函數(shù)隱零點問題的探究

■鄭州市第十一中學 李小斌

導數(shù)隱零點問題是高考函數(shù)零點中常見的題型之一,其源自含指數(shù)或?qū)?shù)的函數(shù)方程無法進行精確求解,我們只能在得到方程解的存在性之后去估計大致的范圍,從而進行求解。

解決隱零點問題的三部曲通常是:

第一步,用零點存在性定理判斷導函數(shù)的零點存在,列出零點方程f'(x)=0,并結(jié)合f(x)的單調(diào)性得到零點的范圍;

第二步,以零點為分界點,說明導函數(shù)f'(x)的正負,進而得到f(x)的最值表達式;

第三步,將零點方程f'(x)=0 適當變形,整體代入f(x)的最值式子進行化簡,要么消除f(x)最值式子中的指數(shù)或?qū)?shù)項,要么消除其中的參數(shù)項,從而對f(x)的最值式子進行化簡和證明。

一、不含參函數(shù)的隱零點問題

例1(2023 年鄭州模擬)已知函數(shù)

(1)求函數(shù)g(x)的極值;

(2)當x＞0時,證明:f(x)≥g(x)。

當x∈(0,e)時,g'(x)＞0,g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增;

當x∈(e,+∞)時,g'(x)＜0,g(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減。

故函數(shù)g(x)的極大值為無極小值。

(2)證明f(x)≥g(x)等價于證明xex+1-2≥lnx+x(x＞0),即證明xex+1-lnx-x-2≥0。

當x∈(0,x0)時,φ(x)＜0,h'(x)＜0,h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減;

當x∈(x0,+∞)時,φ(x)＞0,h'(x)＞0,h(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增。

故h(x)min=h(x0)=x0ex0+1-lnx0-x0-2。

又因為φ(x0)=0,即,所以h(x0)=-lnx0-x0-1=(x0+1)-x0-1=0,從而h(x)≥h(x0)=0。

因此,f(x)≥g(x)。

方法探究：已知不含參函數(shù)f(x),導函數(shù)方程f'(x)=0的根存在,卻無法求出。

(1)利用零點存在性定理,判斷零點存在,設方程f'(x)=0的根為x0,則有關系式f'(x0)=0成立,注意確定x0的取值范圍。

(2)利用f'(x0)=0,換掉f(x0)中的lnx0和ex0,從而證出結(jié)果。

二、含參函數(shù)的隱零點問題

例2(2022 年湖北省新高考協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2exsinx-ax(e是自然對數(shù)的底數(shù))。若0＜a＜6,試討論f(x)在(0,π)上的零點個數(shù)。(參考數(shù)據(jù)

解析:由題意知f(x)=2exsinx-ax,則f'(x)=2ex(sinx+cosx)-a。

令h(x)=f'(x),則h'(x)=4excosx。

當x∈(0,x0)時,f'(x)＞0;

當x∈(x0,π)時,f'(x)＜0。

因此,f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,π)上單調(diào)遞減。

因為f(0)=0,所以f(x0)＞0。

又f(π)=-aπ＜0,由函數(shù)零點存在性定理可得,此時f(x)在(0,π)上僅有一個零點。

②當2＜a＜6時,f'(0)=2-a＜0。

當x∈(0,x1)或x∈(x2,π)時,f'(x)＜0;

當x∈(x1,x2)時,f'(x)＞0。

因此,f(x)在(0,x1)和(x2,π)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增。

因為f(0)=0,所以f(x1)＜0。

又f(π)=-aπ＜0,由零點存在性定理可得,f(x)在(x1,x2)和(x2,π)內(nèi)各有一個零點,即此時f(x)在(0,π)上有兩個零點。

綜上所述,當0＜a≤2時,f(x)在(0,π)上僅有一個零點;當2＜a＜6時,f(x)在(0,π)上有兩個零點。

方法探究：已知含參函數(shù)f(x,a),其中a為參數(shù),導函數(shù)方程f'(x,a)=0 的根存在,卻無法求出。

(1)設方程f'(x)=0的根為x0,則有關系式f'(x0)=0成立,該關系式給出了x0,a的關系；要注意確定x0的取值范圍,往往和a的取值范圍有關。

(2)注意利用a的取值范圍進行適當放縮,把字母a去掉。

求解隱零點問題的難點在于對隱零點所在區(qū)間的準確界定,通常有以下三種方法。

第一種是二分法,若x0∈(1,2)選取不合適,可判斷的正負,重新確定在以為長度的區(qū)間,這也是較為基礎的方法；

第二種是根據(jù)題目后面給出的參考數(shù)據(jù)重新選點,例如ln 2,ln 2.5,ln 3 的參考值,通常這種提示就可以大致確定出隱零點的取值范圍；

第三種既不能用二分法也沒有對應的參考數(shù)據(jù),此時可直接從f(x0)=0入手,反推x0的取值范圍。

隱零點問題是指對函數(shù)的零點設而不求,通過一種整體代換和過渡,結(jié)合題目條件最終解決問題,常常出現(xiàn)在高考數(shù)學的壓軸題中。這類題往往對思維要求較高,過程較為煩瑣,計算量較大。希望同學們在學習時予以高度的重視,能夠快速解答此類題目,從而取得優(yōu)異的成績。