基于鏈式反應規律的博士生教育規模調控模型

董淵 王任模 鐘曉征 韓芳明

摘要：基于博士生教育動力學模型揭示的鏈式反應規律，構建數學模型及相應數值求解方案，實現調控時期成長指數隨時間變化情況下博士生教育規模的全面定量分析。以“十五”“十一五”期間中國博士生教育從“積極擴大”到“相對穩定”為例，給出規模調控過程的數值模擬，結果表明：招生規模增速持續高于導師規模增速、直博招生推廣使得平均修讀時間增加和推動質量保障體系建設等因素，造成生師比不斷升高而帶來的潛在質量風險是當時主要挑戰；該調控是多種因素綜合作用的結果，其中招生規模成長指數均值于2003—2004年從約0.20降為約0.03是關鍵?；跀抵的M的定量分析，有利于更好地認識博士生教育發展規律，有助于推動高層次創新人才自主培養質量的全面提升。

關鍵詞：博士生教育；鏈式反應；規模調控；數值模擬；定量分析

作者簡介：董淵，清華大學研究生院副院長，副研究員，北京 100084；王任模，清華大學國家卓越工程師學院副院長，六級職員，北京 100084；鐘曉征，清華大學學位辦公室副主任，六級職員，北京 100084；韓芳明，清華大學研究生院培養辦公室高級主管，六級職員，北京 100084。

基金項目：中國學位與研究生教育學會研究課題“新時代直博招生方式的模式創新與策略研究”（編號：2020ZAA010）

一、規模調控：博士生教育規模定量分析的關鍵

博士生教育承擔著為國家培養高層次創新人才的重要任務?！耙涣鞑┦可逃w現一流大學人才培養的高度”[1]，“而一流大學群體的水平和質量決定了高等教育體系的水平和質量”[2]。21世紀以來各國博士生教育發展迅猛，博士學位授予規模不斷增長[3]。博士生教育發展規律研究是長期廣受關注的重要話題[4]。學位授予規模常常作為一個國家或地區創新能力的重要指標，美國國家教育統計中心（National Center for Education Statistics，NCES）給出基于多元線性回歸模型的博士學位授予規模定量預測方法并定期發布預測數據[5]；基于動力學模型的研究揭示美國學術類博士學位授予規模符合具有周期波動特性的分段指數規律，并給出相應的定量預測[6]；研究生教育學位產出方程構造博碩士學位授予規模和教育投入的數理模型，給出40年來中國學位授予規模定量演化過程的數值模擬，指出21世紀初10年間政策調整取得了明顯效果，博士學位授予規模增速明顯放緩[7]。

由于博士生培養的長周期特性，需要綜合考慮招生、在學和學位授予等規模數據進行全面定量分析，而政策變化導致的規模調控是難點所在。王傳毅等人考慮招生、退出規模影響，給出招生增長率、完成率和流失率保持穩定條件下，用于美國博士生在學規模定量測算的時間序列模型[8]。張煒和汪勁松基于增長趨勢對中國博士招生規模、學位授予規模進行定量預測，并由招生規模變化趨勢進行學位授予規模預測，發現兩種方案得到的學位授予預測結果存在較大差異，指出教育政策變化是規模預測影響最大而又難以準確把握的關鍵因素[9]；博士生教育動力學模型揭示主要規模數據可以用鏈式反應類似的數學方程描述，給出平穩發展階段的解析解，指出規模數據符合分段指數變化規律[10]。

基于上述工作，本文探索適用于規模調控時期，綜合考慮指導教師規模、招生規模、在學規模和學位授予規模的數學模型，及相應的求解方案，以實現基于數值模擬的博士生教育規模調控定量分析。

二、基本原理：博士生教育規模調控模型及其求解

1.博士生教育的鏈式反應規律

2.博士生教育規模調控模型

規模調控時期，處于具有不同成長指數的平穩發展階段之間，（ ） tμ隨時間變化，上述常數近似假設不成立。為此需討論更為一般的模型和求解方案，以實現各種情況下的全面定量模擬和規律分析。

以系統的觀點梳理規模數據的相互影響關系如圖1。其中指導教師規模S、招生規模A為輸入數據；在學規模E為內部數據，年度招生比α、年度生師比ρ、年度學位授予率β和年度退出率ε等為系統特征參數；學位授予規模C、退出規模Q為輸出數據。

（3）輸出數據。學位授予規模為當年獲博士學位人數，含畢業且獲學位者、同等學力申請獲得學位者，和往年退出并于當年補授學位者等。退出規模為當年不再計入在學規模且未獲學位的人數①。輸出數據受到質量保障體系、經濟支持情況和外部學術、產業就業環境的影響。

（4）規模調控模型。等式（1-6）和（9-10）構成的常微分方程組，為參數（ ） tμ隨時間變化情況下博士生教育的數學模型，可描述博士生教育規模調控變化，稱為博士生教育規模調控模型。

3.博士生教育規模調控模型的數值求解

三、中國案例：21世紀初中國博士生教育規模調控數值模擬

博士生教育規模遵循分段指數變化規律，規模調控模型給出成長指數（ ） tμ隨時間變化情況下的通用數學描述。下面以21世紀初中國博士生教育數據為例討論規模調控時期的數值模擬，并探討調控機理。

單自然對數坐標下中國歷年博士生教育數據②及分段線性擬合結果如圖2，可以看出其發展具有明顯的分段特征，其中2001—2010年間中國博士生教育規模增速明顯下降，“2006年以來，我國博士研究生規模進入了穩定發展期，招生增幅控制在3%以內”[12]。全國教育事業第十個五年計劃明確“采取各種措施積極擴大高等教育規?！盵13]，國家教育事業發展“十一五”規劃綱要則提出“高等教育要適當控制招生增長幅度，相對穩定招生規?！盵14]。考慮“看得見的規劃之手”在國家治理中的重要作用[15]，可以認為中國博士生教育在這十年間經歷了從“積極擴大”到“相對穩定”的有效調控。

聚焦2001—2010年，首先求解參數反問題，根據歷年規模數據建立系統特征參數并進行討論。其次進行輸入規模數值模擬。之后求解正問題，基于已建立的特征參數和輸入規模模擬數據，求解輸出規模數據，為后續基于特征參數和規模數據進行規模調控機理討論提供基礎。

1.求解參數反問題：建立系統特征參數

已知歷年輸入、輸出規模數據，根據等式（3-6）的定義，逐年計算博士生教育系統特征參數的值，并進行分段線性擬合，繪制如圖3。

圖3上半部分給出年度招生比（ ） tα和年度生師比（ ） tρ數據，及分段線性擬合結果。年度招生比是反映輸入變化的重要指標，總體呈分段線性變化趨勢，從20世紀90年代中期到21世紀初不斷增長，2002年達到峰值約1.9，之后逐年下降，2015年達到谷底約0.9，之后逐步回升，近年來均值略低于1.0。年度生師比是博士生教育規模調控的重要觀測指標，同樣呈分段線性變化趨勢，從20世紀90年代中期到21世紀初不斷增長，2005年達到峰值近5.0，之后逐步下降，2015年接近3.7，之后下降趨緩，其均值約為4.0。

圖3下半部分給出年度學位授予率（ ） tβ和年度退出率（ ） tε數據，及分段線性擬合結果。其中年度學位授予率，20世紀90年代中期平穩發展，均值大約維持在0.20，21世紀初前5年降低到約0.17，之后回升到略高于0.20并逐步緩慢下降。年度退出率，從20世紀90年代中期自約0.04下降到約0.01，2010年前后進一步下降并維持在約0.004的位置。

可以看出，特征參數年度招生比α（ t ）、年度生師比ρ（ t ）和年度學位授予率β（ t ）在2001—2010年間發生了趨勢性的變化，能夠反映規模調控的實際情況。其中與輸入相關的年度招生比α（ t ）隨時間起伏變化明顯，能夠快速響應調控，及時反映輸入變化。與輸出相關的年度學位授予率β（ t ）和年度退出率ε（ t ）隨時間變化較為平穩，更接近于分段常數。參考等式（11）可知，在一定時段內分子、分母規模數據成長指數比較接近，對應學位授予規模、退出規模與在學規模的增長趨勢基本同步。反映教育體系的培養能力和質量保障能力在相應時段內較為穩定，這是各培養單位實力的綜合體現，也是各培養單位內部質量保障體系、行政主管部門質量監管、第三方機構質量監督等綜合作用的結果。但是，年度學位授予率和年度退出率分段變化的影響因素比較復雜，僅僅是數值上的變化可能不好判斷是培養能力的提升還是質量保障能力（比如分流機制較少地發揮作用）的下降，需要進行更為深入的綜合分析。

2.數值求解：輸入數據模擬

表1給出實際值和數值解之間的比較。指導教師數值解的均方根誤差為1.81%，其中最大誤差為4.08%。招生規模數值解的均方根誤差為1.80%，其中最大誤差為2.80%。

同樣以2001年為初始時刻、2001年規模數據為初值、0.001年為步長，仍選用經典的四級四階龍格-庫塔方法，計算得到的2001—2010年在學規模和學位授予規模數值解，單自然對數坐標顯示如圖5下半部分，同時繪出實際數據作為對比。

表2給出實際值和數值解之間的比較。在學規模數值解的均方根誤差為1.36%，其中最大誤差為2.46%。學位授予數值解的均方根誤差為2.88%，其中最大誤差為5.27%。在學規模為系統內部數據，其數值比相應年份的輸入、輸出數值大很多，受外部變化影響較小，發展更為平穩，計算誤差較小。

已知系統特征參數和輸入數據，給定初值，求解調控模型正問題，可以得到與實際規模數據近似程度較高的數值解，表明模型對調控時期的規模變化具有良好的描述能力，所采用的數值求解方法具有良好的可行性。與基于研究生教育學位產出方程數理模型給出中國博士學位授予規模定量演化過程的數值模擬結果[7]相比，本文的學位授予規模數據給出相似的變化趨勢，表明兩種方法都能有效模擬21世紀初從“積極擴大”到“相對穩定”的調控過程。而本文模型能夠實現調控過程的全面定量分析，可同時給出具有較高近似精度的指導教師、招生、在讀和學位授予規模數值模擬結果。

四、案例分析：博士生教育規模調控機理討論

綜上，基于博士生教育調控模型很好地實現了本世紀初中國博士生教育規模變化情況的全面定量數值模擬，深入分析此案例，初步識別出招生規模、指導教師規模等能夠直接改變輸入規模數據的直接影響因素，以及招生選拔方式、質量保障體系、經濟支持、科技發展等間接影響規模調控的因素。

1.直接影響因素

（1）招生規模。輸入數據招生規模是計劃性調控的關鍵影響因素?？紤]博士生從入學到獲得學位需要經歷較長的時間，調控效果通常按一定時間節奏逐步顯現，可觀察到明顯的“規模潮涌”現象。單獨調整招生規模，會改變年度招生比，新生入學后會導致在學規模調整，進一步會導致年度生師比和學位授予率變化，經過一段時間的發展，學位授予規模也將發生調整。對比圖4、圖5上半部分，博士招生成長指數于2003—2004年下調，之后在學規模成長指數于2005—2006年下降，最后學位授予規模成長指數于2007—2008年完成調整。

（2）指導教師規模。輸入數據中的指導教師規模也是計劃性調控的重要影響因素。通常按照一定的年度招生比測算并安排下一年度的招生計劃數。因此，指導教師規模會影響下一年度的招生規模，進而達成調控目標。另外，需要維持一定年度生師比以保持培養能力和培養質量。自20世紀90年代到21世紀初，博士生招生規模增速持續高于指導教師規模增速，使得年度生師比數值不斷升高，一度引發了業內關于培養質量風險的擔憂，有專家提議要“穩定博士生招生規模、著重提高培養質量”[17]。

2.間接影響因素

（1）招生選拔方式。不同的招生選拔方式針對不同生源群體、采用不同考核方式以篩選具有不同特質的可造之材。招生選拔方式的變化會導致博士生生源結構變化，進而影響在學規模和培養質量。直博招生從在讀本科生中選拔優秀年輕人，使得博士生的年齡結構和知識結構發生重要變化。與具有碩士學位的普博生相比，本科起點的直博生需要經歷更長的培養時間。直博招生方式于1991年由清華大學率先試點[18]，并于2001年之后在全國逐步推廣[19]。在同等招生規模增速的情況下，直博生占比增加導致博士生平均修讀時間增加，進一步加劇了年度生師比數值的攀升。

（2）質量保障體系。在其他因素大致不變的情況下，提高質量要求會導致年度學位授予率下降，使得學位授予規模下降、修讀時間增加。我國1999年開展首次全國優秀博士學位論文評選，隨后推行學位論文抽查[20]，并推動“建立健全研究生教育評估制度，完善質量保證體系”[21]。相應地，圖3和圖5擬合數據顯示，在招生規模、指導教師規模和在學規模成長指數基本穩定的情況下，世紀之交博士學位授予規模成長指數略有下降，學位授予率也出現下降。自2005年起教育部對博士學位授權點進行定期評估[22]，經過幾年努力“基本建立起一個比較完善的博士研究生質量保障體系”[23]?？梢钥吹剑?005—2006年之后學位授予成長指數略低于在學規模成長指數，對應著年度學位授予率呈線性下降趨勢。

（3）經濟支持。適度的經濟支持有利于博士生安心學業，能夠降低退出率。1995年，面向21世紀、重點建設百所左右高校和一批重點學科點的“211工程”經國務院批準后正式啟動[24]。經過分批滾動、持續支持，建設高校辦學條件、學科水平和育人能力大幅提升[25]?？梢钥吹?，博士生年度退出率均值在1996—1997年出現下降。2006年，教育部開始支持和推動部分高校開展研究生培養機制改革試點工作[26]，2009年改革試點范圍擴大，并鼓勵地方選擇所屬高校進行改革試點[27]。其思路是強化科研導向、改革和完善研究生獎助體系，核心是用科研經費支付部分培養成本以實現在科研實踐中培養研究生的目標[28]?？梢杂^察到，博士生年度退出率均值在2009—2010年再次下降。

（4）科技發展。科技發展關鍵在于創新，博士生已經成為我國高校科學研究和技術發展隊伍中的骨干力量，因而科技發展對博士生教育的影響更為深刻。2006年召開全國科技大會，提出自主創新、建設創新型國家的發展戰略，隨后發布《國家中長期科學和技術發展規劃綱要（2006—2020）》[29]。這對于中國科技發展具有里程碑意義，對于中國博士生教育發展也具有深遠影響。首先，規劃綱要明確提出學科領域、研究方向，甚至研究內容和研究人才方面的需求。其次，科技發展可以為研究生教育提供更好的支持，有利于博士生安心學業，開展高水平研究工作并產出高水平創新成果。第三，科技發展可以為博士學位獲得者提供更多具有競爭力的工作機會，有助于提升年度博士學位授予率，并有利于吸引更多優秀人才攻讀博士學位。然而，科技發展也會進一步加劇研究機構與高校競爭博士學位獲得者，甚至導致博士生指導教師流失，這可能是造成指導教師成長指數于2005—2006年間出現下降的一個重要因素。相關的作用機理尚需更為深入的研究。

3.質量導向的綜合調控

（1）質量是規模調控的主要目標，年度生師比是核心指標。20世紀90年代中期以來，隨著經濟和科技發展，我國推行了一系列重要的研究生教育改革舉措?！?11工程”建設啟動實施，博士生年度退出率明顯降低。21世紀初，直博招生方式推廣帶來生源結構調整，使得博士生平均修業年限增加。世紀之交質量保障體系建設措施相繼推行之后，博士學位授予規模成長指數下降。相關改革舉措導致年度生師比不斷升高而帶來的潛在質量風險，是21世紀初十年間博士生教育發展面臨的主要挑戰。

（2）規模調控是多種因素綜合作用的結果，其中招生規模調整是關鍵?！笆濉睍r期的2003—2004年，博士生招生規模增速明顯降低，由“積極擴大”轉向“相對穩定”，之后在學規模成長指數、指導教師規模增速也于2005—2006年下調。隨著成批直博生獲得學位，可能由于招生方式帶來的生源質量變化、質量保障措施的作用以及調控之后在讀規模的下降，學位授予率于2005—2006年回升到略高于21世紀初的數值，學位授予規模成長指數也于2007—2008年完成調整后進入平穩發展階段。

五、總結與展望

推動基于數值模擬的博士生教育研究?；趧恿W模型，根據成長指數的變化特征，將博士生教育劃分為成長指數可近似為常數的平穩發展階段和成長指數隨時間變化的調控時期。給出數學模型和數值求解方案，可用于博士生教育規模調控定量模擬和發展規律分析。本文以“十五”“十一五”期間中國博士生教育規模調控為例，求解參數反問題并分析其發展趨勢，求解正問題進行規模數值模擬，得到了具有良好近似程度的結果，檢驗了模型的描述能力和求解方案的可行性。

基于數值模擬的規模調控機理分析。本文給出了規劃文本中“積極擴大”“相對穩定”對應的博士生招生規模成長指數的量化表述，指出調控主要目標是質量，而調控過程呈現“規模潮涌”現象，招生規模、在學規模和學位授予規模依節奏逐次變化；探索規模調控時期系統特征參數和主要規模數據變化關系，分析招生規模、指導教師規模等直接影響因素，及招生選拔方式、質量保障體系、經濟支持和科技發展等間接影響因素的作用機理，認為調控通常是幾種因素綜合作用的結果，其中招生規模調整是關鍵。

探索帶有反饋的規模調控模型。文中基于博士生教育規模數據和相關參數之間的關系來討論規模調控。作為博士生教育系統輸出的學位獲得者，能夠以指導教師身份作為系統輸入，開啟新的博士生培養工作。學位獲得者離開或者以指導教師身份加入博士生教育系統的比例，對于博士生教育的發展具有重要影響，需要探索帶有反饋機制、能夠刻畫相關特性的數學模型。

推進新時代博士生規模調控研究。新時代中國研究生教育迎來改革發展的戰略機遇期[30]。國家教育事業發展“十三五”規劃明確“穩步擴大研究生培養規模”[31]，2020年中國研究生教育會議明確了未來改革方向和發展路徑[32]?！笆奈濉币巹澾M一步明確“加強研究生培養管理，提升研究生教育質量，穩步擴大專業學位研究生規?！盵33]。為此，需要進一步探討模擬方法，對新時代中國博士生教育從“穩定規模”到“穩步擴大”規模調控進行深入研究，給出趨勢分析和相關建議。

中國已經邁上全面建設社會主義現代化國家的新征程，“全面提高人才自主培養質量”[34]是研究生教育面臨的新任務。需要繼續深入開展基于數理分析的研究生教育研究，采用數值模擬方法揭示定性分析背后的定量關系，更好地認識相關規律，以推動博士生教育高質量發展，更好地服務于國家和社會對高層次創新人才的迫切需求。

（致謝：中國學位與研究生教育學會前會長趙沁平院士“進行相關系列研究”和關注科技發展對博士生教育規模影響的指導，清華大學王傳毅老師關于離散時間序列模型的指點，與教育部發展規劃司龔衛華等同志關于本世紀初博士生教育規模變化的討論，匿名評審專家對學位授予規模和退出規模關系、學位授予率和退出率變化趨勢分析等建議，對本文工作具有重要幫助，在此表示感謝。）

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（責任編輯 劉俊起）

①退出規模含退學者、結業或畢業但當年未獲學位者，未包含在目前公布的統計數據中，可通過在讀、招生和學位授予規模推算得到。前述后者后續如獲得博士學位，將按發證年份記入學位授予規模。

②1981年學位條例實施以來數據，不含港澳臺。招生、在學、授予數據來自中國學位與研究生教育發展年度報告課題組《中國學位與研究生教育發展年度報告2019》《中國學位與研究生教育發展年度報告2020》，北京：社會科學文獻出版社；1981年指導教師數據來自國務院學位委員會辦公室公開信息，其余數據來自《中國教育統計年鑒》。