一元函數的導數及其應用單元測試卷(A 卷)

■四川省廣安市廣安友實學校 孟召臣

一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

1.下列四個函數中,在區間[0,1]上的平均變化率最大的為( )。

A.y=xB.y=ex

C.y=sinxD

2.當x＞0 時,可導函數f(x)滿足:則f'(x)=( )。

3.已知函數f(x)=(x2-a)ex,則“a≥-1”是“f(x)有極值”的( )。

A.充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

4.近幾年,出現了一些網絡流行語,如“yyds”“內卷”“躺平”等,現定義方程f(x)=f'(x)的實數根x叫做函數f(x)的“躺平點”。若函數g(x)=ex-x,h(x)=lnx,φ(x)=1 024x+1 024的“躺平點”分別為a,b,c,則a,b,c的大小關系為( )。

A.b＞a＞cB.a＞b＞c

C.c＞a＞bD.c＞b＞a

5.拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一,內容為:如果函數f(x)在閉區間[a,b]上的圖像連續不間斷,在開區間(a,b)內的導數為f'(x),那么在區間(a,b)內至少存在一點c,使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立,其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值點”。根據這個定理,可得函數f(x)=lnx在[1,e]上的“拉格朗日中值點”為( )。

A.2 021 B.2 022

C.2 023 D.[1,+∞)

7.在數列{an}中,a1=1,且函數f(x)=x5+an+1sinx-(2an+3)x+3 的 導 函 數 有唯一零點,則a10-a4+a2的值為( )。

A.2 021 B.2 022

C.2 023 D.2 024

A.0.50 B.-0.46

C.-0.54 D.0.56

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5 分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。)

9.已知函數y=f(x)滿足:f(1)=1,且f(x)在R 上 的 導 數,則不等式的整數解可以為( )。

A.4 B.3 C.2 D.1

10.已知直線y=a與曲線相交于A,B兩點,與相交于B,C兩點,A,B,C的橫坐標分別為x1,x2,x3,則( )。

A.x2=aex2B.x2=lnx1

C.x3=ex2D.x1x3=

11.已知函數f(x)=xlnx,若0＜x1＜x2,則下列選項正確的是( )。

A.x1+f(x1)＜x2+f(x2)

B.x2f(x1)＜x1f(x2)

D.若方程f(x)=a有一個根,則

12.已知定義在R 上的可導函數f(x),記g(x)=f'(x)為f(x)的導函數。若f(x-2 024)+f(2 024-x)=0,且f(x)=f(2)+f(4-x),f(1)=2 023,則下列說法正確的是( )。

A.f(x)的圖像關于x=2對稱

B.g(x)為偶函數

C.g(2 022)=0

D.f(2 023)=2 023

三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分。)

15.函數f(x)=ex-1+ax2-(2a+1)x(其中a為實數),若x=1不是f(x)的極值點,則a=_____。

四、解答題(本題共6小題,共70分,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(本小題10分)已知函數f(x)滿足

(1)求f'(1)的值;

(2)求這個函數f(x)在點(1,f(1))處的切線方程。

18.(本小題12分)已知在直角坐標系xOy中矩形的四個頂點都在橢圓C上,將該矩形繞y軸旋轉一周,得到一個圓柱體,當該圓柱體的體積最大時,求該圓柱體的側面積。

(1)求函數f(x)的零點及單調區間;

20.(本小題12 分)已知函數f(x)=e2x-2x-1。

(1)證明:f(x)≥0。

(2)?x0∈(0,+∞),使得f(x0)＜ax0-1成立,求a的取值范圍。

21.(本小題12 分)已知函數f(x)=ax-xlnx。

(1)討論f(x)在[1,e]上的最大值。

(2)是否存在實數a,使得對任意x＞0,都有f(x)≤a? 若存在,求a的取值范圍;若不存在,說明理由。

22.(本小題12 分)已知函數f(x)=alnx-x,e是自然對數的底數。

(1)若x1,x2(0＜x1＜x2)是函數y=f(x)的兩個零點,證明:

(2)當a=2時,若對于?k＞0,曲線C:y=m-kx2與曲線y=f(x)都有唯一的公共點,求實數m的取值范圍。