

[摘? 要] 數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是一個(gè)逐步抽象、漸進(jìn)提煉、緩慢推理、有效概括的過(guò)程。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要有效地提出問(wèn)題，有效地引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)感悟，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行有效的應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行統(tǒng)整。模型的準(zhǔn)備、模型的建構(gòu)、模型的應(yīng)用、模型的結(jié)構(gòu)化，是數(shù)學(xué)模型教學(xué)的“四部曲”。有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)化過(guò)程

“模型思想”是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。史寧中教授認(rèn)為，“學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有三：抽象、推理和建模”。引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模，關(guān)鍵是讓學(xué)生充分經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析，進(jìn)而用數(shù)學(xué)的思想方法解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)過(guò)程。數(shù)學(xué)建模能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)科教材中的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是一個(gè)微小的、微型的“數(shù)學(xué)模型”。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要積極探尋數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)化、統(tǒng)整化，這是數(shù)學(xué)建模的“四部曲”。

一、提出問(wèn)題：奠定數(shù)學(xué)建模的根基

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型不是依靠純粹抽象的思辨，更不是無(wú)中生有，而是針對(duì)現(xiàn)實(shí)原型建構(gòu)、創(chuàng)造的。“問(wèn)題”是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)建模的“原動(dòng)力”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀照、用數(shù)學(xué)的大腦思維、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)，進(jìn)而將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象解釋成數(shù)學(xué)問(wèn)題。教師要圍繞數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷充分的“數(shù)學(xué)化”，進(jìn)而積極主動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

問(wèn)題是建模的先導(dǎo)，也是建模的根基。“好的問(wèn)題”是有效的數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵。比如在教學(xué)“長(zhǎng)方形和正方形的面積”這一部分內(nèi)容時(shí)，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生建立“面積單位”這樣的概念模型。教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“比較長(zhǎng)方形的面積大小”的情境。基于問(wèn)題情境，有的學(xué)生用重疊的方法，有的學(xué)生用觀察法，還有的學(xué)生用數(shù)方格的方法等。在比較的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)于這些長(zhǎng)方形，只有一個(gè)定性的大小的描述，卻不能有效地確定大小到底是多少，即不能進(jìn)行定量描述。那么，如何找尋到一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行有效的比較呢？在問(wèn)題的導(dǎo)引下，學(xué)生通過(guò)深度研討交流之后認(rèn)為應(yīng)確定一個(gè)面積測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)。顯然，面積單位是一種人為的“規(guī)定”，但這種“規(guī)定”是可行的、科學(xué)的、合理的，能有效地解決問(wèn)題。如此，學(xué)生借助“面積單位”不僅能比較兩個(gè)長(zhǎng)方形哪個(gè)大，更能確定大多少。在問(wèn)題的推動(dòng)下，學(xué)生還借助于面積單位進(jìn)行動(dòng)手“擺一擺”等密鋪操作。通過(guò)在兩個(gè)長(zhǎng)方形中擺一擺面積單位，學(xué)生觀察面積單位的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬的關(guān)系，能自主建構(gòu)長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算模型。在這個(gè)過(guò)程中，兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積“哪一個(gè)更大、大多少”作為核心問(wèn)題，引發(fā)了學(xué)生火熱的思考、火熱的探究。

問(wèn)題是模型建構(gòu)的觸發(fā)器，而情境則是問(wèn)題的載體，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維、探究的對(duì)象。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要善于創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生從情境中有效地抽象、提煉出相關(guān)的問(wèn)題。這些問(wèn)題能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究欲望。同時(shí)，問(wèn)題往往蘊(yùn)含著揭示一類事物本質(zhì)的因子。通過(guò)對(duì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化探究，學(xué)生能有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

二、體驗(yàn)感悟：把握數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵

引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模，教師不僅要善于提出數(shù)學(xué)化的問(wèn)題，更要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化思考、數(shù)學(xué)化探究。建模的過(guò)程就是學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程。正如數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說(shuō)，“與其說(shuō)學(xué)生是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，毋寧說(shuō)學(xué)生是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”。教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題（橫向數(shù)學(xué)化），更要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)分析、推理等進(jìn)行進(jìn)一步的抽象（縱向數(shù)學(xué)化）。在這個(gè)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深入地感受、體驗(yàn)、感悟。

體驗(yàn)與感悟是學(xué)生數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的體驗(yàn)方式是多樣化的，不僅可以通過(guò)觀察進(jìn)行體驗(yàn)，而且可以通過(guò)操作、想象等進(jìn)行體驗(yàn)。比如教學(xué)“十幾減9”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者先將直觀、形象性的操作材料引入教學(xué)，比如幾根小棒加上1捆小棒等。在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，探索“十幾減9”的具體性的算法。

在探索“13-9”的過(guò)程中，有的學(xué)生先從1捆小棒中拿出9根，再將剩下的1根與3根合起來(lái);有的學(xué)生先將3根小棒拿掉，再?gòu)?捆中拿掉6根小棒;有的學(xué)生1根1根地拿;有的學(xué)生進(jìn)行想象性的操作，并根據(jù)“9加幾”進(jìn)行倒推等。不同的操作形成了不同的“十幾減9”的計(jì)算模型，比如“破十法”“平十法”“逐個(gè)相減法”“算減想加法”等。這些數(shù)學(xué)模型是基于學(xué)生親身實(shí)踐、操作的產(chǎn)物，因而學(xué)生對(duì)這些模型的感受很深刻。提到某一個(gè)“十幾減9”的計(jì)算模型，學(xué)生就能迅速地調(diào)動(dòng)操作經(jīng)驗(yàn)、操作表象進(jìn)行有效的應(yīng)用。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是學(xué)生生命實(shí)踐智慧的表達(dá)，是學(xué)生本質(zhì)力量的感性顯現(xiàn)。在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，教師還要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，從而讓學(xué)生在算法模型建構(gòu)多樣化的基礎(chǔ)上進(jìn)行算法模型的優(yōu)化。通過(guò)豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)建模感受、體驗(yàn)，不僅能讓學(xué)生有效地掌握數(shù)學(xué)模型，更能讓學(xué)生有效地應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型與生活原型之間的互通。

學(xué)生的數(shù)學(xué)建模一般需要經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到直觀模型、從直觀模型到抽象模型、從抽象模型到模型應(yīng)用的全過(guò)程。只有引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)模型，才能使學(xué)生有效地應(yīng)用模型，讓學(xué)生理解模型，讓學(xué)生感悟、體驗(yàn)到建模的思想、方法。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要強(qiáng)化學(xué)生的建模意識(shí)，提升學(xué)生的建模能力，增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的意識(shí)。從某種意義上說(shuō)，只有深入到數(shù)學(xué)建模的層面，才算真正引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的“腹地”。

三、實(shí)踐優(yōu)化， 促進(jìn)數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

學(xué)生從情境中建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，一開(kāi)始可能是比較粗陋的，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行實(shí)踐優(yōu)化。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用建模的思想進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其目的不僅是讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)模型、結(jié)論等，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生清晰地、系統(tǒng)地、立體地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型應(yīng)用的過(guò)程中，教師可以創(chuàng)設(shè)一些變式性、變化性的情境，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的靈活應(yīng)用。

比如教學(xué)“圓柱的體積”這一部分內(nèi)容時(shí)，在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)了“圓柱的體積”計(jì)算模型——“V=πr2h”之后，筆者創(chuàng)設(shè)了系列化的情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型的應(yīng)用。在教學(xué)過(guò)程中，筆者主要呈現(xiàn)了三個(gè)層面的應(yīng)用：一是通過(guò)一般性的已知圓柱的底面半徑、直徑、周長(zhǎng)和高等，求圓柱的體積，引導(dǎo)學(xué)生直接應(yīng)用“圓柱的體積”模型進(jìn)行計(jì)算;二是已知圓柱的底面積和高，求圓柱的體積;三是已知圓柱的側(cè)面積、半徑，求圓柱的體積。針對(duì)第三個(gè)層面的問(wèn)題，筆者和學(xué)生一起對(duì)建構(gòu)的圓柱的體積模型進(jìn)行優(yōu)化：有的學(xué)生對(duì)已經(jīng)建構(gòu)的圓柱體的體積模型進(jìn)行變形，從而建構(gòu)了一個(gè)新的模型——“V=S側(cè)÷2×r”;有的學(xué)生則進(jìn)行著原始的體積模型建構(gòu)，即將圓柱體轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體;有的學(xué)生將長(zhǎng)方體的不同的面作為底面，將圓柱的側(cè)面積的一半作為底面，那么圓柱的底面半徑就是圓柱的高;有的學(xué)生將圓柱的高與底面半徑構(gòu)成的長(zhǎng)方形作為底面積，那么圓柱的底面周長(zhǎng)的一半就是圓柱的高。

通過(guò)實(shí)踐優(yōu)化，學(xué)生對(duì)“圓柱的體積”模型進(jìn)行豐富、拓展、延伸，從而建構(gòu)了不同形態(tài)的“圓柱的體積”計(jì)算模型。對(duì)于小學(xué)生的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)來(lái)說(shuō)，它們都依賴于一定的現(xiàn)實(shí)的、具體的問(wèn)題情境。可以這樣說(shuō)，情境是數(shù)學(xué)模型建構(gòu)、優(yōu)化的誘因，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)、優(yōu)化是與情境息息相關(guān)的。沒(méi)有情境，學(xué)生就缺乏優(yōu)化數(shù)學(xué)模型、豐富數(shù)學(xué)模型的內(nèi)在動(dòng)力;有了解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生就會(huì)積極主動(dòng)地進(jìn)行模型建構(gòu)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)踐情境進(jìn)行陌生化、創(chuàng)新化的處理，能有效地引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。通過(guò)實(shí)踐優(yōu)化，豐富數(shù)學(xué)模型，能讓學(xué)生自覺(jué)地養(yǎng)成應(yīng)用“模型化”處理相關(guān)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的觀念、習(xí)慣，形成一種模型化處理問(wèn)題的品質(zhì)。在生活原型與數(shù)學(xué)模型之間搭建橋梁，能讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的力量，能讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)模型的魅力。通過(guò)變式性的情境，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知、理解和應(yīng)用能有效地進(jìn)階，能不斷地豐富數(shù)學(xué)模型，不斷地優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

四、結(jié)構(gòu)統(tǒng)整，引導(dǎo)數(shù)學(xué)建模的發(fā)展

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中，數(shù)學(xué)模型不是一個(gè)個(gè)的孤島，而是存在著千絲萬(wàn)縷的關(guān)聯(lián)。在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，教師還要將相關(guān)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行統(tǒng)整，讓相關(guān)的數(shù)學(xué)模型得以銜接。教師應(yīng)當(dāng)將模型的統(tǒng)整作為一種追求，將模型的結(jié)構(gòu)化作為數(shù)學(xué)建模教學(xué)的一個(gè)新的生長(zhǎng)點(diǎn)。數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)統(tǒng)整，是數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的應(yīng)有之義和應(yīng)然之舉。

在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，這樣的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)化的例子有很多。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)化統(tǒng)整，比如筆者在教學(xué)“整數(shù)加減法”的時(shí)候，將“末位對(duì)其”等作為建模的著力點(diǎn);在教學(xué)“小數(shù)加減法”的時(shí)候，將“小數(shù)點(diǎn)”等作為建模的著力點(diǎn);在教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的時(shí)候，將“分?jǐn)?shù)單位相同”作為建模的著力點(diǎn)。

筆者認(rèn)為，僅僅將這些單一知識(shí)點(diǎn)的模型建構(gòu)作為教學(xué)著力點(diǎn)還不夠。數(shù)學(xué)教學(xué)不能滿足于建構(gòu)一個(gè)個(gè)散點(diǎn)狀態(tài)的“數(shù)學(xué)模型”，更為重要的是要將這些模型統(tǒng)一起來(lái)，要借助一個(gè)個(gè)低位數(shù)學(xué)模型建構(gòu)高位數(shù)學(xué)模型。比如在教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”這部分內(nèi)容的過(guò)程中，在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)了“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的數(shù)學(xué)模型之后，筆者將“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”的數(shù)學(xué)模型引入其中，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，從而讓學(xué)生建構(gòu)了更為上位的“數(shù)的加減法”的模型——即“要將數(shù)的不同計(jì)數(shù)單位”轉(zhuǎn)化為“數(shù)的相同計(jì)數(shù)單位”。

“圖形與幾何”領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)化統(tǒng)整，比如在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)了“平行四邊形的面積”“三角形的面積”“梯形的面積”等相關(guān)內(nèi)容之后，筆者就引導(dǎo)學(xué)生用“梯形的面積計(jì)算模型”統(tǒng)攝了這些“多邊形的面積計(jì)算模型”。其中，將“三角形”看成是上底為0的梯形、將“平行四邊形”看成是上下底相等的梯形。這樣多邊形的面積公式就有了一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)計(jì)算模型。結(jié)構(gòu)統(tǒng)整讓數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)走向了深刻，數(shù)學(xué)模型不再局限于一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)的模型，而是建立起了數(shù)學(xué)知識(shí)群的模型、數(shù)學(xué)上位模型。

數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)化是對(duì)諸多數(shù)學(xué)模型的統(tǒng)整。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，要堅(jiān)持簡(jiǎn)約化的取向。在教學(xué)中，教師要播種數(shù)學(xué)模型生長(zhǎng)的因子，滲透、融入數(shù)學(xué)建模思想，要賦予學(xué)生數(shù)學(xué)建模的時(shí)空，賦予學(xué)生自主建模的權(quán)利，讓學(xué)生勇于進(jìn)行數(shù)學(xué)自主建模和善于進(jìn)行數(shù)學(xué)自主建模。通過(guò)結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)建模，學(xué)生的認(rèn)知得以開(kāi)闊、思維得以提升、想象得以豐富、實(shí)踐得以有效。

數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是一個(gè)逐步抽象、漸進(jìn)提煉、緩慢推理、有效概括的過(guò)程。教師不僅要把握學(xué)生數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)，更要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極的模型應(yīng)用，將相關(guān)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行統(tǒng)整，以便在更高的層面、層次上建模，這樣才能充分地彰顯數(shù)學(xué)模型的統(tǒng)攝性、引領(lǐng)性。數(shù)學(xué)建模能豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意思、更有意義。數(shù)學(xué)建模不僅能促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知、思維等的發(fā)展，更能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

作者簡(jiǎn)介：黃嬋（1996—），本科學(xué)歷，小學(xué)二級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作。