一類不定方程的可解性

摘要：利用偽Smarandache函數，Smarandache LCM函數以及廣義歐拉函數的基本性質，研究了當e=6時，不定方程Z（n）=e（ＳＬ（n？詛）），∈Z+的可解性， 證明了這一類方程無正整數解。

關鍵詞：偽Smarandache函數；Smarandache LCM函數；廣義歐拉函數；不定方程的可解性

中圖分類號：O175" " " "文獻標識碼：" A" " " 文章編號：2095-7734（2024）06-0049-05

1引言

" 偽Smarandache函數是定義在正整數集 +上的函數，[1]用Z（n）來表示，它的函數表達形式是Z（n）=minm|m∈ +，n|。Smarandache LCM函數[2]是定義在正整數集" +上的函數，用SL（n）來表示，其函數表達式是SL（n）=minm|m∈ +，n|lcm[1，…，m]，這里lcm[1，…，m]表示1，…，m的最小公倍數。廣義歐拉函數是在歐拉函數的基礎上提出的，[3][4][5]用e（n）來表示，e（n）定義為1，…，[n/e]中與n互素的數的個數，即e（n）=，這里[x]表示x的高斯函數。其定義與歐拉函數定義有異曲同工之妙，但是破壞了歐拉函數的一些性質。例如，歐拉函數是積性函數，但廣義歐拉函數不是積性函數，這就導致廣義歐拉函數的一般表達式更為復雜。

近些年，很多學者對Z（n），SL（n）以及e（n）三者相結合的不定方程進行研究，并取得了大量有價值的研究成果。[6]其中朱山山等研究了t（n）+2（n）=S（SL（nk））的整數解。[6]余禮等人研究了方程e（n）=2 （w （n）），e=8，12的正整數解。[7]王慧莉等研究了方程S（SL（n））=e（n）（e=3，4，6）的可解性。[8]曹盼盼等給出廣義歐拉函數方程2（n）=S（n（28））的正整數解。[9]李昌吉給出不定方程2（n）=2（n）+S（n（25））的正整數解。[10]張四保研究了不定方程2（n）=S（SL（nk））的可解性。[11]

" 本文利用初等與解析的方法，以及Z（n），SL（n）和e（n）的性質，在Z（n）=e（SL（n））的基礎上，繼續深入研究這類方程。對e=6，討論不定方程Z（n）=6（SL（n）），∈ +的可解性，并證明了這一類不定方程無正整數解。主要結論陳述如下：

定理1" 不定方程

Z（n2）=6（SL（n2））

無正整數解。

定理2" 不定方程

Z（n）=6（SL（n）），=2+1，∈ +

無正整數解。

定理3" 不定方程

Z（n）=6（SL（n）），∈ +

無正整數解。

2相關引理

" 為了證明我們的主要結論，先給出下列一些引理。對任意正整數n，若n的標準分解式n=pp…p，其中pi（i=1，2，…，k）是不同的素數，令（n）=i，（n）=k，并且規定（1）=（1）=0。

引理1[12]" 設正整數的標準分解式n=pp…p，則有

SL（n）=maxp|i=1，…，k。

" 特別地，SL（p）=p。

引理2[13]" 對任意的素數p≥3及k≥1，有：Z（pk）=pk-1，特別地，當p=2時，則有：Z（2k）=2k-1-1。

引理3[14]" 若n=23∏pgt;6（k≥1），，，i≥0，其中pi是不同的素數，并且gcd（pi，6）=1（1≤i≤k），則有

6（n）=，=0，∈{0，1}，pi≡5（mob6）;，=1，∈{0，1}，pi≡5（mob6）;，≥2，∈{0，1}，pi≡5（mob6）;，Otherwise

這里，gcd（x，y）表示x與y的最大公因子（下同）。

引理4[14]" 若n=23 gt;6則

6（n）=，≥3，=0;，≥2，=1.

引理5[14]" 不定方程

Z（n）=6（SL（n））

無正整數解。

3主要定理的證明

3.1定理1的證明

" （1）假設n=1，則6（SL（12））=6（12）=0，然而Z（12）=1，則Z（12）≠6（SL（12）），顯然n=1不是該方程的解。

" （2）假設n=2 pp…pgt;1，其中pi（1≤i≤s）為奇素數，并且滿足≥0，sgt;0，1，…s≥0。

" （i）若22gt;max{p（1≤i≤s）}，則必有≥1。由引理1可得SL（n2）=22，則6（SL（n2））=6（22）。若=1，則4gt;max{p（1≤i≤s）}，此時必有i=0，（1≤i≤s），即n=2。此時易知6（SL（4））=6（4）=0，然而由引理2可得Z（4）=7，故n=2時，此方程無解。若≥2，則2≥4，因此由引理4可知6（SL（n2））=6（22）=，如果不定方程Z（n2）=6（SL（n2）），則根據Z（n）的定義必成立：

22pp…p

經過化簡可得22+1·32 pp…p|（22-2-1）（22-2+2），從而整除的性質易知，22+1|（22-2-1）（22-2+2），因為gcd（22+1，22-2-1）=1，故可得22+1|（22-2+2）成立，顯然此式不可能成立，故此時不定方程方程Z（n2）=6（SL（n2））無解。

" （ii）若pgt;{p（1≤i≤s-1），22}，則必有≥1，由引理1可知此時（SL（n2））=p，則6（SL（n2））=6（p），下面分情況討論6（p）的值。

" （a）若p=3，因為≥1，故2≥2，易知6（SL（n2））=6（3）=3，如果方程Z（n2）=6（SL（n2））成立，則根據Z（n）定義必成立：

22pp…p3

經過化簡可得22+1pp…p3|3（3+1），從而32|（3+1），顯然此式不可能成立，故此時不定方程Z（n2）=6（SL（n2））無解。

" （b）若p≡1（mod6），由引理3可知6（SL（n2））=6（p）=p（p-1），如果方程Z（n2）=6（SL（n2））成立，則根據Z（n）的定義必成立：

22pp…p

經過化簡得22+1·32pp…p|（p（p-1））（p（p-1）+6），從而p|（p-1））（p（p-1）+6），由此可得，p|（6-p），顯然此式不可能成立，故此時不定方程Z（n2）=6（SL（n2））無解。

" （c）若p≡5（mod6），由引理3可知，6（SL（n2））=6（p）=，假設函數方程Z（n2）=6（SL（n2））成立，則根據Z（n）定義必成立：

22pp…p

經過化簡可得22+3·32pp…p|（p（p-1）+4）（p（p-1）+10），從而根據整除的性質可以得出

p|（p（p-1）+4）（p（p-1）+10）成立，因為gcd（p（p-1）+10，p（p-1）+4）=1，2，3或6，無論是出現何種情形均可得到p|（p（p-1）+4）或者p|（p（p-1）+10），顯然上述兩式均不可能成立，故此時不定方程Z（n2）=6（SL（n2））無解，證畢。

推論1不定方程

Z（n）=6（SL（n）），=2，∈Z+

無正整數解。

" 證明：Z（n）=6（SL（n）），=2，∈Z+？圳Z（n2）=6（SL（n2）），∈Z+？圳Z（（n）2）=6SL（（n）2），∈Z+。由定理1可知不定方程方程Z（n2）=6（SL（n2））沒有正整數解，因此立即可以得出Z（（n）2）=6SL（（n）2），∈Z+不成立。也就是Z（（n）2）≠6（SL（（n）2）），∈Z+，由此便知Z（n）≠6（SL（n）），=2，∈Z+。因此不定方程Z（n）=6（SL（n）），=2，∈Z+無正整數解。

3.2定理2的證明

" （1）顯然n=1，不是該方程的解。因為6（SL（1））=6（1）=0，然而Z（1）=1。

" （2）假設n=2pp…pgt;1其中pi（1≤i≤s）為奇素數，并且≥0，sgt;0，1，…s≥0。

" （i）若2gt;max{p（1≤i≤s）}則必有≥1，由引理1得SL（n）=2，易知此時6（SL（n））=6（2）。

" 因為≥1，且=2+1，∈Z+，即≥3，故可得≥3，則由引理4可知，6（SL（n））=6（2）=，如果不定方程Z（n）=6（SL（n）），=2+1，∈Z+成立，則根據Z（n）的定義必成立

2pp…p

經過化簡可得，2+1·32pp…p|（2-2+（-1）-1）（2-2+（-1）-1+3），從而得出2+1|（2-2+（-1）-1）（2-2+（-1）-1+3），因為gcd（2+1，2-2+（-1）-1）=1，故可得2+1|（2-2+（-1）-1+3）成立，顯然此式不可能成立，故此時不定方程Z（n）=6（SL（n）），=2+1，∈Z+無解。

" （ii）若pgt;max{p（1≤i≤s-1），2}，則必有≥1，由引理1可知此時SL（n）=p，則6（SL（n））=6（p），下面分情況討論6（p）的值。

" （a）若ps=3，因為≥1，故≥3，由引理3可知6（SL（n））=6（3）=3，如果不定方程Z（n）=6（SL（n）），=2+1，∈Z+成立，則根據Z（n）的定義必成立：

2pp…p3 。

經過化簡得， 2+1pp…p32|（3+1），從而有32|（3+1），顯然此式不可能成立，故此時不定方程Z（n）=6（SL（n）），=2+1，∈Z+無解。

（b）若ps≡1（mod6），由引理3可知，6（SL（n））=6（p）=p（p-1）。如果不定方程Z（n）=6（SL（n）），=2+1，∈Z+成立，則根據Z（n）的定義必成立

2pp…p 。

經過化簡可得，2+3·32pp…p|（p（p-1））（p（p-1）+6），從而p|（p-1）（p（p-1）+6），由此可得p|（6-p），顯然此式不可能成立，故此時不定方程Z（n）=6（SL（n）），=2+1，∈Z+無解。

（c）若ps≡5（mod6），此時SL（n）=p，可知6（SL（n））=6（p）==，如果不定方程Z（n）=6（SL（n）），=2+1，∈Z+成立，則根據Z（n）的定義，必成立：

2 pp…p 。

化簡得，2+3·32pp…p|（p（p-1）+4（-1））（p（p-1）+（-1）+6），從而可以得出，p|（p（p-1）+4（-1））（p（p-1）+（-1）+6），因為gcd（p（p-1）+4（-1），p（p-1）+4（-1）+6）=1，2，3或6，無論何種情形均有p|（p（p-1）+4（-1））或者p|（p（p-1）+4（-1）+6），顯然上述兩式均不可能成立，故此時不定方程Z（n）=6（SL（n）），=2+1，∈Z+無解。

3.3定理3的證明及其推論

" 從引理5，可知當=1時結論成立，由推論1可知是大于0的偶數，則結論成立，從定理2立即可以得出是大于0的奇數時結論成立。于是立即可以得出對任意∈Z+，Z（n）=6（SL（n））成立，由此便完成定理的證明。

" 對于e=3，4的情形，按照上述討論過程，可以得出相同的結論。因此，便有了下面的推論2。

推論2 不定方程

Z（n）=e（SL（n）），e=3，4，∈Z+

無正整數解。

參考文獻：

[1]" 李改利，高麗，戴妍百，等.一類包含Smarandache LCM函數與廣義歐拉函數的方程[J].湖北大學學報（自然科學版），2023，45（02）：181-187.

[2]" 袁合才，王曉峰.關于Smarandache LCM函數的數論函數方程S（SL（n（11，12）））=（n）的可解性[J].西南大學學報（自然科學版），2018，40（10）：72-76.

[3]" 廖群英.廣義歐拉函數的計算公式（英文）[J].中國科學技術大學學報， 2019，49（08）：614-619.

[4]" 蔡天新，沈忠燕，胡孟君.廣義歐拉函數的奇偶性（英文）[J].數學進展，2013，42（04）：505-510.

[5]" 姜蓮霞，張四保.一類廣義Euler函數e（n）的計算公式 [J/OL].首都師范大學學報（自然科學版），1-88[2024-12-30].http：//kns.cnki.net/kcms/detail/11.3189.N.20230906.1450.004.html.

[6]" 朱山山，瞿云云，周建華，等.數論函數方程t（n）+2（n）=S（SL（nk））的正整數解[J].貴州師范大學學報（自然科學版），2023，41（02）：80-85

[7]" 余禮，廖群英.方程e（n）=2 （？棕 （n））（e=8，12）的正整數解[J].四川師范大學學報（自然科學版），2022，45（03）：330-339.

[8]nbsp; 王慧莉，廖群英，杜珊.方程S（SL（n））=e（n）（e=3，4，6）的可解性[J].四川師范大學學報（自然科學版），2021，44（06）：752-761.

[9]" 曹盼盼，趙西卿.廣義歐拉函數方程2（n）=S（n（28））的正整數解[J].延安大學學報（自然科學版），2020，39（04）：72-76.

[10] 李昌吉.數論函數方程2（n）=2（n）+S（n（25））的正整數解[J].南寧師范大學學報（自然科學版），2019，36（04）：35-39.

[11] 張四保.數論函數方程2（n）=S（SL（nk））的可解性[J]. 西南大學學報（自然科學版），2020，42（04）：65-69.

[12] 王慧莉，廖群英，任磊.方程S（SL（n2））=e（n）（e=3，4，6）的可解性[J].四川師范大學學報（自然科學版），2022，45（05）：595-604.

[13] 賀艷峰，李勰，韓帆，等.數論函數方程（n2）=e（SL（n2））的可解性研究[J]. 湖北大學學報（自然科學版），2023，1-8.

[14] 朱杰，廖群英.關于方程（n）=e（SL（n））的正整數解[J]. 四川師范大學學報（自然科學版），2020，43（04）：451-457.

Solvability of a Class of Indeterminate Equations

XIANG Wan Guo，" YIN Mi，" WANG Jun，" SHANG Yu

（School of Mathematics and Computer Science， Yunnan Minzu University， Kunming 650000， Yunnan；

School of" Mathematics and" Statistics ， Pu’er University， Pe’er 665000 Yunnan， China）

Abstract： In this paper， the solvability of the indefinite equation Z（n？詛）=？漬e（ＳＬ（n？詛）），？詛∈Z+" is studied whene=6. By using the elementary properties of pseudo Smarandache function，Smarandache LCM function， and generalized Euler function， we prove that this kind of equation has no positive integer solution.

Keywords： pseudofunctions；smarandache lcm functions；generalized euler functions; solvability of indefinite equations