巧用類比和變式探究解決圓錐曲線問題

◎ 海南省陵水黎族自治縣陵水中學(xué) 趙李三 陳 媛

類比和變式探究是提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率的重要手段，圓錐曲線是高中解析幾何的重要內(nèi)容，也是高考的重要內(nèi)容。圓錐曲線包括橢圓、雙曲線、拋物線。橢圓作為重點內(nèi)容，要注重強(qiáng)調(diào)它的研究典型示范作用。教學(xué)實踐中，通過“定義變式”“標(biāo)準(zhǔn)方程變式”“幾何性質(zhì)變式”“例題與習(xí)題變式”等進(jìn)行探究，讓學(xué)生解決橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)問題。再通過巧用類比和變式探究，解決圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)問題；在圓錐曲線教學(xué)中，教師應(yīng)充分重視類比和變式探究，通過類比和變式例題、習(xí)題、高考題，有利于運用圓錐曲線知識與方法解決問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、類比和變式探究有利于解決圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)問題

在探究拋物線的定義時，類比橢圓與雙曲線的定義，讓學(xué)生思考：如果動點M 到定點F 的距離與M 到定直線l 的距離之比為k，當(dāng)0＜k＜1時，點M 的軌跡是什么？[橢圓（圖1）]；當(dāng)k＞1時，點M 的軌跡是什么？[雙曲線（圖2）]，當(dāng)k=1時，即動點M 到定點F 的距離與M 到定直線l 的距離相等時，點M 的軌跡是什么？從而探究得出拋物線（圖3）的概念。類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，讓學(xué)生探究拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。學(xué)生建立坐標(biāo)系，探究得出（圖3），在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，選擇不同的坐標(biāo)系得到不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后學(xué)生變式探究拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的不同形式填表完成四種情形。在探究拋物線的焦點幾何性質(zhì)時，類比用方程研究橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的過程與方法，探究得出（圖3）的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率，其他情形的方程變式可得幾何性質(zhì)。這樣有效構(gòu)建圓錐曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的良好知識結(jié)構(gòu)，有利于理解掌握圓錐曲線的知識與方法。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

二、類比和變式例題、習(xí)題、高考題進(jìn)行探究，有利于運用圓錐曲線知識與方法解決問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)教材中的例題、習(xí)題蘊含著豐富的知識點、思想方法和解題技巧，有些高考數(shù)學(xué)題來源于例題、習(xí)題的改編，為此，教學(xué)中讓學(xué)生在吃透課本例題與習(xí)題的基礎(chǔ)上類比例題與習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生抓住往年典型的高考題目進(jìn)行研究，探索題目的條件及其內(nèi)在聯(lián)系，通過對橢圓的例題與習(xí)題的類比，探究解決雙曲線與拋物線的例題與習(xí)題，通過“條件變式、問題變式、條件與問題變式”等進(jìn)行探究，運用圓錐曲線知識與方法解決圓錐曲線問題，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1.類比與變式探究解決圓錐曲線的方程、軌跡、離心率問題

問題1：(習(xí)題) 如果點M( x,y)在運動過程中，總滿足關(guān)系式則點M 的軌跡是什么曲線？寫出它的方程。

啟發(fā)學(xué)生觀察等式左邊的式子聯(lián)想到兩點距離公式，根據(jù)橢圓定義得到橢圓。

在學(xué)習(xí)求雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率的解法，解決雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率問題。問題2：m ,、 n為何值時，方程表示下列曲線？（1）橢圓；（2）雙曲線。

通過變式探究解決圓錐曲線的定義與方程問題，加深理解掌握圓錐曲線的定義與方程，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

總之，研究橢圓、雙曲線、拋物線的過程和方法是一致的，可以通過巧用類比和變式探究的方法來解決圓錐曲線的問題，讓學(xué)生掌握坐標(biāo)法與數(shù)形結(jié)合，提升學(xué)生直觀想象、抽象概括、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)。