函數圖象考情分析

蔣丹麗

［摘 要］函數圖象是研究函數性質的重要工具，也是每年高考數學的重要考點之一。文章結合八則典例，從八個方面探討函數圖象的考查形式，以幫助學生搭建解決函數圖象問題的橋梁，提高學生的思維品質，發展學生的數學素養。

［關鍵詞］函數；圖象；高考

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）29-0029-03

函數圖象是研究函數性質的重要工具，也是高考數學的重要考點之一。高考數學中的函數圖象題通常以一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等的圖象為基礎，對函數性質進行考查，考查的形式主要有知式選圖、知圖選式、圖象變換，以及利用函數圖象解決不等式問題、參數問題、最值問題等。本文舉例說明，以供參考。

一、函數圖象的識別

這類問題一般以選擇題的形式出現，題目中給出函數解析式和四個選項中的圖象，要求考生選出該函數的圖象，即知式選圖。函數圖象與函數性質是密不可分的，所以這類問題不僅考查函數的圖象，還考查函數的性質。

點評：函數圖象的識別主要用排除法。要抓住函數的性質，定性分析：①從函數的定義域判斷圖象的左右位置；從函數的值域判斷圖象的上下位置。②從函數的單調性判斷圖象的變化趨勢。③從周期性判斷圖象的循環往復。④從函數的奇偶性判斷圖象的對稱性。同時要善于抓住圖象的特征，定量計算：從函數的特征點入手，利用特征點、特殊值的計算分析等解決問題。

二、給出圖象確定函數

知圖選式，也是一類重要考查形式，主要考查函數的圖象與性質。一般可通過圖象體現出的性質利用排除法篩選。與知式選圖類似，主要根據函數的奇偶性、單調性、特值和極限等加以綜合分析。

［例2］已知函數[f（x）]的部分圖象如圖1所示，則它的解析式可能是（）。

解：由圖象可知，函數[f（x）]的定義域為R。

點評：一般采用排除法，通過函數的奇偶性和特殊點來排除不符合要求的解析式，最終確定正確選項。

三、函數的圖象變換

函數的圖象變換主要有平移變換、對稱變換、翻折變換和伸縮變換。試題通過對圖象變換來考查考生對函數解析式與函數解析式之間的內在聯系的理解與應用。

［例3］為了得到函數[y=log2（2x-2）]的圖象，只需把函數[y=log2x]的圖象上的所有點（）。

A.向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度

B.向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度

C.向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度

D.向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度

點評：本例類似于三角函數圖象變換問題，一定要注意“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”之間的區別。

四、利用函數圖象研究函數性質

函數圖象是研究函數性質的重要工具。利用函數圖象研究函數性質的問題在高考數學中一般以多選題的形式出現。試題給出一個函數和四個函數性質選項，要求考生根據函數圖象加以選擇。

［例4］已知函數[f（x）=f（-x）]，且[f（x）]的對稱中心為（1，0），當[x∈2，3]時，[f（x）=3-x]，則下列選項正確的是（）。

A. [f（x）]的最小值是[-1]

B. [f（x）]在（-3，-2）上單調遞減

C. [f（x）]的圖象關于直線[x=-2]對稱

D. [f（x）]在（3，4）上的函數值大于0

解：根據[f（x）=f（-x）]可得[f（x）]為偶函數，對稱中心為（1，0），可知[f（x）]的圖象關于（1，0）對稱，結合[x∈2，3]時，[f（x）=3-x]，可畫出[f（x）]的部分圖象如圖2所示。由圖象可知，[f（x）]的最小值是[-1]，[f（x）]在（-3，-2）上單調遞增，[f（x）]的圖象關于直線[x=-2]對稱，[f（x）]在（3，4）上的函數值小于0，故A、C正確，B、D錯誤，故選AC。

點評：處理這類問題往往可以采用數形結合法：根據函數的對稱性以及單調性畫出函數的圖象，結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性、周期性、對稱性）進行解題。

五、利用函數圖象解決不等式問題

與指數、對數、冪混合型函數相關的不等式問題和與抽象函數有關的不等式問題，通常通過數形結合轉化為函數圖象的交點和在交點兩側圖象的上、下位置關系來解決。

［例5］（1）已知函數[f（x）=log2（x+1）]，若[f（x）>x]，則x的范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

解：（1）作出函數[y=log2（x+1）]和函數[y=x]的圖象（如圖3），兩個函數的圖象相交于點（0，0）和（1，1），當且僅當[x∈（0，1）]時，[y=log2x+1]的圖象在[y=x]的圖象的上方，即不等式[f（x）>x]的解集為（0，1）。故答案為（0，1）。

[x1-x2<0]，所以[f（x1）-f（x2）>0]，即[f（x1）>f（x2）]，所以函數[f（x）]在（-∞，0）上單調遞減，則函數[f（x）]在（0，+∞）上單調遞減，又[f（1）=0]，所以[f（-1）=-f（1）=0]，則函數[fx]的大致圖象如圖4所示。

根據圖象可得不等式[xf（x）<0]的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）。故答案為（-∞，-1）∪（1，+∞）。

點評：本例第（1）題為超越不等式問題，第（2）題為與抽象函數有關的不等式問題，圖象法是最佳選擇。畫函數圖象時必須注意與[x]軸的交點和圖象左右兩個方向上的走勢，從整體上把握住圖象的變換規律。

六、由函數圖象確定參數范圍

這類問題要求考生從動態的函數圖象中研究其性質，進而確定參數值或范圍，體現了由形到數的思維，它能較好地考查考生的觀察能力與分析能力，是屢見不鮮的題型。

［例6］已知函數[y=loga（x+c）]（[a、c]為常數，其中[a>0，a≠1]）的圖象如圖5所示，則下列結論成立的是（）。

A. [a>1，c>1]

B. [a>1，0

C. [01]

D. [0

解：由函數圖象可知函數為單調遞減函數，結合[y=loga（x+c）]可知[01]，∴[c>0]；當[x=0]時，[logac>0]，∴[0

點評：本題考查了對數型函數的圖象與性質，要求考生能弄清參數變化與圖象位置的關系，難度不大。

七、利用函數圖象求函數最值

函數圖象可以讓函數性質一目了然。對于某些較為特殊的且容易作出其圖象的函數，尤其是分段函數，我們不必采用代數法去求它的最值，運用圖象法求解省時省力。

A. [-1] B. [1] C. [2] D. [3]

點評：利用函數圖象求函數的最值，先作出所涉及的函數圖象，再根據題目對函數的要求，從圖象上尋找取得最值的位置，計算出結果，體現了數形結合的思想。

八、利用函數圖象研究函數零點問題

對于無法用解方程的方法來確定函數零點的問題，一般采用圖象法，將原問題轉化為兩個函數的交點問題，畫出函數圖象，這樣可直觀地看出交點（即零點）的個數和每個零點取值的大致范圍。

［例8］（1）函數[f（x）=exlnx-1]的零點個數是（）。

A. [0] B. [1] C. [2] D. [3]

解：（1）由[f（x）=0]可得[lnx=e-x]，作出函數[y=lnx]與[y=e-x]的圖象如圖7所示，由圖可知，函數[y=lnx]與[y=e-x]的圖象的交點個數為[2]，故函數[f（x）]的零點個數為[2]。故選C。

點評：遇到超越方程或較為復雜的函數時，一般可將其分解成兩個初等函數，再從兩個初等函數的圖象之間的關系直接看出方程解的個數或函數零點的個數。

從以上八類問題我們可以看出，高考對函數圖象的考查具有基礎性、多樣性和靈活性的特點，不僅要求考生會作函數圖象，會變函數圖象，更要求考生會用函數圖象搭建解決問題的橋梁。