建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

單文霞

教師將建模思想應(yīng)用到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）所提倡的。但是，《新課標(biāo)》僅提出“發(fā)展學(xué)生建模能力”“課內(nèi)數(shù)學(xué)建模解決問題”等教學(xué)要求，并未提供確切的教學(xué)思路。此背景下，不少教師空有將建模思想用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的想法，卻缺乏科學(xué)、合理的應(yīng)用方案，導(dǎo)致建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用效果不如預(yù)期。研究建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略，可以豐富現(xiàn)有研究成果，同時(shí)為一線教師提供更多實(shí)踐教學(xué)的創(chuàng)新思路。小學(xué)數(shù)學(xué)教師有必要基于建模思想的理論研究?jī)?nèi)容、實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行相關(guān)研究，為教學(xué)工作的優(yōu)化提供理論支持。

建模思想的本質(zhì)在于通過建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方式將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，繼而解出答案，建模過程如圖1所示。

建模思想應(yīng)用教學(xué)的關(guān)鍵在于處理實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系。具體教學(xué)中，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)遵循教育規(guī)律，按照深入淺出、循序漸進(jìn)的教學(xué)原則開展系列教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生感知、假設(shè)、抽象、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，逐漸強(qiáng)化學(xué)生的模型意識(shí)。本文將結(jié)合北師大版六年級(jí)下冊(cè)“圓柱與圓錐”課程教學(xué)案例，分析建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用策略。

一、通過創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生感知模型

由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由具象到抽象是學(xué)生思維發(fā)展的基本規(guī)律。按照學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律開展教學(xué)活動(dòng)，有利于學(xué)生逐級(jí)探索數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)其對(duì)建模思想的領(lǐng)悟與吸收。教學(xué)情境以教學(xué)主題為中心，借助音頻、視頻、文字等工具集中顯示生活化場(chǎng)景、游戲化場(chǎng)景，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的具象化。教師可以在課上創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，借助情境引導(dǎo)學(xué)生感知現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)知識(shí)的具體關(guān)聯(lián)，同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生感知情境內(nèi)容中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)模型，為培養(yǎng)學(xué)生的建模思想奠定基礎(chǔ)。比如，在“圓柱與圓錐”一課教學(xué)中，教師可以借助生活中常見的物體創(chuàng)設(shè)生活情境，在情境中滲透數(shù)學(xué)模型內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)描述現(xiàn)實(shí)物體的過程，使學(xué)生對(duì)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型形成初步認(rèn)識(shí)。

【情境導(dǎo)入】炎炎夏日，吃冰淇淋是最消暑的。你喜歡吃的冰淇淋是什么口味的？它的形狀是怎樣的？你能描述一下嗎？

【情境呈現(xiàn)】利用多媒體課件出示不同形狀的冰淇淋圖片（見圖2）。

【情境延伸】左邊的冰淇淋是什么形狀的，有什么特點(diǎn)？右邊的冰淇淋是什么形狀的，有什么特點(diǎn)？這些冰淇淋的形狀可以用平面圖形表示，還是用立體圖形表示？什么樣的立體圖形可以表示這些冰淇淋的形狀？

這樣，通過口頭描述、圖片展示的方式為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的生活化教學(xué)情境，并為學(xué)生展現(xiàn)利用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)抽象現(xiàn)實(shí)事物特征的過程，讓學(xué)生在情境中學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度抽象出現(xiàn)實(shí)事物的數(shù)學(xué)特征，從而激發(fā)學(xué)生的建構(gòu)模型意識(shí)。

二、通過提出問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生架設(shè)模型

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程并不簡(jiǎn)單，需要學(xué)生先分析數(shù)學(xué)問題的基本特征，只有應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，才能建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、求解數(shù)學(xué)模型。由此可以推斷，數(shù)學(xué)建模思維的發(fā)展具有遞進(jìn)性。教師把握學(xué)生思維發(fā)展特征，按照具體順序提出啟發(fā)性教學(xué)問題，可以逐步指導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題、建構(gòu)模型、解決模型，促進(jìn)學(xué)生對(duì)建模思想本質(zhì)的體會(huì)與理解。以“圓柱與圓錐”一課教學(xué)為例，為使學(xué)生在課程學(xué)習(xí)過程中學(xué)會(huì)架設(shè)數(shù)學(xué)模型的方式方法，教師可以依次提出以下問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生架設(shè)模型。

問題1：有一圓柱體瓷質(zhì)茶葉罐，高為30厘米，底面直徑為10厘米。張媽媽準(zhǔn)備用毛線為茶葉罐編織一個(gè)毛線套，以免茶葉罐被磕碰。你能為張媽媽提供怎樣的編制方案？

問題2：張媽媽至少要準(zhǔn)備多少毛線？

問題3：你有怎樣的計(jì)算方案？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示？

以上三個(gè)問題的難度逐級(jí)遞增，且抽象程度也在逐漸升高?；谏鲜鰡栴}鏈，教師可以組織學(xué)生討論，并引導(dǎo)學(xué)生在討論過程中架設(shè)數(shù)學(xué)模型，解答實(shí)際問題。比如，教師可按照以下師生對(duì)話案例指導(dǎo)學(xué)生架設(shè)數(shù)學(xué)模型。

【師生對(duì)話案例】

師：張媽媽至少要準(zhǔn)備多少毛線的問題可以轉(zhuǎn)化為什么問題？

生1：可以轉(zhuǎn)化為求茶葉罐表面積的問題。

師：那么如何求茶葉罐的表面積呢？

生2：茶葉罐是一個(gè)圓柱體，由兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面構(gòu)成，分別求出二者的面積之后求和即可。

生3：題目給出了茶葉罐底面的直徑，利用圓的面積公式S=πr2直接計(jì)算出茶葉罐底面積即可。

師：那怎么計(jì)算茶葉罐的側(cè)面積呢？

生4：將茶葉罐的側(cè)面展開，觀察茶葉罐側(cè)面的圖形是什么，再利用求面積的公式計(jì)算茶葉罐的側(cè)面積。

師：但是展開茶葉罐的側(cè)面積就意味著破壞了茶葉罐，這與張媽媽的預(yù)期不符。

生5：我們可以按照茶葉罐的規(guī)格應(yīng)用紙板制作一個(gè)一模一樣的圓柱體，之后展開圓柱體的側(cè)面觀察其側(cè)面形狀，再利用數(shù)學(xué)公式計(jì)算側(cè)面積即可。

在這一案例中，教師以引導(dǎo)的方式不斷提出問題，引導(dǎo)學(xué)生將求準(zhǔn)備毛線數(shù)量的問題轉(zhuǎn)化為求茶葉罐表面積的問題，將求茶葉罐表面積的問題轉(zhuǎn)化為求高為30厘米、底面直徑為10厘米的圓柱體表面積的問題，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，嘗試用數(shù)學(xué)方法解答問題的過程中完成對(duì)數(shù)學(xué)模型的架設(shè)，在潛移默化的過程中實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生建模思想的有效培養(yǎng)。

三、通過合作歸納組織學(xué)生抽象模型

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵在于明確問題的主要特征。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段，部分事物的數(shù)學(xué)特征較為明顯，可直接通過肉眼觀察發(fā)現(xiàn)，另外一部分事物的數(shù)學(xué)特征則較為隱蔽，需要應(yīng)用推理、抽象的方式分析數(shù)學(xué)特征。為了讓學(xué)生基于事物的主要特征建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，教師有必要在課上組織教學(xué)活動(dòng)，通過指導(dǎo)學(xué)生合作討論、交流抽象出事物的本質(zhì)特征，為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型提供相應(yīng)參考。比如，在“圓柱與圓錐”一課教學(xué)中，為使學(xué)生在課上自主抽象圓柱體表面積、圓柱體積、圓錐體積數(shù)學(xué)模型，教師可以在課上組織合作討論活動(dòng)，指導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型。

1.抽象圓柱體表面積數(shù)學(xué)模型。在此活動(dòng)中，教師為學(xué)生提供圓柱體模型，讓學(xué)生聯(lián)想計(jì)算圓柱體表面積的過程，形成基本的計(jì)算思路，即：先計(jì)算出圓柱體兩個(gè)底的底面積，之后計(jì)算出圓柱體的側(cè)面積，將底面積與側(cè)面積相加得到圓柱體的表面積。之后，教師可為圓柱體模型的關(guān)鍵數(shù)據(jù)賦值，并指導(dǎo)學(xué)生討論，如：假設(shè)這一圓柱體的高為h，底面半徑為r，那么這個(gè)圓柱體的表面積可表示為什么？假設(shè)這一圓柱體的高為h，底面直徑為d，那么這個(gè)圓柱體的表面積可表示為什么？在提出不同假設(shè)的過程中引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)表示圓柱體表面積公式，如S圓柱體=2πr2+2πrh，S圓柱體=１/2πd2+πdh等，使學(xué)生在分析、計(jì)算、表達(dá)的過程中完成圓柱體表面積公式的模型建構(gòu)任務(wù)。

2.抽象圓柱體體積數(shù)學(xué)模型。在此活動(dòng)中，教師可以先指導(dǎo)學(xué)生回顧圓錐體體積探究過程，并抽象出圓柱體體積的求解過程。在此過程中，教師可復(fù)制圓柱體的關(guān)鍵數(shù)據(jù)，如：假設(shè)一圓柱體高為h，底面半徑為r，那么它的體積可表示為什么？假設(shè)以圓柱體高為h，底面積為S，那么它的體積可表示為什么？在討論活動(dòng)中指導(dǎo)學(xué)生用字母表示數(shù)抽象圓柱體體積的計(jì)算公式，由此歸納出V圓柱=πr2×h、V圓柱=Sh等圓柱體體積計(jì)算公式。

3.抽象圓錐體體積數(shù)學(xué)模型。在此活動(dòng)中，教師可以為學(xué)生提供圓錐體模型、量筒、圓柱體模型、自來(lái)水等實(shí)驗(yàn)工具，讓學(xué)生根據(jù)相應(yīng)工具討論圓錐體體積探索過程。之后，教師再用字母表示數(shù)提出具體問題，引導(dǎo)學(xué)生在討論過程中抽象出圓錐體體積計(jì)算模型：假設(shè)圓錐體的高為h，底面半徑為r，那么它的體積該如何表示？提出問題引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)抽象的角度出發(fā)計(jì)算圓錐體的體積，從而完成對(duì)圓錐體體積計(jì)算模型的抽象：圓錐體體積計(jì)算模型為V圓錐體=1/2πr2h。

這樣，在組織學(xué)生合作回顧課程探究?jī)?nèi)容、總結(jié)數(shù)學(xué)計(jì)算規(guī)律、用字母代替數(shù)表示問題結(jié)果的過程中引領(lǐng)學(xué)生說出圓柱體的表面積、體積計(jì)算模型以及圓錐體的體積計(jì)算模型，進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的抽象建模能力。

四、通過評(píng)價(jià)反饋增強(qiáng)學(xué)生的模型意識(shí)

教師應(yīng)用系統(tǒng)、客觀的評(píng)價(jià)體系為學(xué)生的學(xué)習(xí)情況做出評(píng)價(jià)，診斷出學(xué)生的學(xué)習(xí)問題，并為學(xué)生的未來(lái)學(xué)習(xí)與發(fā)展做出指導(dǎo)。在進(jìn)行建模思想的應(yīng)用教學(xué)后，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)建模思想的應(yīng)用教學(xué)要求設(shè)計(jì)與之配套的教學(xué)評(píng)價(jià)體系，確保教學(xué)評(píng)價(jià)內(nèi)容貼合學(xué)生建模思想發(fā)展情況，確保學(xué)生能夠在接受評(píng)價(jià)的過程中感悟自身學(xué)習(xí)發(fā)展方面的不足，從而調(diào)整自身的學(xué)習(xí)行為。為此，教師可以分析建模思想應(yīng)用的構(gòu)成要素，并針對(duì)不同能力設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)行為指標(biāo)，為建模思想應(yīng)用教學(xué)的評(píng)價(jià)工作提供參考（見表1）。

以行為指標(biāo)表作為評(píng)價(jià)參考，確保教學(xué)評(píng)價(jià)內(nèi)容能夠契合學(xué)生建模思想生成、發(fā)展的學(xué)習(xí)需求。以北師大版六年級(jí)下冊(cè)“圓柱與圓錐”一課的建模思想應(yīng)用教學(xué)為例，教師可著眼于數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用子能力完善教學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，為學(xué)生的模型建構(gòu)行為、模型建構(gòu)結(jié)果做出評(píng)價(jià)。

教師可著眼于學(xué)生建立現(xiàn)實(shí)模型的能力設(shè)計(jì)三級(jí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：①不能基于現(xiàn)實(shí)問題提出建模猜想或提出了錯(cuò)誤的建模猜想；②可以基于現(xiàn)實(shí)問題提出建模猜想，但猜想不符合實(shí)際情況，或不可用于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；③可以基于現(xiàn)實(shí)問題提出建模猜想，并且提出的猜想可被用于建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。其中，一級(jí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為“不合格”，二級(jí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為“合格”，三級(jí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為“優(yōu)秀”。通過指出學(xué)生在建構(gòu)現(xiàn)實(shí)模型表現(xiàn)的優(yōu)劣情況，使學(xué)生能夠?qū)φ障鄳?yīng)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)反思自身的模型建構(gòu)行為，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體評(píng)價(jià)有意識(shí)地調(diào)整自身的模型建構(gòu)行為，不斷優(yōu)化學(xué)生的建構(gòu)能力。

五、結(jié)語(yǔ)

教學(xué)實(shí)踐表明，將建模思想應(yīng)用到小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的抽象意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，提高學(xué)生的應(yīng)用能力均有促進(jìn)作用。建模思想的滲透應(yīng)用應(yīng)當(dāng)遵循基本的教學(xué)規(guī)律。為此，教師有必要做好建模思想應(yīng)用教學(xué)的目標(biāo)設(shè)計(jì)、內(nèi)容組織工作，靈活選用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法滲透建模思想，并落實(shí)配套評(píng)價(jià)，筑牢學(xué)生的建模思想。

編輯：陳鮮艷