立足微專題教學 提升數學解題能力

微專題教學是基于學情與教情構建的課堂教學模式，具有指向明確、切入口小、針對性強等特點 .將微專題教學模式應用于初中數學解題教學，不僅能深化學生對一類問題的理解，還能提升學生的解題能力 .“用對稱性解反比例函數”是“反比例函數圖象與性質”章節的內容，基于學情與教情設計微專題教學可有效拔高學生的數學思維水平.

教學分析

函數是貫穿整個中學數學的基礎性知識，其重要性不言而喻.初中是夯實函數基礎的主要階段，學生對函數的掌握程度直接影響后期的學習成效.初中階段所學的函數包括一次函數、二次函數與反比例函數等 . 本節課探索的函數是反比例函數，相較于一次函數，它的計算與圖象更復雜一些.

在本節課之前，學生已理解了反比例函數的基本概念，對相關的因式分解、分式計算以及解析式中| | k 的意義有了初步認知，并對反比例函數圖象的對稱性也有了一定的了解.這些都是本節課探索的基石.考慮到不少學生對從一次函數的直線圖象轉變為反比例函數的雙曲線圖象存在理解障礙，筆者特別設計了一節微專題解題教學課程，旨在幫助學生厘清求解直線與曲線交點的思維路徑.

教學過程

1.情境創設，回顧舊知

課堂伊始，教師借助多媒體播放一段視頻，視頻內容包含：①用類似于 y = kx + b 的直線分別繪制笛卡爾線、雅各布線、阿基米德線、玫瑰線等圖形的過程；②劉徽的“出入相補”原理的論證過程；③楊輝三角的相關內容.

師：這些視頻內容給大家帶來了什么體驗？

生 1：從中感受到了數學美，并體會到了數學對稱性的重要作用.

師：很好！大家還記得反比例函數的關系式嗎？

生（眾）：記得， y =k/x（k≠0） .

師：該式子具有怎樣的代數特征？

生2： k = xy（k ≠ 0） .

師：反比例函數圖象的對稱性具有怎樣的特征？

生 3：具備中心對稱性與軸對稱性.

設計意圖 視頻配解說，學生從直線運動理解對稱圖形.這種導入方式不僅迅速激活了課堂氛圍，還吸引了學生的注意力，并讓學生體驗到了數學美 . 回顧舊知后，轉向“對稱”話題，課堂在和諧氛圍中開始.

2.深入探索，啟發思維（1）探索中心對稱性

師：數學是一門嚴謹的學科，其所有結論的得出均離不開詳盡而周密的驗證過程.那么，我們如何確定反比例函數的圖象具備中心對稱性呢？

學生沉默，教師給予點撥：如圖1，在反比例函數圖象上任取點A之后，該怎樣說明其具備中心對稱性呢？

生4：只要能證明點A關于原點對稱的點位于反比例函數圖象的另一分支上即可.

師：用專業的數學語言如何描述這個問題？

生5：如圖1，已知反比例函數y =k/x（k＞0） 的圖象上有一點 A，求證該點關于原點對稱的點B也位于該函數的圖象上.

設計意圖 “曲線中的全等”是學生認知之外的內容，學生面臨問題出現沉默屬于正常現象.“化未知為已知”是研究數學問題的基本方法，因此教師指導學生從反比例函數圖象上的一點出發，將未知問題轉化為已知問題，形成一種策略.

（2）應用中心對稱性

問題1 已知反比例函數 y =6/x的圖象與一個正比例函數的圖象分別在點 A（x 1 ，y 1 ） ， B（x 2 ，y 2 ） 處相交 ， 則 （x 1 - x 2 ）（y 1 - y 2 ） 的 值 是多少？

生6（板演）：如圖2，構造出兩個 面 積 均 為 6 的 矩 形 ， 則 （x 1 -x 2 ）（y 1 -y 2 ） = FD·CE = 2DO·2CO = 24.

分析 應用數形結合思想畫圖，不僅能夠將數值化的點坐標差異轉化為直觀的線段展示，還能夠借助中心對稱性深入剖析圖形的面積，從而彰顯數形結合思想在解決反比例函數問題中的價值與重要性.

生7：如圖3，由反比例函數的中心對稱性可知點 B（-x 1 ， - y 1 ） ，則（x 1 -x 2 ）（y 1 -y 2 ）=2x 1 ?2y 1 =24

分析 此過程展示了反比例函數的中心對稱性，學生在數形結合思想的輔助下不僅順利解決了問題，還自主總結出了相應的數學模型，為后續解決更多問題夯實了基礎.

設計意圖 問題 1 因為缺少圖形的輔助，導致學生無從下手，而數形結合思想的應用則幫助學生順利解決了問題.這不僅彰顯了數形結合思想的關鍵性，還讓學生認識到，在面對復雜問題時，可以借助圖形來降低問題的難度，為解題提供有力支持.

（3）探索軸對稱性

問題 2 如圖 4，已知直線 y =m - x 與 反 比 例 函 數 y =k/x（k gt;0，x gt; 0） 分別在點 A（1，4） 和點 B處相交，求點 B 的坐標.

師：關于此問，可否直接獲得答案？

生8：可以，點 B（4，1） .

師：說說你的理由.

生8：如圖5，根據已知條件可得 △ACO △ODB ，結合反比例函數圖象的對稱軸 y = x ，點 B 的坐標就浮出水面了.

師 ： 你 提 到 △ACO △ODB ，是如何證明的？

（該生搖頭表示不會）

點評 這位學生雖然無法說清楚 △ACO △ODB 的由來，卻從直觀的圖形中探尋到“相等”的關系，由此獲得問題的答案.

為了深化學生的思維，教師將圖5進行了改動：如圖6，分別過點A，B 向縱軸和橫軸作垂線，由此進一步揭露全等與軸對稱性 （證明過程略）.同時強調，在探索過程中需要驗證點 B 位于反比例函數的圖象上.

探究至此，師生共同梳理解題步驟為：①作點 A 關于直線y = x的對稱點 B ；②從全等出發，探索點 B的坐標；③明確點 A，B 均位于反比例函數的圖象上.從上述探索流程出發，假設點 A 的位置是任意的，那么就能確定反比例函數圖象具有軸對稱性 （可將圖7作為模型）.學生通過對模型的觀察與分析，能發現以下三個特征：①直線 AB 和直線y = x 為垂直的關系；②點 A，B 均位于反比例函數圖象的同一分支上；③ A，B 兩 點 的 橫 、 縱 坐 標 可 以互換.

思考與感悟

1.創造應用教材，提供教學資源

教材是教學的基本載體，也是完善學生認知體系的基本工具 . 然而，編者并不能將學生的個體差異都考慮到，因此教師在應用教材時應根據學情有針對性地進行重組與創造，在保留其精華的基礎上適當拓展，不僅能豐富教學資源，還能提升教學效率.本節課，就是在“反比例函數圖象與性質”這部分內容的基礎上，根據教學需求引入了反比例函數圖象的對稱性，旨在引導學生從客觀事物出發，挖掘知識本質，完善認知結構.

2.基于認知經驗，踐行深度學習

學生擁有用描點法繪制反比例函數圖象的技能，在此基礎上發現反比例函數圖象的對稱性就是水到渠成的事情 . 鑒于這些知識點在中考試卷中出現的頻率極低，部分教師便傾向于采用“注入式”的教學方法來處理這部分內容 . 這種急功近利的教學方法無法挖掘知識的核心本質，更談不上深度學習 . 殊不知，“對稱性”這部分內容對解決綜合性問題具有重要意義 . 教師只有引導學生親歷知識形成與發展的過程，從數形結合的角度踐行深度學習理念，才能真正發展學生的“四基”與“四能”.這是培養學生數學學科核心素養不可或缺的一個環節.

總之，教師應當秉持“以生為本”的教學理念，依托深度學習的基礎，積極推行微專題教學模式，并巧妙融入數學思想方法，以充分激發學生的潛能，推動其實現可持續發展.