打破思維定式　促進深度探究

孫磊

“包裝的學問”是北師大版五年級下冊數(shù)學好玩中的一節(jié)綜合實踐課，本節(jié)課借助問題情境，引導學生綜合應用表面積知識討論“多個相同的長方體組合包裝時如何節(jié)約包裝紙”這個實際問題，使學生在操作、探索中體會策略多樣化，感受優(yōu)化思想，發(fā)展空間觀念，樹立節(jié)約意識。在實際教學中，教師要關注新課標倡導下的核心素養(yǎng)的發(fā)展，著重發(fā)展學生的推理意識、空間觀念與應用意識，因勢利導幫助學生進行推理、驗證，同時建立思維困境，打破思維定式，促進學生深度探究。

片段一：談話引入，復習舊知

師：生活中有很多物品需要包裝，如牛奶、鞋子、粽子等，如果你是商家，對于商品的包裝你會考慮哪些方面呢？

生1：包裝要牢固一些，材料要符合環(huán)保要求。

生2：包裝要美觀一些，顧客才會選購。

生3：包裝要節(jié)省材料，不能過度包裝。

師：大家說得很好，包裝的學問大著呢！這節(jié)數(shù)學課我們就從節(jié)省包裝材料的角度來學習包裝的學問。（板書課題）

師：生活中大家經(jīng)常喝牛奶，想一想包裝這樣一盒牛奶需要多大面積的包裝紙呢？（PPT出示一盒牛奶的圖片，見圖1）

生：牛奶盒是一個長方體，我們可以利用長方體的表面積公示來計算。長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2。

師：從數(shù)學的角度來看，牛奶盒可以看作是一個長方體，長、寬、高分別是10 cm、4 cm、7 cm，請大家來算一算這個長方體的表面積。（教師根據(jù)學生的計算結(jié)果板書：（10×4+7×4+10×7）×2=276（cm2）

【思考】物品包裝的現(xiàn)象比較普遍，牛奶在學生的生活里比較常見，利用牛奶盒的包裝情境引入數(shù)學思考符合學生的認知基礎。將牛奶盒抽象為一個長方體，通過求包裝紙大小的過程，使學生感知到包裝的問題不但是一個生活問題，更是一個數(shù)學問題。在這一環(huán)節(jié)，教師通過與學生的對話，有效喚醒了學生原有的認知經(jīng)驗，同時將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。教學中既引入了本節(jié)課所要探究的主題情境，又復習了長方體表面積的計算方法，一盒牛奶表面積計算結(jié)果也為后續(xù)探索多盒牛奶組合包裝的方法奠定了基礎。

片段二：提出問題，建立沖突

1.研究包裝兩盒牛奶的方案

師：兩盒牛奶，如果要包成一包，怎樣包才能節(jié)約包裝紙呢？（見圖2）同學們利用手中的長方體試著擺一擺，看一看一共有幾種包裝方案。（同桌之間利用長方體紙盒進行操作。）

生1：我們找到了三種方案，分別是將7×10的面進行重疊、4×10的面進行重疊，還有4×7的面進行重疊。

師：這幾個面大小不一樣，你能用簡潔的話來說出包裝方案嗎？

生2：分別是把兩個大面重疊、兩個中面重疊、兩個小面重疊。（見圖3）我們覺得把大面重疊最節(jié)省包裝紙。

【思考】將兩盒牛奶包成一包，打破了學生固有的根據(jù)一個長方體的長寬高求表面積的認識，需要學生在操作過程中調(diào)動多種感官，羅列由兩個相同長方體組合成新的長方體后有可能產(chǎn)生的所有變化情況。為了掃除學生在語言表述上的障礙，教師應引導學生將三種面概括為大、中、小面，有助于學生思考，便于學生后續(xù)學習時敘述自己的方法。

2.初步發(fā)現(xiàn)重疊面積和表面積的關系

師：大家同意他的看法嗎？怎樣來證明呢？

生：同意！可以算出拼成的三個大長方體的表面積各是多少平方厘米，再比一比大小。

師：小組分工算一算，然后在小組內(nèi)討論，看你發(fā)現(xiàn)了什么。（學生分工計算三種方案的表面積）

生1：我的計算方法是：

大面重疊：4+4=8（cm）

（10×7+7×8+10×8）×2=412（cm2）

中面重疊：7+7=14（cm）

（14×4+14×10+10×4）×2=472（cm2）

小面重疊：10+10=20（cm）

（20×7+20×4+4×7）×2=496（cm2）

我發(fā)現(xiàn)重疊大面最節(jié)約包裝紙。

生2：我是這樣算的：

大面重疊：276×2-7×10×2=412（cm2）

中面重疊：276×2-4×10×2=472（cm2）

小面重疊：276×2-7×4×2=496（cm2）

我發(fā)現(xiàn)重疊的面越大，就越節(jié)省包裝紙。

生3：也可以說重疊的面越大，長方體的表面積就越小。

師：你們的這個發(fā)現(xiàn)很重要。看來包裝的學問原來藏在這里。（板書：重疊的面越大，表面積就越小）

【思考】學生結(jié)合操作活動能夠直觀地感受到將兩個最大的面重疊長方體的表面積小，但這只是依賴觀察對比，缺乏深度思考。不同拼法會產(chǎn)生不同的包裝面積，而且具有變化規(guī)律，這些需要學生去證實自己的推斷，通過長方體模型表面積的量化學生可以嘗試著解釋節(jié)省包裝紙的原因：兩個長方體的表面積之和不變，重疊起來的面越大，露在外面的面積就越小。在這一環(huán)節(jié)，教師引導學生討論兩盒牛奶的三種包裝方案，設置認知沖突，借助數(shù)據(jù)驗證促進學生有序思考，初步形成節(jié)約包裝紙方案的策略。

片段三：問題延伸，打破思維定式

1.研究包裝四盒牛奶的方案

師：將四盒牛奶包成一包，怎樣包才能節(jié)約包裝紙呢？（見圖4）我們先利用手中的長方體擺一擺，研究有幾種包裝方案？（四人小組合作，尋求不同的方案）

生1：經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，我們可以把6個大面重疊、6個中面重疊、6個小面重疊。

生2：還有4個大面4個中面重疊、4個大面4個小面重疊、4個中面4個小面重疊，一共6種不同的方案。（根據(jù)學生匯報相機出示，見圖5）

【思考】由探討兩盒牛奶到探討四盒牛奶的包裝面積，包裝方案復雜了很多，打破了學生原有的思維定式。除了常規(guī)的大面重疊、中面重疊、小面重疊，又多了4個大面4個中面重疊、4個大面4個小面重疊、4個中面4個小面重疊，一共6種不同的方案。學生獨立探究的困難較大，在這里通過合作學習的方式，讓學生充分地利用學具擺一擺、試一試，在探討交流中相互補充完善6種包裝方案，既培養(yǎng)學生有序思考的習慣，又培養(yǎng)了學生的空間觀念。

2.深入理解重疊面積和表面積的關系

師：這么多包裝方案，哪一種才能做到節(jié)約包裝紙呢？你是怎么想的？

生1：一定是6個大面重疊最節(jié)約包裝紙。重疊的面越大，表面積就越小。

生2：不一定。還有的方案重疊了8個面，也有可能更加節(jié)約包裝紙。

師：我們換個思路。不能確定哪種方案最節(jié)約包裝紙，能不能排除不節(jié)約包裝紙的方案？

生3：6個中面重疊、6個小面重疊沒有6個大面重疊的面積大，可以排除。

生4：4個大面4個小面重疊、4個中面4個小面重疊也不如4個大面4個中面重疊的面積大，所以也可以排除。

師：那么“6大”和“4大4中”哪種拼法重疊的面積大呢？（PPT出示圖6）請大家在小組內(nèi)研究一下。

生5：“6大”重疊的面積是7×10×6=420（cm2），“4大4中”重疊的面積是7×10×4+10×4×4=440（cm2），“4大4中”這種拼法重疊的面積更大一些，也更節(jié)約包裝紙。

師：有沒有更簡便的方法呢？

生6：“6大”和“4大4中”比較，都包含“4大”，其實只需要比較“2大”和“4中”哪種拼法重疊的面積大，也就是“1大”和“2中”比大小。“1大”的面積是7×10=70（cm2），“2中”的面積是4×10×2=80（cm2），所以還是“4大4中”這種拼法更加節(jié)約包裝紙。

生7：可以不用計算，直接用長方體1個大面和2個中面比一比，也能夠發(fā)現(xiàn)2個中面的面積合起來大于1個大面的面積。

師：看來我們也可以不用算，借助推理得到結(jié)論。你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生8：研究包裝的方案時，只把大面重疊不一定最節(jié)約包裝紙，最終要看重疊的總面積大小。

師：那之前的結(jié)論應怎樣修改、完善呢？

生9：應該是重疊的面積越大，長方體的表面積就越小。

（教師完善板書）

【思考】借助原有的學習經(jīng)驗，學生能直觀感受到6個大面重疊肯定比6個中面或者6個小面重疊更節(jié)省包裝紙。但還有三種包裝方案又是不同大小的面產(chǎn)生的新的組合方式，這樣通過問題的延伸，出現(xiàn)了新的認知沖突：除了重疊最大的面，還有一種情況是重疊面的數(shù)量多，最終將問題的解決指向：重疊的面積最大，才最節(jié)約包裝紙。在解決這個問題時如果延用驗證兩盒牛奶的包裝方案必然計算量很大，一旦陷入煩瑣的計算，學生的推理思考能力必然被削弱。在這一環(huán)節(jié)，教師要培養(yǎng)學生有序思考、合理分類、化繁為簡的思維習慣，借助操作、推理、簡化計算，打破學生的思維定式，強化“重疊的總面積大小決定包裝的面積的大小”這一結(jié)論，發(fā)展學生的推理意識和空間觀念。

片段四：應用拓展，走向生活

師：通過這節(jié)課的學習，你們有什么收獲呢？

生1：我知道了多個長方體包裝成一包時，重疊的面積越大，長方體的表面積就越小。

生2：解決問題的時候有多種方案，要找到最便捷的方案。

生3：包裝物品時我們既要節(jié)約包裝紙，還要注意保護環(huán)境。

師：大家說得很好！生活中不同的物品有不同的包裝方案，但都包含數(shù)學的智慧，用數(shù)學的眼光看待包裝的問題，你會有不一樣的發(fā)現(xiàn)。

【思考】數(shù)學來源于生活，最終也應用于生活，通過對多個長方體組合包裝的問題探討，學生能感知到包裝中的數(shù)學思考價值。包裝不僅僅是一個生活中的問題，更是一個具有實用價值的數(shù)學問題。學生在課堂中的收獲可以延伸到生活中，應用這樣的規(guī)律可以解決很多生活中節(jié)約空間或者節(jié)約包裝面積的實際問題。我們可以用數(shù)學的眼光來觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界。學生數(shù)學素養(yǎng)的提升，必須建立在深度探究的基礎上。在認知建立與打破的不斷迭代中，真實的學習才能發(fā)生，學生才能真正提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

編輯：陳鮮艷