一元函數的導數及其應用單元測試卷（B 卷）參考答案與提示

一、單選題

1.B 提示:由題圖可知函數f(x)的圖像在x=1 處的切線的斜率比在x=3 處的切線的斜率大,且均為正數,所以0＜f'(3)＜f'(1)。連接AB,則割線AB的斜率為,其比在x=1 處的切線的斜率小,但比在x=3 處的切線的斜率大,所以(1),選B。

3.D 提示:因為F(x)=f(x2-4)+f(4-x2),所以F'(x)=2xf'(x2-4)-2xf'(4-x2),故F'(2)=4f'(0)-4f'(0)=0。

當x趨近于0 時,h(x)趨近于-∞,所以a≤e滿足條件。

7.C 提示:f'(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2 處取得極值,知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,故a=3。所以f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)= -3x2+6x。令f'(x)=0,得x=0 或x=2。若x∈[-1,1],當-1＜x＜0時,f'(x)＜0;當0＜x＜1時,f'(x)＞0。所以f(x)在(-1,0)上單調遞減,在(0,1)上單調遞增,當x=0時,f(x)取得極小值,也是最小值。當m∈[-1,1]時,f(m)min=f(0)=-4。

8.B 提示:當x≤0時,f(x)=x·ex,f'(x)= (x+1)· ex。 可 得f(x)在(- ∞,-1)上單調遞減,在(-1,0]上單調遞增,且,所以f(x)的大致圖像如圖1 所示。由f2(x)-(m+1)·f(x)+m=0,解得f(x)=1或f(x)=m。由f(x)的圖像可知,當f(x)=1時,有1個根。所以f(x)=m有3 個根,則實數m的取值范圍為

圖1

二、多選題

9.BC 提示:由題意可知f(x)是R 上的增函數。

對于C,f'(x)=ex＞0 恒 成立,故C 中函數是“H函數”。

對于D,易知f(x)為偶函數,所以它不可能為R 上的增函數,故D 中函數不是“H函數”。

10.ACD 提示:對于 A,f'(x)=,故 A正確。

對于B,f'(x)=e2x·2=2e2x,B錯誤。

11.ABC 提示:因g(x)是偶函數,故g(-x)=g(x),兩邊求導得-g'(-x)=g'(x),所以g'(x)是奇函數,g'(0)=0。

由f(x)+g'(x)-10=0,f(x)-g'(4-x)-10=0,得f(x)-10=-g'(x)=g'(4-x)。

故g'(-x)=g'(-x+4),g'(x)是周期函數,且周期為4,g'(0)=g'(4)=0。

g'(2)=g'(2-4)=g'(-2)=-g'(2),所以g'(2)=0。

選項A:f(x)+g'(x)-10=0,令x=2得,f(2)+g'(2)-10=0,所以f(2)=10,A正確。

選項B:f(x)-g'(4-x)-10=0,令x=4得,f(4)-g'(0)-10=0,故f(4)=10,B正確。

選項C:由f(x)+g'(x)-10=0,可得f(4-x)+g'(4-x)-10=0。

又f(x)-g'(4-x)-10=0,所以f(x)+f(4-x)=20。

又g'(x)是奇函數,f(-x)+g'(-x)-10=f(-x)-g'(x)-10=0,所以f(x)+f(-x)=20。

又f(x)+f(4-x)=20,所以f(-x)=f(4-x),即f(x)=f(4+x)。

則f'(x)=f'(4+x),f'(x)-f'(-x)=0,f'(x)=f'(-x),函數f'(x)是周期為4的偶函數。

所以f'(-1)=f'(3)=f'(-3),故C正確。

選項D:f'(2 023)=f'(4×505+3)=f'(3),由題設得不出f'(3)=0,所以f'(2 023)=0不一定成立,故D 錯誤。

12.ABD 對于A 選項,令f(x)=tanx-x,其中

三、填空題

13.2 提示:對函數求導得到f'(x)=,所以f'(1)=1,f(1)=-1。

曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-(-1)=f'(1)(x-1),y=x-2。

設切線與兩坐標軸的交點為A(2,0),B(0,-2),所以

14.(-e,2) 提示:由題意可得f'(x)=ex+3x2+(a-3),且f'(x)在區間(0,1)上單調遞增。要使函數f(x)=ex+x3+(a-3)x+1 在區間(0,1)上有最小值,則

這時存在x0∈(0,1),使得f(x)在區間(0,x0)上單調遞減,在區間[x0,1)上單調遞增,即函數f(x)在區間(0,1)上有極小值也是最小值,故實數a的取值范圍是(-e,2)。

16.①④⑤ (或 ②③④) 提示:若選擇條件 ①a=1,b=1 作為已知條件,f(x)=(1+cosx)sinx, 則f'(x)=2cos2x+cosx-1=(2cosx-1)(cosx+1)。

令f'(x)＞0, 解 得;令

因為f(2π-x)=[1+cos (2π-x)]·sin (2π-x)=-(1+cosx)sinx=-f(x),所以f(x)的圖像關于點 (π,0) 對稱,④正確。

易知f(x)的一個周期是2π, 當x=5π 3時,f(x)取得最小值,⑤正確。

故可選①④⑤。

若選擇條件②a=1,b=-1 作為已知,則f(x)= (1-cosx)sinx,

f'(x)=-2cos2x+cosx+1=(2cosx+1)(1-cosx)。

令f'(x)＞0, 解得

令f'(x)＜0, 解得

故可選②③④。

四、解答題

17.(1)若f(t)的圖像為一條連續曲線,則log2(2×2+4)+cos(2-2)+17=a·23-22+1,即3+1+17=8a-4+1,解得a=3。

(2)當0≤t＜2時,f(t)=log2(2t+4)+cos (t-2)+17。

f(1)=1,f'(1)=3,所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0。

(2)要證f(x)＜ex+x2-2,即證ex＞lnx+2。

先證明ex＞x+1。令g(x)=ex-x-1,其中x＞0,則g'(x)=ex-1＞0,所以函數g(x)在(0,+∞)上為增函數,g(x)＞g(0)=0,即ex＞x+1。

接下來證明lnx≤x-1。

令h(x)=x-lnx-1,其中x＞0,則

由h'(x)＜0,可得0＜x＜1;由h'(x)＞0,可得x＞1。

因此,函數h(x)的單調遞減區間為(0,1),單調遞增區間為(1,+ ∞),h(x)≥h(1)=0,即lnx≤x-1。

因此,ex＞x+1=(x-1)+2≥lnx+2,ex＞lnx+2,原不等式得證。

19.(1)因為f(x)=lnx-mx+2,定義域為(0,+∞),所以

當m≤0時,因為,所以f'(x)＞0恒成立,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,f(x)無極值。

令g(x)=f(x)-(a+2)cosx=aex+2e-x+(a-2)x-(a+2)cosx,則g'(x)=·sinx,且g'(0)=2(a-2)。

若a≥2,則當x∈[0,π]時,g'(x)≥0,函數g(x)在[0,π]上單調遞增;

當x∈(π,+ ∞)時,g'(x)≥aex-2e-x+(a-2)-(a+2)＞aeπ-2e-π-4＞,g(x)在(π,+∞)上單調遞增。又g(x)在[0,+∞)上連續,所以g(x)在[0,+∞)上單調遞增,故g(x)≥g(0)=0,符合題意。

若0＜a＜2,則g'(0)=2(a-2)＜0,g'(x)≥aex-2e-x+(a-2)-(a+2)=aex-2e-x-4。

因此,g(x)在x∈(0,x0)上單調遞減,當x∈(0,x0)時,g(x)＜g(0)=0,不符合題意。

綜上,實數a的取值范圍為[2,+∞)。

22.(1)由題意可知x∈(0,+∞),要使f(x)＜0恒成立,即恒成立。