抽絲剝繭 凸顯本質
——“多元問題”求解教學的實踐與思考

張志華

江蘇省南通市海門證大中學 (226100)

多元問題求解是一個比較難處理的問題,學生常常因為找不到合理的切入點而失去解題信心.其之所以難主要是難在“多元”上,解決此類問題最直接、最有效的方法就是“減元”,即將多元問題轉化為學生熟悉的兩元或一元問題,從而通過化多為少、化繁為簡的轉化,降低問題的難度,提高解決效率.本文是筆者在二輪復習時,以“減元”為抓手,對多元問題的求解進行了教學實踐,并總結了幾點認識,現與同仁分享交流.

一、教學過程

1、問題初探,形成策略

課始,教師給出如下兩個問題讓學生獨立完成.

以上兩個題目有一定難度,不過對于二輪復習的學生來說,他們已經具有豐富的處理恒成立和齊次式的處理經驗,所以問題給出后,學生很快就找到了解題思路.10分鐘左右,大部分學生已經得到了答案.

師:誰來說一說,對于例1,你是如何求解的?

師:很好,例2你們又是如何求解的呢?

師:非常好.以上兩題都是多元問題,具有一定難度.分析以上兩位同學的解題過程,看看他們是怎么解決這個難題的?以上兩種解法有何共同之處呢?

生3:以上兩個問題至少有三個量,不過解到最后就變成了一個量.

師:非常好,生3抓住了問題的關鍵,兩位同學在解題時將多元問題轉化為一元問題,使問題向簡單化、清晰化轉化,順利地解決了問題.在解決多元問題時,要想盡辦法減元,從而將多元問題轉化為我們熟悉的二元或一元問題.那么具體如何來減元呢?這個就是我們今天要研究的主題.

設計思路:從學生熟悉的恒成立和齊次式問題出發,通過問題的解決讓學生發現解決多元問題的常見策略即“減元”,繼而引出本課的主題.同時,以上問題雖略有難度,但是學生只要認真分析完全可以順利求解的,由此提升后續學習的信心.

2、問題再探,提煉方法

師:接下來我們看看例3該如何求解呢?

例3 已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,x2+y2+z2=3,則xyz的最大值為.

學生獨立思考,交流解題思路.

生3:由x+y+z=1變形得x+y=1-z①.將x+y+z=1兩邊平方得x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)=1,又x2+y2+z2=3,故xy+yz+xz=-1,繼續變形得xy+z(x+y)=-1,此時將①代入得xy+z(1-z)=-1,xy=-z(1-z)-1,可見xy可以用z表示,即xyz=z3-z2-z.

師:很好,思路清晰.在減元策略的指導下,經過幾次變換最終將所求的xy用z表示,從而將三元問題轉化為我們熟悉的一元問題.其實以上策略也就是我們經常說的“消元”.

師:通過“等式消元”,將所求轉化為了關于z的函數,那么函數的定義域如何求呢?

師:要求函數的定義域,實則求z的取值范圍.大家看看在已知條件和由已知條件變形的式子中,是否能夠找到關于z的不等式呢?

生4:因為x2+y2≥2xy,這樣若將左右兩邊都有z表示,則可以得到關于z的不等關系,求得

師:非常好,聯想基本不等式公式發現了隱含于題設之中的關于z的不等關系,得到了z的范圍.分析至此,問題即可迎刃而解,課下請大家將解題過程補充完整.

師:回顧以上解題過程,你認為解決此類問題還難嗎?如果遇到此類問題你該如何做呢?

生5:消元是解決此類問題的重要工具,以后在遇到多元問題時,要想著將某個量用其它量表示出來.有些題目可能需要幾次變形后才能實現消元,不過只要我們有著堅定的信心,并朝著正確的方向去思考,一定可以順利求解.

師:說得非常好!在解例3時,我們利用“等式消元”實現了“減元”的目標,那么如果條件中沒有等式,我們又該怎么辦呢?現在請大家看看例4該如何求解呢?

同樣,教師預留5分鐘讓學生獨立思考后,師生互動交流.

生6:根據已知我得到了兩個不等關系,即a>0,Δ=b2-4ac≤0,沒有等量關系,所以我不知道怎么轉換.

師:能夠得到兩個不等式也很不錯.這里沒有等式可以利用,我們該如何往下進行呢?

師:非常好,看來除了應用等式消元外,還可以應用不等式消元來實現“減元”的目標.結合以上分析不難發現,整體代換也是消元的一種常用方式,可以達到“減元”的目的.

師:下列的例5是否可以按照以上思路求解呢?

例5 已知ΔABC三邊長a、b、c成等差數列,且a2+b2+c2=84,求實數b的取值范圍.

師:例5采用什么方法可以達到減元的目的呢?直接利用等式消元嗎?

生8:因為三邊ΔABC的三邊長成等差數列,通過設公差可以達到減元的目的.不妨設a≤b≤c,公差為d,所以有a=b-d,c=b+d,這樣就將三元問題轉化為兩元問題,代入等式得3b2+2d2=84.

師:非常好,以公差為媒介,實現了減元的效果.接下來該如何求呢?

師:非常好,這樣利用不等式消元解決了問題.從剛剛解題反饋來看,大多數學生都想到借助介質變量“d”來達到減元的目的,不過有些學生卻沒有走到最后,這說明了什么呢?

生9:減元只是第一步,還要利用a、b、c構造三角形這一條件.

師:非常好,多元問題其實是綜合性問題,通過“減元”可以剝開問題神秘的面紗,但是具體問題的解決還具體分析.如例3、例4對應的是函數的最值問題,而例5是三角形問題,其所考查的是學生的綜合能力.

設計思路:教師給出典型例題讓學生體會、感悟、概括,提煉“減元”方法,提升學生綜合素養。同時讓學生通過經歷“減元”的過程,逐漸消除學生的畏難情緒,增加學生解題信心。在此過程中,教師充分發揮教育的育人功能,重視培養學生敢于探索,勇于實踐的良好學習習慣,幫助學生形成正確的學習觀.

二、教學思考

實際教學中,許多學生在面對“多元問題”求解時常常會出現畏難情緒,而“減元”是解決多元問題的最容易想到的常用解決策略,為此教師以“減元”為主線,借助典型例題與學生共同探討減元的方法,以此為多元問題的解決架橋鋪路.其實“多元”只是一個表象,而問題的實質常常被這些“表象”所掩蓋,只有揭開多元問題的“外衣”,才能使問題的本質顯現出來,幫助學生找到解決問題的正確方法.例如,以上例題中,撥開多元的“外衣”后,函數、不等式、線性規劃等內容就顯露了出來,讓學生找到了正確解題的方向,順利地解決了問題.多元問題之所以難不僅僅因為“多元”,還因為其涉及的知識點多,綜合性強,對學生邏輯推理、直觀想象、數學運算等綜合能力要求高,所以要解決此類問題既要有扎實的基礎知識,還需要很強的綜合素質.