讓學(xué)生的估算能力在“疑難問題”的解決中提升

[摘? 要] 估算在鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提高判斷能力、提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力等方面發(fā)揮著積極的作用，其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位得到逐步的提升和落實。文章分析了估算教學(xué)的疑難問題產(chǎn)生的原因，并提出了解決意見，有效地促進了學(xué)生估算能力的提升和數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞] 估算;疑難問題;估算能力

在小數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師對估算教學(xué)并不重視，在估算教學(xué)中常常照本宣科，導(dǎo)致學(xué)生難以認清問題的本質(zhì)，在應(yīng)用時常容易陷入思維誤區(qū)，影響了學(xué)生估算能力的提升。為了深化學(xué)生對估算的理解，教師應(yīng)關(guān)注估算中產(chǎn)生的疑難問題，通過運用一些行之有效的策略幫助學(xué)生跨過思維誤區(qū)，提升學(xué)生的估算能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)疑難問題調(diào)研活動中，筆者收集并整理了關(guān)于估算教學(xué)的一些疑難問題，現(xiàn)選取其中幾點進行研習(xí)，僅供參考。

一、估算方法“多樣性”

在估算教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生常常將估算與求近似值同等對待。因此學(xué)生在估算時常常進行“四舍五入”，那么估算時是否必須進行“四舍五入”呢？

1. 具體問題

在估算631-409時，大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣性地將631看成630，將409看成410，然后進行計算。若將409看成400，不進行“四舍五入”，這樣正確嗎？

2. 問題解析

估算與求近似值雖然在思考方法上存在一定的一致性，不過兩者有著本質(zhì)的區(qū)別，不能同等看待。

首先，從流程上來看，估算是先估后算;求近似值則恰恰相反，它是先算再估。在估算運算時，很多學(xué)生先是進行精確計算，然后求近似值。比如，在估算4018-1020時，學(xué)生的運算過程是4018-1020=2998≈3000，然而估算的實際流程應(yīng)該為4018-1020≈4000-1000=3000。如果在運算時先算再估就失去了估算的價值，從而陷入“為了估算而估算”的錯誤意識。

其次，從精確程度上來看，估算沒有過多的要求，求近似值則需要按照一定的規(guī)則和標準運算，有明確的要求。

最后，從靈活程度來看，估算關(guān)注的是具體的情境，比求近似值更加靈活。

可見，兩者雖有一定的關(guān)聯(lián)但也有明顯的區(qū)別，因此在具體應(yīng)用時不能同等看待。另外，從教材安排上來看，學(xué)生是先學(xué)習(xí)估算再學(xué)習(xí)“四舍五入”，即使學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課前已掌握和理解“四舍五入”，但是在估算中強制應(yīng)用也是不合理的。

3. 解決意見

在估算運算時所采用的基本思考方法是，要估算的數(shù)若接近于哪個整千就盡量看成整千，比如1020、991;不能看成整千的，看是否可以看成整百，如果可以盡量看成整百，比如908;以此類推，看成整十或整百，如68、945。其實對于這一思考方法，學(xué)生并不陌生，在認識“百以內(nèi)的數(shù)”時就有著廣泛的接觸，因此學(xué)生具有豐富的認知經(jīng)驗。這樣，在這一思想方法的指導(dǎo)下，學(xué)生會根據(jù)實際情境進行估算。

此外，在教學(xué)中教師應(yīng)多介紹一些估算方法，比如“四舍五入法”“進一去尾法”“取中法”“一大一小法”“數(shù)據(jù)聯(lián)想法”等多種方法，讓學(xué)生根據(jù)實際靈活選擇和合理估算。

（1）進一去尾法：“進一法”，即無論后面的數(shù)是幾，去掉尾數(shù)后都向最高位“進一”，比如68和62“進一”后均為70;“去尾法”，即只看每個數(shù)的最高位，其他數(shù)一律舍棄，如68和62“去尾”后均為60。

（2）取中法：如在估算42、46、41、49這四個數(shù)的和時，將這幾個數(shù)都看成45參與運算，直接用45×4大約計算出幾個數(shù)之和。

（3）一大一小法：若有兩個數(shù)參與運算，則可以一個數(shù)估大一點，另外一個數(shù)估小一點;或者一個數(shù)估大或估小，而另一個數(shù)不變。比如估算18×31，可以看成20×31=620，這樣將值估大了，因此結(jié)果應(yīng)小于620;也可看成18×30=540，將其中一個數(shù)估小了，因此結(jié)果應(yīng)大于540。因此18×31實際值應(yīng)該在540與620之間。

（4）數(shù)據(jù)聯(lián)想法：比如在估算126×8時，可以聯(lián)想125×8，即126×8的積大約為1000，不過其實際值應(yīng)該比126×8略大。比如估算418÷6時，可以聯(lián)想乘法口訣，所以有418÷6≈70。

估算的方法不局限于以上幾種，在估算的過程中教師不要強制學(xué)生應(yīng)用某種方法，而要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際情況進行靈活調(diào)整。這樣既可以提高學(xué)生思維的靈活性，又能提升其實際解決問題的能力。

二、估算結(jié)果“合理性”

估算的方法靈活多變，應(yīng)用不同的估算方法其結(jié)果往往會不同，那么估算結(jié)果是不是越精準越好呢？

1. 具體問題

192+318≈190+320=510是對的，那么192+318≈200+300=500也對嗎？

2. 問題解析

教學(xué)中，部分教師認為將318看成300顯然不夠準確，因為在估算時應(yīng)該精確到整百整十。通過估算結(jié)果準確與否來評判估算的對錯與否顯然不合理，這樣會影響更多新的估算方法的生成。估算方法不是唯一的，在應(yīng)用估算解決問題時學(xué)生可以根據(jù)實際靈活選擇估算方法，不需要強制學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)一的估算方法。估算方法是多樣化的，因此在估算結(jié)果的評價上也應(yīng)是多元化的，將準確性視為唯一標準顯然不合理。在具體練習(xí)中，不同的學(xué)生可能會選擇不同的估算思路。教師在估算結(jié)果評價時不能搞“一刀切”，簡單地認為結(jié)果越精確越好。此外，在教學(xué)中教師要鼓勵學(xué)生應(yīng)用不同的估算方法來解決問題，這樣可以鍛煉學(xué)生思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力。

3. 解決意見

教師在應(yīng)用多種評價方式評價時，應(yīng)把握好以下幾點：

（1）分學(xué)段評價。對于剛剛接觸估算的學(xué)生，估算結(jié)果可以允許在一個較大的區(qū)間內(nèi)。但是隨著學(xué)生知識、經(jīng)驗和能力的不斷提升，應(yīng)盡量縮小估算結(jié)果的范圍。

（2）用區(qū)間值來衡量估算結(jié)果是否合理。對于估算，不能將估算結(jié)果是否與精確值接近視為唯一的標準，這樣將難以體現(xiàn)估算方法的多樣性、靈活性。在具體評價時，只要估算結(jié)果落在一定的區(qū)間內(nèi)，就可以判斷其合理性。比如，估算294+307時，學(xué)生給出了如下計算結(jié)果：①294+307≈300+300=600;②294+307≈290+310=600;③294+307≈290+300=590;④294+307≈294+300=594;⑤294+307≈300+310=610。

在估算時，有的學(xué)生應(yīng)用的是“四舍五入法”，有的學(xué)生應(yīng)用的是“一大一小法”，還有的學(xué)生應(yīng)用的是“進一法”，無論學(xué)生應(yīng)用何種估算方法，只要其運算結(jié)果在600左右都應(yīng)該是正確的。

（3）用解決問題的合理性進行評價。若將純式估算294+307轉(zhuǎn)化為實際問題，這樣在解決問題的過程中就需要聯(lián)系具體情境進行分析，關(guān)注解決問題的合理性。

變式1：媽媽帶700元去超市準備購買如下兩件商品：電飯鍋307元/只，電扇294元/臺。媽媽帶的錢夠買嗎？

變式2：某校組織550名學(xué)生去電影院看電影，該電影院有兩個大型播放廳可供學(xué)生觀影，其中一個播放廳可容納294人，另一個播放廳可容納307人。是否夠坐呢？

對于變式1，要確保錢夠，在估算時應(yīng)該估大，即294+307≈300+310=610。對于變式2，要確保學(xué)生夠坐，在估算時就應(yīng)該估小，即294+307≈290+300=590。可見，在解決實際問題時除了考慮估算方法外，還應(yīng)關(guān)注解決問題的合理性。以上兩個問題雖然估算的方法不同，但是都合理地解決了實際問題，體現(xiàn)了估算的靈活性。

三、估算策略“適宜性”

在估算時，要么將數(shù)估大，要么將數(shù)估小。因此在具體應(yīng)用時學(xué)生常有這樣的困惑：到底是估大了好，還是估小了好呢？

1. 具體問題

某校組織104名學(xué)生去秋游，團購票的價格為49元/人，請你估一估，這次秋游需要準備多少錢？

在解決問題過程時，學(xué)生給出了兩種估算方案：①49×104≈50×100=5000;②49×104≈50×110=5500。若將兩種方案相對比，是否存在最優(yōu)估算方案呢？該如何評價呢？

2. 問題解析

在學(xué)生剛接觸估算時，只要能選擇適當?shù)墓浪惴椒ㄟM行估算即可。但是隨著學(xué)生解題經(jīng)驗的不斷豐富，在估算訓(xùn)練時不能只關(guān)注估算方法的訓(xùn)練，還應(yīng)關(guān)注其在解決問題中的應(yīng)用，關(guān)注估算策略的“適宜性”。以上練習(xí)是學(xué)生已經(jīng)熟練掌握估算方法、策略的基礎(chǔ)上給出的，其目的是引導(dǎo)學(xué)生合理選擇估算方法和策略解決實際問題。

3. 解決意見

在估算時，對于估大還是估小并無好壞優(yōu)劣之分，只有適合與不適合之分。對于是否適合可以從三個方面來衡量：一是是否接近準確值;二是是否易于口算;三是是否符合客觀實際。在估算教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從生活實際出發(fā)，基于以上標準選擇適合的方法、策略。值得注意的是，在選擇和實施合適的估算策略時不一定一步到位，可以根據(jù)實際情況臨時做出調(diào)整。比如在上述例題中，第一方案是一個估大一個估小，雖然合理地應(yīng)用了基本估算方法，但是其顯然不符合實際情況：因為購買100張門票需要4900元，而100元顯然無法購買4張門票，因此得到估算結(jié)果后還應(yīng)聯(lián)系客觀實際進行適當?shù)恼{(diào)整。

為了深化對“適合”估算策略的理解，在具體教學(xué)中，教師可以通過題組練習(xí)進行強化。通過一些數(shù)據(jù)相同、情境不同的題組讓學(xué)生進行對比辨析，親身體驗選擇“適合”的估算策略不能用簡單的估大、估小來衡量。比如在估算58×104時，教師設(shè)計了如下情境：

（1）四年級（1）班有58人購買校服，校服每套104元。請估一估，大約需要準備多少錢？

（2）一袋大米重58千克，104袋大米大約重多少千克？

（3）一個體育館共有58排座位，每排有104個座位。估一估，共5500人是否能坐得下呢？

以上題組數(shù)據(jù)相同，情境不同，在選擇策略時也有所不同。對于問題1應(yīng)選擇估大，這樣才能確保錢夠;對于問題2，只是估算重量，選擇適合口算的估算方法即可;對于問題3，為了確保夠坐，在估算時應(yīng)該估小。可見，將估算引入具體情境進行辨別，有助于深化學(xué)生對“合適”的理解。

四、注重估算“自覺性”

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生的估算意識不強，只是單純地將估算看成一類題看待，并沒有將其應(yīng)用到生活實踐中去，不會主動估算。

1. 具體問題

學(xué)生并沒有體驗到估算的應(yīng)用價值，只是為了估算而估算，估算意識不強。那么在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的估算意識？如何讓學(xué)生主動進行估算呢？

2. 問題解析

在估算教學(xué)中，教師將教學(xué)的重心放置于學(xué)生估算技能的培訓(xùn)上，常常通過大量的純式估算來強化技能，忽視學(xué)生估算意識的培養(yǎng)，因此學(xué)生在遇到一些沒有明確規(guī)定是否進行估算的問題時，常常感覺不知所措。在解題過程中，學(xué)生僅是通過題目中是否出現(xiàn)“大約”這一關(guān)鍵來判斷是否需要估算。其實有時候題目中出現(xiàn)“大約”并不一定就用估算，比如1袋小麥大約58千克，72袋小麥大約多重呢？題目中“58千克”本身就是一個大約值，所以本題在計算時不一定必須用估算，可以用精確計算。另外，有些題目中明明沒有“大約”的字眼，但是在實際操作中需要估算，比如，一篇文章共400個字，小明平均每分鐘打54個字，8分鐘能打完嗎？

可見，在具體應(yīng)用中，不能用“大約”判斷是否要用估算，而要從生活實際出發(fā)，結(jié)合具體情境進行合理的分析和判斷。因此，在估算教學(xué)中，除了注重估算的技能訓(xùn)練外，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從具體情境出發(fā)，以此在提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生估算意識。

3. 解決意見

運用估算時不應(yīng)依賴于某個關(guān)鍵詞，教師要引導(dǎo)學(xué)生從實際情境出發(fā)，靈活選擇，注重培養(yǎng)學(xué)生估算意識。在培養(yǎng)學(xué)生估算意識時不能急于求成，應(yīng)善于通過潛移默化的滲透和引導(dǎo)使之逐漸提升和落實。

（1）教學(xué)中滲透。在教學(xué)中，教師要創(chuàng)設(shè)一些學(xué)生感興趣的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生運用估算解決實際問題，體驗估算的應(yīng)用價值，以此培養(yǎng)學(xué)生估算的習(xí)慣。在具體實施中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運用估算解決問題，還可以引導(dǎo)學(xué)生運用估算檢驗筆算結(jié)果，從而將估算變成學(xué)生的自覺意識。

（2）練習(xí)中引導(dǎo)。在練習(xí)中教師不要一味地強調(diào)技能訓(xùn)練，要讓學(xué)生切實感受估算的意義，以此引導(dǎo)學(xué)生形成估算習(xí)慣。

為了讓學(xué)生感受估算意義，教師可設(shè)計如下類型的題目：

小明去商場購買2種商品：皮鞋要306元，西裝要655元。以下問題中哪種情況適合用估算？請在運用估算的括號內(nèi)打“√”。

①當小明想知道帶1000元是否夠用時。（? ）

②當售貨員告知應(yīng)付金額時。（? ）

③當小明想知道應(yīng)找回多少錢時。（? ）

④當小明想知道是否能夠參加購物滿800元抽獎活動時。（? ）

這樣借助學(xué)生熟悉的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生合理預(yù)判，有利于培養(yǎng)學(xué)生的估算意識。

總之，在估算教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境選擇適合的運算方法、策略，以此在具體問題的解決過程中體驗估算的意義，從而將估算變成學(xué)生的自覺意識，充分發(fā)揮估算的價值，提高學(xué)生解決實際問題的能力。

作者簡介：王小莉（1976—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。