雙數態輸入型M-Z干涉儀中量子相位的最大似然估計和貝葉斯分析

李 巖, 師昳婧, 任志紅

(1．太原師范學院 物理系, 晉中030619; 2. 太原師范學院 計算物理與應用物理研究所,晉中 030619; 3. 山西師范大學 物理與信息工程學院,太原 030031)

1 引 言

基于量子力學基本原理所開展的高精度相位估計是當前國內外精密測量領域研究的重點課題[1，2]，如引力波探測[3]，重力常數測量[4]，等效性原理驗證[5]等，其不僅有利于我們對自然界物理常數的準確測定，也有助于當前量子科學技術的快速發展[6]. 在物理學中，相位可以被估計，但不能被測量，就像時間一樣，無法找到一個可觀測物理量與其相對應，所以相位估計的原理是通過對可選擇物理量的測量，結合其與相位的函數關系，獲得待測相位的相關信息，如相位平均值及方差[7].

作為相位估計的理想載體，干涉儀在科學研究的發展中起到了非常重要的作用，比如早期的邁克爾遜-莫雷干涉儀，就是通過對光在不同干涉儀臂上傳播的時間差所導致的相位差來探測以太是否存在[8]. 馬赫-曾德爾(Mach-Zehnder，M-Z)干涉儀 是另外一種常見的光學干涉儀，廣泛地應用在量子力學的基礎研究中，包括量子糾纏、量子芝諾效應等[9]. 1981年，美國科學家Calton M.Caves教授指出，將M-Z干涉儀的閑置端口輸入壓縮真空態可以有效地提高待估參數的精度，甚至超越標準量子極限[10]. 由此揭開了以量子糾纏或量子壓縮為資源的量子計量序幕[11，12]，對量子相位進行精確估計成為了精密測量研究的核心內容[13].

雙數態(twin-Fock state，tFs)是Dicke態不同分類中的一種，在精密測量方面有著不錯的表現[14]. 與最大糾纏態GHZ態相比，其具有較強的抗噪性，與其他類型的Dicke態(如W態)相比，其在高精度測量方面表現最優，故在實驗和理論上雙數態被廣泛地進行研究[15-20]. 但大部分研究是從頻率論角度出發，利用最大似然估計方法對其相位精度進行研究，較少采用貝葉斯分析開展研究.

本文將基于雙數態輸入的M-Z干涉儀，探究最大似然估計和貝葉斯分析對量子相位估計精度的影響. 通過對干涉儀輸出端粒子數差和宇稱測量的理論計算和數值模擬，發現采用貝葉斯分析結合粒子數差測量，可實現全相位空間的最優測量，即達到量子Fisher信息給出的測量精度極限，與此同時，采用貝葉斯分析所需的測量樣本數更少. 另外，我們還對宇稱測量方案進行了分析研究，通過最大似然估計方法驗證了量子相位估計精度會隨待估相位θ0的變化發生改變，與粒子數差測量結果對比，驗證了前者的優越性.

2 模型及相關概念

2.1 M-Z干涉儀及其施溫格表示

一般地，在粒子數表象中，雙數態可以表示為[20]

(1)

(2)

屬于Bell態中的一種，或稱兩比特W態. 2017年，清華大學尤力教授領導的實驗小組就利用量子相變產生了近1000個原子的雙數態糾纏，促進了量子計量學的發展[16].

圖 1 馬赫曾德爾干涉儀工作示意圖. Fig. 1 Schematic plot of Mach-Zehnder interferometer

雙數態輸入型馬赫曾德干涉儀可由上圖1表示，其中a，b端口進行雙數態(如光子)的輸入，經過分束器(紅色部分)，反射鏡，待測參數M以相位差θ0的形式編碼到量子態上，再經分束器合并，最后在輸出端c，d進行粒子數差或宇稱測量，進而獲取待測參數的相關信息.

依據角動量施溫格表象與粒子數表象的對應關系[21]，

M-Z干涉儀三部分操作過程可以表示為

(3)

(4)

可將M-Z干涉儀輸出端的雙數態表示為

(5)

2.2 量子Fisher信息

在無偏差參數估計中，Fisher信息扮演著非常重要的角色，用來給定測量精度的上限. 一般地，對于試驗獲取的條件概率p(μ|θ)，即在給定相位θ條件下對物理量M進行測量得到的概率分布，其Fisher信息可以表示為

(6)

依據統計學中的克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower bound)

(7)

可借助系統Fisher信息的計算，得到測量精度的理論極限.

(8)

2.3 最大似然估計和貝葉斯分析

最大似然估計和貝葉斯分析是參數估計中常見的兩種方法，彼此有各自的特點. 最大似然估計認為待估參數是確定的，其值可通過似然函數取極大值進行獲取. 而貝葉斯分析則認為待估參數是不確定的、隨機的，可通過后驗概率分布來進行獲取.

一般地，對于單次測量得到的條件概率p(μ|θ0)(其中θ0為待估計參數)，進行m次重復測量(作為樣本)，可得似然函數，

(9)

對其求最大值，便可得到最大似然估計值，

θMLE=arg maxp(μ1，μ2，...，μm|θ0)

(10)

將m次樣本測量作為整體進行重復n次，可得n個估計值，進而獲取其平均值〈θest〉及標準差Δθ.

貝葉斯分析則基于貝葉斯定理，從后驗概率分布的角度出發進行研究，

(11)

其中，p(θ0)為先驗概率. 通過后驗概率分布p(θ|μ1，μ2，...，μm)，可獲得待估相位θ0的估計值θest及其標準差Δθest，即

(12)

(13)

與最大似然估計方法一樣，重復n次，可得n個估計值及標準差，經過平均可得最后結果〈θest〉和〈Δθ〉.

3 理論分析與數值模擬

針對粒子數差和宇稱測量兩種方案，將首先進行進行理論計算分析；其次，通過蒙特卡洛數值模擬條件概率，獲取兩種測量方案所需的實驗數據；最后，采用最大似然估計和貝葉斯分析方法，探究相位估計精度隨實驗樣本數m的變化關系.

3.1 粒子數差測量

p(μ|θ)=|〈N/2，μ|e-iθJy|N/2，0〉|2

(14)

(15)

(16)

容易發現二者是一致的. 從理論上講，這表明粒子數差測量是最優的測量方案. 那么在實際測量中，表現如何呢？通過蒙特卡洛模擬實驗數據，我們分別采用最大似然估計和貝葉斯分析對其開展研究.

針對條件概率p(μ|θ)，進行數值模擬，獲取粒子數差(隨機變量)μ的數據，開展待估相位θ0的最大似然估計和貝葉斯分析(具體流程如2.3小節所述)，探究相位估計值θest及其精度mΔ2θ隨樣本數目m的變化關系. 對于雙數態(1)來說，由于其條件概率分布p(μ|θ)=p(-μ|θ)具有對稱性，當采用最大似然估計進行研究時，會發現無法確定真實相位θ0. 因此，在本文的研究中，我們限定了待估計θ0的變化范圍，即θ0?[0，π/2]區間，這一點在文獻[18]中也有提到.

圖 2 對待估相位θ0=0.02π分別采用最大似然估計(黑點)和貝葉斯推斷(紅點)進行分析的結果. (a)和(b)分別表示當粒子數N=8時，相位估計精度mΔ2θ和相位估計差值〈θest〉-θ0隨樣本數m的變化. (c)和(d)表示粒子數N=12的結果. 其中，(a)和(c)中的藍色直線代表量子測量極限，1/FQ. Fig. 2 Maximum likelihood estimation (black point)and Bayesian inference (red dot)of the estimated phaseθ0=0.02π. (a)and (b)represent the phase estimation precision mΔ2θ and the difference value 〈θest〉-θ0 with respect to the number of sample m in N=8 tFs，respectively. (c)and (d)represent the results of N=12 tFs. The blue lines in (a)and (c)denote quantum measurement limit，1/FQ.

如圖2所示，在N=8和N=12雙數態輸入的M-Z干涉儀中，通過粒子數差測量，對待估相位θ0=0.02π進行兩種方案下的估計研究. 針對樣本m=1，2，...，100，我們分別重復n=2000次試驗進行研究，貝葉斯分析所采用的先驗概率分布函數為0到π/2的均勻分布函數p(θ)=2/π. 研究發現，當雙數態粒子數N較小時，需要更多的樣本才能達到無偏差估計；當粒子數N較大時，所需的樣本數m變少. 此外，采用貝葉斯分析進行相位估計，達到測量精度極限所需的需樣本數m較最大似然估計更少一些. 圖3是對待估相位θ0=0.01π進行了兩種方法研究結果的對比，表明當待估相位值較大時，實現準確估計所需的樣本數m變小，兩種方法的表現近乎一致.

圖 3 對待估相位θ0=0.01π分別采用最大似然估計(黑點)和貝葉斯推斷(紅點)進行分析的結果. (a)和(b)分別表示當粒子數N=8時，相位估計精度mΔ2θ和相位估計差值〈θest〉-θ0隨樣本數m的變化. (c)和(d)表示粒子數N=12的結果. 其中，(a)和(c)中的藍色直線代表量子測量極限，1/FQ. Fig. 3 Maximum likelihood estimation (black point)and Bayesian inference (red dot)of the estimated phaseθ0=0.01π. (a)and (b)represent the phase estimation precision mΔ2θ and the difference value 〈θest〉-θ0 with respect to the number of sample m in N=8 tFs，respectively. (c)and (d)represent the results of N=12 tFs. The blue lines in (a)and (c)denote quantum measurement limit，1/FQ.

為了更為清晰地了解在整個相位空間[0，π/2]上的表現，我們對粒子數N=8，12，20的雙數態進行了分析研究，如圖4所示，這里選取樣本數m=100，重復次數n=2000. 從圖4(a)，圖4(c)和圖4(e)的對比中可以看出，當雙數態所含粒子數N較小時，貝葉斯分析(紅點)和最大似然估計(黑點)無法在整個相位區間實現最優估計(Δθmin)，特別是當待估相位θ0靠近中間區域時，兩種方法均出現了誤差. 當粒子數N較大時，貝葉斯分析在整個相位空間實現了最優相位估計，最大似然估計原則上應該也實現了最優相位估計，但由于此處樣本值m較大，最大似然函數表達式復雜，導致相位估計值及其精度不準確，這也從側面體現了貝葉斯分析的優越性.

圖4 對待估相位θ0?[0，π/2]分別采用最大似然估計(黑點)和貝葉斯估計(紅點)進行分析的結果. (a)和(b)分別表示當粒子數N=8時，相位估計精度mΔ2θ和相位估計差值〈θest〉-θ0隨樣本數m的變化. (c)和(d)表示粒子數N=12的結果. (e)和(f)表示粒子數N=20的結果. 其中，黑色的直線代表散粒噪聲極限，即1/N，紅色的直線代表量子測量極限，1/FQ.Fig. 4 Maximum likelihood estimation (black point)and Bayesian inference (red dot)of the estimated phase θ0?[0，π/2]. (a)and (b)represent the phase estimation precision mΔ2θ and the difference value 〈θest〉-θ0 with respect to the number of sample m in N=8 tFs，respectively. (c)and (d)represent the results of N=12 tFs. (e)and (f)represent the results of N=20 tFs. The black lines in (a)，(c)，(e)denote the shot noise limit，1/N. The red lines in (a)，(c)，(e)denote quantum measurement limit，1/FQ.

需要注意的一點是，當待估相位θ0非?？拷?或π/2時，如圖4(b)，圖4(d)和圖4(f)中π/2處所示，此時需要較大樣本數m，以及較大粒子數N，才可實現最優相位估計，也可通過圖2(a)和圖2(c)得到驗證.

3.2 粒子數差測量

3.2.1宇稱測量

peven(+1|θ)-podd(+1|θ)=PN/2[cos(2θ)]

(17)

此處PN/2[cos(2θ)]為勒讓德多項式，peven(+1|θ)(podd(+1|θ))代表d端口所測粒子數為偶數(奇數)的概率. 結合二者概率之和為1，即

peven(+1|θ)+podd(+1|θ)=1

(18)

可得端口d所測粒子數為奇數和偶數的概率分別為，

(19)

(20)

與粒子數差測量中計算Fisher信息的方法一致，將式(19)和式(20)代入Fisher信息公式(6)得，

(21)

下圖5給出了在理想情況下，當粒子數N=8，12時，Fisher信息及相位精度隨待估相位θ0的變化. 從圖5(a)中可以看出，當待估相位取特殊相位角θ0=0，π/2時，得到Fisher信息的最大值，即量子Fisher信息(8)，表明此時為最優相位估計. 借助CRLB(式(7))可知，隨著待估相位θ0的變化，其測量精度的理論極限會發生改變，如圖5(b)所示.

為了驗證上述理論結果，我們選取N=8和N=12的雙數態對待估相位θ0=0.05π進行研究，其Fisher信息為F8(0.05π)=35.05和F12(0.05π)=58.65. 通過蒙特卡洛模擬方法獲取實驗數據(n=10000)，采用最大似然估計方法對其進行分析，得到結果如圖6所示.

圖 5 Fisher信息(21)和相位估計精度Δθ隨待估相位θ0的變化. (a)紅色和黑色實線分別代表粒子數N=8，12時Fisher信息隨相位θ0的變化；(b)紅色和黑色實線分別代表粒子數N=8，12時測量精度Δθ隨相位θ0的變化. Fig.5 Fisher information (21)and theoretical precision Δθ with respect to the estimated phase θ0. (a)The solid red and black lines represent the Fisher information with respect to the phase θ0 of N=8，12 tFs；(b)The solid red and black lines represent the precision with respect to θ0 of N=8，12 tFs.

從圖6(a)和圖6(c)中，容易發現采用宇稱測量方案和最大似然估計方法的組合，得到的相位估計精度值(藍色點)逐漸趨近紅色實線(理論測量極限)，但無法抵達黑色實線(量子Fisher信息所給定測量極限)，即1/FQ. 圖6(b)和圖6(d)表示估計值θest與待估相位θ0=0.05π之間的差值隨樣本數m的變化，可以看出，隨著樣本數m的增加，最大似然估計為無偏差估計. 這樣，我們從數值上驗證了宇稱測量方案中相位估計精度隨待估相位值θ0變化而改變，且僅當選取最優相位θ0=0，π/2，才能達到量子Fisher信息(8)所給出的精度. 此處，由于最大似然函數在相位區間[0，π/2]上不滿足高斯分布，故經貝葉斯定理計算后所得的后驗概率分布也不是高斯分布，無法實現相位估計研究.

為了更加直觀地比較兩種測量方案(粒子數差和宇稱)對相位估計精度的影響，圖7給出了在粒子數差測量方案下，雙數態所含粒子數為N=8和N=12，待估相位為θ0=0.05π時，最大似然估計方法給出的結果.

圖7 針對粒子數差測量，對待估相位θ0=0.05π采用最大似然估計(藍點)進行分析的結果. (a)和(b)分別代表粒子數N=8時，相位估計精度mΔ2θ和相位估計差值〈θest〉-θ0隨樣本數m的變化. (c)和(d)代表粒子數N=12的結果. 其中，黑色直線代表1/FQ. Fig.7 Maximum likelihood estimation (blue point)of the estimated phase θ0=0.05π in the scheme of particle-number difference measurement. (a)and (b)represent the phase estimation precision mΔ2θ and the difference value 〈θest〉-θ0 with respect to the number of sample m in N=8 tFs，respectively. (c)and (d)represent the results of N=12 tFs. The black lines denote 1/FQ.

將其與圖6進行對比，可以看出，隨著樣本數m的增加，粒子數差測量方案達到了量子測量極限(黑色直線)，而宇稱測量方案未達到黑色直線，再次驗證了粒子數差測量方案的優越性.

4 結 論

綜上所述，本文基于雙數態輸入的馬赫曾德爾干涉儀模型，探究了在不同測量方案下，粒子數測量和宇稱測量，最大似然估計和貝葉斯分析兩種方法在量子相位估計方面的表現. 通過分析研究，得出貝葉斯分析結合粒子數測量是最優的相位估計方案，可在整個相位空間實現最優測量，達到量子Fisher信息所限定的量子測量極限. 同時，貝葉斯分析在相位估計中所需的樣本數m較最大似然估計更少一些，節省資源. 另外，當待估相位值較小時，需要選取粒子數更多的雙數態，樣本數更大的測量方案，方可實現最優測量. 在宇稱測量方案中，相位估計精度會隨待估相位的變化而發生改變，借助蒙特卡洛數值模擬我們驗證了這一點，還發現了貝葉斯分析不適合宇稱測量方案下的相位估計.

通過對兩種測量方案下特定相位的最大似然估計研究，再次驗證了粒子數差測量是最優相位測量方案. 本文的研究結果為采用雙數態進行實驗上的精密測量提供了重要的理論依據.