初中幾何性質與判定定理教學順序探析

? 云南師范大學數學學院 趙 潔 孔德宏

圖形與幾何是義務教育階段數學課程內容的四個領域之一,初中階段圖形與幾何領域包括“圖形的性質”“圖形的變化”和“圖形與坐標”三個主題.“圖形的性質”強調通過實驗探究、直觀發現、推理論證來研究圖形,在用幾何直觀理解基本事實的基礎上,從基本事實出發推導圖形的幾何性質和定理[1].筆者在設計“相交線與平行線”單元教學的過程中,查閱不同版本的初中數學教材發現,就平行線的判定與性質而言,人教版、浙教版、冀教版、滬教版、滬科版、北師大版平行線的教學是先判定后性質,而湘教版是先性質后判定.那么,自然會產生一個問題,在命題課教學中是先判定還是先性質?為什么這樣編排?判定與性質的順序能否對調?引發筆者思考.

1 初中幾何性質與判定教學順序對比

平行線的判定與性質是學生初學幾何時遇到的重要定理,它們的條件和結論相似,在具體運用時容易混淆.筆者對人教版、浙教版、冀教版、滬教版、滬科版、北師大版、湘教版等七個版本中七年級下冊平行線的判定及其性質進行研究[2],發現除了湘教版的編排順序是先性質后判定,其余六個版本都是先判定后性質,如表1所示.

表1 七個版本平行線的判定與性質教材編排順序

下面對人教版和湘教版初中數學平面幾何判定與性質的教學順序進行研究.人教版與湘教版初中數學平面幾何教材編排順序如表2所示.

表2 人教版與湘教版初中數學平面幾何教材編排順序

2 幾何性質與判定教學順序分析

2.1 平行線的判定與性質教學順序

平行線的判定與性質中人教版和湘教版的教學順序相反,湘教版“圖形與幾何”部分用變換的觀點來研究圖形的性質,考慮到初一是學生從形象思維逐步向抽象思維轉變的過渡階段,學生很難接受嚴格的演繹證明,而先學習平行線的性質,在此基礎上進一步證明這些性質,這對學生來講直觀、形象,又易于理解接受.先性質后判定的正向思維將幾何的直觀性和思維的嚴謹性有機結合起來,用變換的觀點來研究圖形的位置關系和數量關系,由此可循序漸進地培養學生的推理能力[3].

數學學習的最終目的是為了解決實際問題,而解題思維的訓練正是為了更好地解決實際問題.通過“性質”分析解題的過程是數學思維當中的正向思維,一般先性質后判定,因為這樣的順序是循序漸進的,以免學生在剛剛接觸到判定就感覺很復雜.“平行線的判定”和“平行線的性質”,是學生很容易混淆的兩個知識點.平行線的判定是由角的“數量關系”來判斷兩直線的“位置關系”,而平行線的性質則是由兩直線的“位置關系”來確定角的“數量關系”,平行線的判定與性質正好因果倒置.對于平行線的判定,兩直線平行是結論;而對于平行線的性質,兩直線平行卻是條件.

因為判定相當于性質的逆運用,所以數學定理通常都是順用容易逆用難.就人教版而言,平行線的判定及其性質是先判定后性質.對兩版教材對應內容進行分析、比較后發現,該內容在兩版教材中都是通過動手操作、猜想、驗證的過程來掌握平行線的判定和性質.通過這樣的訓練,可培養學生言之有據的思考習慣,所以筆者認為平行線的判定和性質的教學順序是可以對調的.

2.2 全等三角形、勾股定理、平行四邊形的判定與性質教學順序

人教版和湘教版中全等三角形、勾股定理、平行四邊形的判定與性質的教學順序都是先性質后判定.“全等三角形”這一章中,首先學習全等三角形的性質——對應邊相等,對應角相等,進而利用全等三角形的性質研究全等三角形的判定方法.值得注意的是,在其全等的六個判定條件中,有些條件是相關的.對于這一部分知識的學習,倘若先學習判定再研究性質的話,會顯得格外復雜且無據可尋.

圖1

在“直角三角形”的教學中,首先通過探究特殊直角三角形三邊所具有的數量關系,猜想一般的直角三角形的三邊(如圖1)也具有如此數量關系,并進行推理與證明(歸納推理),從而得出直角三角形的性質(勾股定理)：a2+b2=c2.而后再通過直角三角形的這一性質來判定一個三角形是否是直角三角形,即直角三角形的判定定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形就是直角三角形.

該內容對應于湘教版八年級下冊“1.2直角三角形的性質和判定(Ⅱ)”,先通過動手操作得到直角三角形的性質定理,也就是勾股定理,再通過探究得到直角三角形的判定定理,也就是勾股定理的逆定理.

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形,這是平行四邊形的定義(既是性質也是判定).根據定義探究得到平行四邊形的其他性質：對邊相等,對角相等,對角線互相平分.要判定一個四邊形是平行四邊形就要先借助平行四邊形的性質來證明平行四邊形的判定定理,不能根據平行四邊形的定義證明判定定理,因此在這里性質與判定的教學順序不能對調.

2.3 相似三角形的判定與性質教學順序

人教版和湘教版中相似三角形的判定與性質的順序都是先判定后性質.相似三角形的定義(既是判定又是性質)是對應邊成比例、對應角相等的三角形是相似三角形.但是判定條件能不能少一點呢?當然能,平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似;三邊對應成比例的兩個三角形相似;兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似;兩角分別相等的兩個三角形相似.而相似三角形的性質有對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比.要證明相似三角形的性質,實際上是要先用相似三角形的判定的條件,直接用相似三角形的定義就證明不出來,在這里就必須要先學判定后學性質.該內容教學順序就不能對調.

在以上典型例子的分析中,對于教材內容的編排,性質與判定定理編寫順序不一的初衷是為了便于教師更好地傳授知識和學生更好地理解與應用知識.如平行線的判定與性質,人教版和湘教版教學順序不一,但筆者認為先性質后判定的教學順序更加符合學生的認知.而相似三角形的判定與性質,不能隨便對調教學順序,因為相似三角形性質的證明中運用到了判定中的相似比這一概念.

3 小結

筆者通過對初中學生認知思維、不同教材版本以及知識本身內在聯系進行探究分析后,從兩個角度對初中平面幾何性質與判定定理的教學順序做出選擇.由于平面幾何的直觀性,導致研究者思考的角度產生差異,因此有的平面幾何知識是先判定后再研究性質.根據皮亞杰認知發展階段理論,初中學生處于形式運算階段,在認知思維和已有的認知水平上,其思維在形象理解層面已經開始逐步以抽象邏輯思維為主導方式.在學習平面幾何的性質與判定定理時,學生的認知已不再局限于該幾何圖形是什么,有什么特征,而是會思考當已知哪些條件時能夠判斷該幾何圖形有什么結論.因此,對于有些幾何知識的學習,在契合學生這種逆向思維的情況下,教與學就變得相對簡單有效,所以有的幾何知識宜先學判定定理,而后再學性質.