引導學生數學建模的“四部曲”

[摘? 要] 數學模型的構建是一個逐步抽象、漸進提煉、緩慢推理、有效概括的過程。在小學數學學科教學中，教師要有效地提出問題，有效地引導學生體驗感悟，引導學生自主建構數學模型。教師要引導學生對數學模型進行有效的應用，對數學模型進行統整。模型的準備、模型的建構、模型的應用、模型的結構化，是數學模型教學的“四部曲”。有效地引導學生進行數學建模，能提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

[關鍵詞] 小學數學;數學建模;數學化過程

“模型思想”是小學數學核心素養的重要組成部分。史寧中教授認為，“學生的數學核心素養有三：抽象、推理和建模”。引導學生的數學建模，關鍵是讓學生充分經歷將現實問題抽象成相關的數學問題，并對數學問題進行分析，進而用數學的思想方法解決實際問題的一個過程。數學建模能有效地提升學生的數學學習力。從某種意義上說，數學學科教材中的每一個知識點都是一個微小的、微型的“數學模型”。在小學數學學科教學中，教師要積極探尋數學建模的起點，引導學生充分經歷數學建模的過程，并引導學生積極主動地應用數學模型，讓學生建構的數學模型結構化、統整化，這是數學建模的“四部曲”。

一、提出問題：奠定數學建模的根基

建構數學模型不是依靠純粹抽象的思辨，更不是無中生有，而是針對現實原型建構、創造的。“問題”是數學建模的起點，也是學生數學建模的“原動力”。在小學數學教學中，教師可以通過創設情境，引導學生用數學的眼光觀照、用數學的大腦思維、用數學的語言表達，進而將現實問題抽象解釋成數學問題。教師要圍繞數學問題，引導學生經歷充分的“數學化”，進而積極主動地建構數學模型。

問題是建模的先導，也是建模的根基。“好的問題”是有效的數學建模的關鍵。比如在教學“長方形和正方形的面積”這一部分內容時，關鍵是要引導學生建立“面積單位”這樣的概念模型。教學中，筆者創設了一個“比較長方形的面積大小”的情境。基于問題情境，有的學生用重疊的方法，有的學生用觀察法，還有的學生用數方格的方法等。在比較的過程中，學生發現對于這些長方形，只有一個定性的大小的描述，卻不能有效地確定大小到底是多少，即不能進行定量描述。那么，如何找尋到一個確定的標準進行有效的比較呢？在問題的導引下，學生通過深度研討交流之后認為應確定一個面積測量的標準。顯然，面積單位是一種人為的“規定”，但這種“規定”是可行的、科學的、合理的，能有效地解決問題。如此，學生借助“面積單位”不僅能比較兩個長方形哪個大，更能確定大多少。在問題的推動下，學生還借助于面積單位進行動手“擺一擺”等密鋪操作。通過在兩個長方形中擺一擺面積單位，學生觀察面積單位的個數與長方形的長、寬的關系，能自主建構長方形和正方形的面積計算模型。在這個過程中，兩個長方形的面積“哪一個更大、大多少”作為核心問題，引發了學生火熱的思考、火熱的探究。

問題是模型建構的觸發器，而情境則是問題的載體，是學生數學思維、探究的對象。在小學數學學科教學中，教師要善于創設情境，讓學生從情境中有效地抽象、提煉出相關的問題。這些問題能激發學生的數學學習興趣，引發學生的數學探究欲望。同時，問題往往蘊含著揭示一類事物本質的因子。通過對問題的數學化探究，學生能有效地建構數學模型。

二、體驗感悟：把握數學建模的關鍵

引導學生的數學建模，教師不僅要善于提出數學化的問題，更要善于引導學生進行數學化思考、數學化探究。建模的過程就是學生充分經歷數學化的過程。正如數學教育家弗賴登塔爾所說，“與其說學生是學習數學，毋寧說學生是學習數學化”。教師不僅要引導學生充分經歷將現實問題抽象成數學問題（橫向數學化），更要引導學生對數學問題通過分析、推理等進行進一步的抽象（縱向數學化）。在這個過程中，教師要引導學生深入地感受、體驗、感悟。

體驗與感悟是學生數學建模的關鍵。在數學學習中，學生的體驗方式是多樣化的，不僅可以通過觀察進行體驗，而且可以通過操作、想象等進行體驗。比如教學“十幾減9”這一部分內容時，筆者先將直觀、形象性的操作材料引入教學，比如幾根小棒加上1捆小棒等。在此基礎上引導學生進行小組合作學習，探索“十幾減9”的具體性的算法。

在探索“13-9”的過程中，有的學生先從1捆小棒中拿出9根，再將剩下的1根與3根合起來;有的學生先將3根小棒拿掉，再從1捆中拿掉6根小棒;有的學生1根1根地拿;有的學生進行想象性的操作，并根據“9加幾”進行倒推等。不同的操作形成了不同的“十幾減9”的計算模型，比如“破十法”“平十法”“逐個相減法”“算減想加法”等。這些數學模型是基于學生親身實踐、操作的產物，因而學生對這些模型的感受很深刻。提到某一個“十幾減9”的計算模型，學生就能迅速地調動操作經驗、操作表象進行有效的應用。從這個意義上說，數學模型的建構是學生生命實踐智慧的表達，是學生本質力量的感性顯現。在建構數學模型的過程中，教師還要善于引導學生進行比較，從而讓學生在算法模型建構多樣化的基礎上進行算法模型的優化。通過豐富學生的數學建模感受、體驗，不僅能讓學生有效地掌握數學模型，更能讓學生有效地應用數學模型，促進數學模型與生活原型之間的互通。

學生的數學建模一般需要經歷從現實問題到直觀模型、從直觀模型到抽象模型、從抽象模型到模型應用的全過程。只有引導學生建構模型，才能使學生有效地應用模型，讓學生理解模型，讓學生感悟、體驗到建模的思想、方法。教師在數學教學中要強化學生的建模意識，提升學生的建模能力，增進學生的數學模型應用的意識。從某種意義上說，只有深入到數學建模的層面，才算真正引導學生走進了數學學科學習的“腹地”。

三、實踐優化， 促進數學建模的應用

學生從情境中建構的數學模型，一開始可能是比較粗陋的，教師要引導學生對數學模型進行實踐優化。在數學教學中，教師引導學生用建模的思想進行數學學習，其目的不僅是讓學生獲得數學模型、結論等，更重要的是引導學生清晰地、系統地、立體地認識數學模型、應用數學模型。在引導學生進行模型應用的過程中，教師可以創設一些變式性、變化性的情境，從而促進學生對數學模型的靈活應用。

比如教學“圓柱的體積”這一部分內容時，在引導學生建構了“圓柱的體積”計算模型——“V=πr2h”之后，筆者創設了系列化的情境，引導學生進行模型的應用。在教學過程中，筆者主要呈現了三個層面的應用：一是通過一般性的已知圓柱的底面半徑、直徑、周長和高等，求圓柱的體積，引導學生直接應用“圓柱的體積”模型進行計算;二是已知圓柱的底面積和高，求圓柱的體積;三是已知圓柱的側面積、半徑，求圓柱的體積。針對第三個層面的問題，筆者和學生一起對建構的圓柱的體積模型進行優化：有的學生對已經建構的圓柱體的體積模型進行變形，從而建構了一個新的模型——“V=S側÷2×r”;有的學生則進行著原始的體積模型建構，即將圓柱體轉化成長方體;有的學生將長方體的不同的面作為底面，將圓柱的側面積的一半作為底面，那么圓柱的底面半徑就是圓柱的高;有的學生將圓柱的高與底面半徑構成的長方形作為底面積，那么圓柱的底面周長的一半就是圓柱的高。

通過實踐優化，學生對“圓柱的體積”模型進行豐富、拓展、延伸，從而建構了不同形態的“圓柱的體積”計算模型。對于小學生的數學模型建構來說，它們都依賴于一定的現實的、具體的問題情境。可以這樣說，情境是數學模型建構、優化的誘因，數學模型的建構、優化是與情境息息相關的。沒有情境，學生就缺乏優化數學模型、豐富數學模型的內在動力;有了解決現實問題的驅動，學生就會積極主動地進行模型建構。

在數學教學中，教師引導學生對實踐情境進行陌生化、創新化的處理，能有效地引導學生建構數學模型。通過實踐優化，豐富數學模型，能讓學生自覺地養成應用“模型化”處理相關現實問題的觀念、習慣，形成一種模型化處理問題的品質。在生活原型與數學模型之間搭建橋梁，能讓學生感受、體驗到數學模型解決問題的力量，能讓學生感受、體驗到數學模型的魅力。通過變式性的情境，學生對數學模型的認知、理解和應用能有效地進階，能不斷地豐富數學模型，不斷地優化數學模型。

四、結構統整，引導數學建模的發展

在小學數學學科中，數學模型不是一個個的孤島，而是存在著千絲萬縷的關聯。在引導學生建構、應用數學模型的過程中，教師還要將相關的數學模型進行統整，讓相關的數學模型得以銜接。教師應當將模型的統整作為一種追求，將模型的結構化作為數學建模教學的一個新的生長點。數學模型的結構統整，是數學模型建構的應有之義和應然之舉。

在數學學科教學中，這樣的數學模型結構化的例子有很多。在“數與代數”領域中的數學模型的結構化統整，比如筆者在教學“整數加減法”的時候，將“末位對其”等作為建模的著力點;在教學“小數加減法”的時候，將“小數點”等作為建模的著力點;在教學“異分母分數加減法”的時候，將“分數單位相同”作為建模的著力點。

筆者認為，僅僅將這些單一知識點的模型建構作為教學著力點還不夠。數學教學不能滿足于建構一個個散點狀態的“數學模型”，更為重要的是要將這些模型統一起來，要借助一個個低位數學模型建構高位數學模型。比如在教學“異分母分數加減法”這部分內容的過程中，在引導學生建構了“異分母分數加減法”的數學模型之后，筆者將“整數加減法”“小數加減法”的數學模型引入其中，并引導學生進行對比，從而讓學生建構了更為上位的“數的加減法”的模型——即“要將數的不同計數單位”轉化為“數的相同計數單位”。

“圖形與幾何”領域的數學模型結構化統整，比如在引導學生建構了“平行四邊形的面積”“三角形的面積”“梯形的面積”等相關內容之后，筆者就引導學生用“梯形的面積計算模型”統攝了這些“多邊形的面積計算模型”。其中，將“三角形”看成是上底為0的梯形、將“平行四邊形”看成是上下底相等的梯形。這樣多邊形的面積公式就有了一個統一的數學計算模型。結構統整讓數學模型的建構走向了深刻，數學模型不再局限于一個個知識點的模型，而是建立起了數學知識群的模型、數學上位模型。

數學模型的結構化是對諸多數學模型的統整。引導學生進行數學建模，要堅持簡約化的取向。在教學中，教師要播種數學模型生長的因子，滲透、融入數學建模思想，要賦予學生數學建模的時空，賦予學生自主建模的權利，讓學生勇于進行數學自主建模和善于進行數學自主建模。通過結構化的數學建模，學生的認知得以開闊、思維得以提升、想象得以豐富、實踐得以有效。

數學模型的構建是一個逐步抽象、漸進提煉、緩慢推理、有效概括的過程。教師不僅要把握學生數學建模的起點，更要引導學生經歷數學建模的過程，還要引導學生進行積極的模型應用，將相關的數學模型進行統整，以便在更高的層面、層次上建模，這樣才能充分地彰顯數學模型的統攝性、引領性。數學建模能豐富學生的數學學習，讓學生的數學學習更有意思、更有意義。數學建模不僅能促進學生認知、思維等的發展，更能有效提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

作者簡介：黃嬋（1996—），本科學歷，小學二級教師，從事小學數學教育教學工作。