模糊集范疇

張德學

(四川大學 數學學院, 四川 成都 610064)

日常生活中經常會遇到一些不能準確指定元素的“類”或概念,例如“大高個”“年輕人”等,這些不能準確指定元素的類在智能科學等領域有重要的作用,如模式識別、信息交流、概念抽象等.為了從數學上處理這些不能準確指定元素的類,1965年,Zadeh[1]引入了模糊集的概念,關鍵的思想是引入一個元素隸屬于一個類的程度,這個隸屬度常常用介于0和1之間的一個實數來表示.確切地說,一個模糊集是一個序對(X,μ),其中X是集合,μ是X到閉區間[0,1]的映射.直觀上,一個模糊集(X,μ)表示X的一個不能準確指定元素的“子類”,數μ(x)表示x屬于該子類的程度,文獻中也把模糊集(X,μ)或映射μ:X→[0,1]稱為X的一個模糊子集.從數學上說,研究模糊集就是研究集合到閉區間[0,1]的映射.與其他數學分支不同的是,在模糊集理論里,閉區間[0,1]取代二值布爾代數{0,1}承擔了邏輯值域的角色,因此,模糊集理論強調閉區間[0,1]的“邏輯結構”,這些“邏輯結構”表現為[0,1]的序性質以及它上面的一些代數運算,如連續三角模、左連續三角模等[2].

1967年,Goguen[3]把模糊集的概念推廣到了邏輯值域為完備格的情形,想法很簡單,就是用一個完備格L代替閉區間[0,1].在模糊集理論中,完備格L承擔邏輯值域的角色,因此,還需要具有更多的結構,不只是一個完備格,這些結構使得L成為完備剩余格,也就是有單位元的quantale.本文只考慮邏輯值域為有單位元的交換quantale的情形,非交換的情形要復雜一點.

設Q=(Q,&,k)是一個有單位元的交換quantale.一個Q-值模糊集(簡稱模糊集)[3]指一個序對(X,α),其中X是一個集合,α:X→Q是一個映射,稱為隸屬函數(membership function).模糊集理論的一個基本問題是怎樣把模糊集組織成一個范疇,相應的范疇具有什么樣的性質?問題的核心在于怎么定義2個模糊集之間的態射,從而建立模糊集之間的聯系.這一問題對模糊集的理論和應用研究都十分重要,因此,自Zadeh引入模糊集之后,一直受到人們的關注.到目前為止,有代表性的解決方案有2個:其一是Goguen態射和相應的Goguen范疇;其二是受topos理論[4-5]影響發展起來的Q-集理論.本文簡要介紹這2個方面的研究,側重基本想法、基本概念,不十分強調結果.需要指出的是,模糊集的集論和范疇論基礎的研究還包括很多方面,文獻中也有不少很好的論述,參見文獻[6-11]等.

本文選擇介紹Goguen范疇和Q-集理論的主要原因是它們的代表性.粗略地說,Goguen范疇的出發點是把隸屬函數α:X→Q看作集X到單點集的(Q-值)模糊關系,2個模糊集之間的態射就是2個集合之間滿足一定條件的模糊關系;而在Q-集理論中,隸屬函數α:X→Q則被看作類型函數,2個模糊集之間的態射就是2個類型函數之間滿足一定條件的模糊關系.

1 預備知識

一個有單位元的交換quantale[12]指一個三元組

Q=(Q,&,k),

其中,Q是一個完備格,&是Q上一個以k為單位元的交換的半群運算,并且對任意的a∈Q和{bi}i?Q都有a&(∨ibi)=∨i(a&bi).半群運算&確定的二元運算

→:Q×Q→Q,a→c=∨{b∈Q|a&b≤c}

稱為Q的蘊涵算子.半群運算&和蘊涵算子→滿足伴隨關系:任給a,b,c∈Q,有

a&b≤c?b≤a→c.

這一伴隨關系很重要,它是有單位元的交換的quantale承擔模糊集理論的邏輯值域的根本原因,粗略解釋如下.單位元解釋為“真”,半群運算&解釋為邏輯連詞“合取”,蘊涵算子→解釋為邏輯連詞“蘊涵”,該伴隨關系說的就是合取和蘊涵可以相互確定:命題p和q能推出命題r當且僅當命題p能推出命題“q蘊涵r”.

從范疇論的角度看,一個有單位元的交換quantale就是一個對稱的幺半閉的小范疇,因此,模糊集理論和強化范疇理論有天然的聯系,這契合了Lawvere[13]倡導的從邏輯角度審視強化范疇的觀點.

例 1.1有單位元的交換quantale是大量存在的,下面列舉幾個例子:

(i) 若L是一個完備Heyting代數,則(L,∧,1)是quantale,其中1表示L的最大元.

(ii) Lawvere quantale([0,∞],+,0),注意[0,∞]上的序是通常實數大小序的反序.

(iii) ([0,1],&,1),其中&是[0,1]上的連續三角?；蜃筮B續三角模(定義參見文獻[2]).

從現在起,除非特別聲明,總是假設Q=(Q,&,k)是一個有單位元的交換的quantale.

下面介紹一些本文需要的基本概念和記號等.設X、Y是集合.

1) 任給x∈X,kx表示模糊集

kx:X→Q,k

r:X×Y→Q,

值r(x,y)解釋為x和y有關系的程度.

id

subX:QXQX,

模糊關系的復合具有以下2個性質:

1)t°(s°r)=(t°s)°r;

2)r°idX=idY°r.

(ii) 若r(x,y)=r(y,x),則稱r對稱.

(iii) 若r°r≤r,則稱r傳遞.

(i) 若r自反并且傳遞,則稱r為X的一個模糊序,序對(X,r)稱為一個模糊序集.

(ii) 若r自反、對稱并且傳遞,則稱r為X的一個模糊等價關系.

在范疇論的術語中,一個模糊序集就是一個Q上的強化范疇,簡稱Q-范疇.

例 1.4任給集合X,集QX上的模糊含于關系subX是一個模糊序.

例 1.5設Q為Lawvere quantale([0,∞],+,0),則集X上一個模糊序就是X上一個距離可取無窮的偽擬度量,一個模糊等價關系就是一個距離可取無窮的偽度量.這個例子也從側面說明,模糊序是一個自然的數學概念,是度量空間的自然推廣.

2 Goguen范疇

Goguen范疇的研究始于Goguen的系列工作[3,14-16].Goguen范疇的出發點是把模糊集(X,α)的隸屬函數看作集X到單點集＊的模糊關系

在這一視角下,2個模糊集之間的態射定義為2個集合之間滿足一定條件的模糊關系.

模糊集Goguen范疇Set(Q)是Rel(Q)的一個子范疇,為了給出明確的定義,還需要一個記號.任給集合之間的映射f:X→Y,定義模糊關系f*:XY如下:

模糊關系f*也稱為f的圖像.

定義 2.2范疇Set(Q)由以下構件組成:

對象:模糊集(X,α),(Y,β),…

態射:(X,α)到(Y,β)的一個態射是一個映射f:X→Y,滿足Goguen條件α≤β°f*.

復合:映射的復合.

Goguen條件α≤β°f*等價于任給x∈X,α(x)≤β(f(x)),這也是Goguen條件最常見的形式.滿足Goguen條件的映射也稱為Goguen映射.Goguen范疇由Goguen于20世紀60年代末提出,Goguen[3,14-16]給出了該范疇的公理刻畫,并闡述了在“軟科學”中的應用前景,這些論述是模糊集理論的重要文獻.

Goguen范疇Set(Q)的結構和性質的研究吸引了不少學者,如Pultr[17-18],Stout[19]等.特別地,2014年,Harding等[20]利用分明關系(即通常意義下的二元關系)代替映射的圖像,引入并研究了Rel(Q)的另一個子范疇,該子范疇包含Goguen范疇Set(Q)作為子范疇,其構造如下:

對象:模糊集(X,α),(Y,β),…

態射:(X,α)到(Y,β)的一個態射是一個分明關系R?X×Y,滿足(x,y)∈R?α(x)≤β(y).

復合:關系的復合.

Goguen范疇Set(Q)具有諸多良好性質,但是,當Q不是單點集時,Set(Q)不再是一個topos,該范疇中冪對象(power object)的結構和性質很復雜,因此,必然成為模糊集理論的重要課題,參見文獻[17-19,21]等.這里主要介紹Goguen范疇的協變冪集monad和雙反變冪集monad的構造,這也是關于Goguen范疇相對較新的結果.集合范疇的協變冪集monad、雙反變冪集monad、濾子monad等在代數、拓撲、序等數學分支以及理論計算機科學中都有重要的作用,參見文獻[10,22-24].可以預期,Goguen范疇的協變冪集monad和雙反變冪集monad在模糊集的代數、拓撲和序的結構的研究中也將起到重要的作用.

1974年,Goguen[16]已涉及范疇Set(Q)中冪集monad的研究,但是結果不甚理想.2012年,Eklund等[21]給出Goguen范疇的協變冪集monad,而雙反變冪集monad直到2023年才由文獻[25]給出.下面給出這2個monad的具體構造.

首先給出協變冪集monad(U,m,e)的構造.任給模糊集(X,α),令

U(X,α)=(QX,α↓),

其中

α↓(γ)=subX(γ,α).

任給Goguen映射f:(X,α)→(Y,β),容易驗證映射

Uf:(QX,α↓)→(QY,β↓),γf(γ)

滿足Goguen條件,于是得到一個函子

U:Set(Q)→Set(Q),

稱為Set(Q)的協變冪集函子.

定義自然變換m:U2→U和e:id→U如下:任給模糊集(X,α),有

m(X,α):(QQX,α↓↓)→(QX,α↓),

m

e(X,α):(X,α)→(QX,α↓),e(X,α)(x)=kx.

Eklund等[21]證明了(U,m,e)是Set(Q)的monad,是集合范疇的協變冪集monad在Set(Q)中的推廣,說明(U,m,e)的Kleisli范疇恰好是模糊集和Goguen關系構成的范疇Rel(Q).文獻[25]則說明了它的一個Eilenberg-Moore代數恰好是一個Q-值完備格的一個對上確界封閉的模糊子集.

接下來給出Goguen范疇的雙反變冪集monad(P,μ,η)的構造.任給模糊集(X,α),令

P(X,α)=(QX,α↑),

其中

α↑(γ)=subX(α,γ).

任給Goguen映射f:(X,α)→(Y,β),不難驗證

Pf:(QY,β↑)→(QX,α↑),γγ°f

滿足Goguen條件,于是得到一個反變函子

P:Set(Q)→Set(Q).

可以證明,反變函子P是它的對偶函子

P:Set(Q)→Set(Q)

的右伴.

伴隨P┤P誘導的monad(P,μ,η)就是Set(Q)的雙反變冪集monad,其具體結構如下:

1) 函子P:任給模糊集(X,α),P(X,α)=(QQX,α↑↑),其中

Λ∈QQX;

2) 單位η:任給模糊集(X,α),Goguen映射η(X,α):(X,α)→(QQX,α↑↑)定義如下:

η(X,α)(x)(γ)=γ(x),x∈X,γ∈QX;

3) 乘法μ:任給模糊集(X,α),Goguen映射μ(X,α):P2(X,α)→P(X,α)定義如下:

μ

H:QQQX→Q,γ∈QX,

其中

下面的定理表明Set(Q)的雙反變冪集monad的Eilenberg-Moore代數范疇對偶等價于Set(Q),因此,雖然不再是topos,Goguen范疇也是它自身上的對偶monadic范疇,這是Goguen范疇Set(Q)的一個重要性質.

定理 2.3[25]函子P:Set(Q)→Set(Q)是monadic函子.

借助Set(Q)的雙反變冪集monad,可以構造Set(Q)的濾子monad等其他一些monad[25].這些monad不僅有助于理解Goguen范疇中冪對象的結構和性質,它們在模糊集的代數、拓撲等數學結構的研究中也有重要的作用[21,26].

問題 2.4Goguen范疇Set(Q)的雙反變冪集monad的Eilenberg-Moore代數范疇對偶等價于Set(Q),一個自然的問題是,它的濾子monad的Eilenberg-Moore代數是什么?

問題 2.5文獻[25]說明了Goguen范疇Set(Q)的協變冪集monad的一個Eilenberg-Moore代數恰好是一個Q-值完備格的一個對上確界封閉的模糊子集.如果把這些代數看作范疇Set(Q)中的“完備格”,那么該范疇中的“偏序集”是什么?

3 Q-集范疇

和Goguen范疇中把隸屬函數看作一個集合到單點集的模糊關系不同,Q-集理論的出發點是把隸屬函數看作一個類型函數α:X→Q,值α(x)解釋為x的類型,在此基礎上探討模糊集的范疇性質.一個簡單的辦法是把模糊集范疇定義為切片范疇Set↓Q:

對象:模糊集(X,α),(Y,β),…

態射:(X,α)到(Y,β)的一個態射是一個映射f:X→Y,滿足α=β°f.

復合:映射的復合.

怎樣把Q的邏輯結構利用起來呢?這是模糊集理論研究中的一個基本問題,也是模糊集理論區別于其他數學分支的地方.Q-集范疇就是借助Quantaloid-強化范疇理論,充分利用Q的邏輯結構得到的一個范疇,引入這一范疇的動機和方法都根植于Ω-集理論[4,27].為了理解這一辦法,回顧一個簡單的事實:集合之間的映射可以描述為滿足一定條件的關系.具體說來,若R?X×Y是X到Y的一個關系,則下列兩條等價:

1) 存在映射f:X→Y使得R是f的圖像,即R={(x,f(x))|x∈X}.

2) 存在Y到X的關系S?Y×X滿足idX?S°R,R°S?idY.

定義 3.1模糊集(X,α)到(Y,β)的模糊關系φ:(X,α)→°(Y,β)指映射φ:X×Y→Q,滿足

φ(x,y)≤α(x)∧β(y), ?(x,y)∈X×Y.

模糊集(X,α)上的恒等模糊關系指映射

id

至此,問題轉化為怎樣復合模糊集之間的模糊關系,使得模糊集上的恒等模糊關系成為單位元,并在此基礎上探討可視為“映射”的模糊關系.1981年,Eytan[28]就邏輯值域為完備Heyting代數的情形率先做了嘗試.

設Ω=(Ω,∧,1)是一個完備Heyting代數.Eytan把φ:(X,α)→°(Y,β)和ψ:(Y,β)→°(Z,γ)的復合定義為

ψ°φ:(X,α)→°(Z,γ),

(x,z)

(2)

由于(Ω,∧,1)是完備Heyting代數,容易驗證模糊集上的恒等模糊關系是該運算的單位元.

定義 3.2[28]設Ω=(Ω,∧,1)為完備Heyting代數.模糊集(X,α)到模糊集(Y,β)的一個Eytan型態射定義為一個序對(φ,ψ),滿足以下條件:

(i)φ:(X,α)→°(Y,β)是一個模糊關系;

(ii)ψ:(Y,β)→°(X,α)是一個模糊關系;

Eytan[28]斷言范疇Fuzz(Ω)是一個topos.遺憾的是,Pitts[29]說明了這不對,該范疇其實是文獻[4,27]中由Ω-集構成的topos的一個子范疇.

定義 3.3設Ω=(Ω,∧,1)為完備Heyting代數.一個Ω-集是一個序對(X,E),其中,X是一個集合,E:X×X→Ω是一個映射,滿足:

(i)E(x,y)=E(y,x)(對稱性);

(ii)E(y,z)∧E(x,y)≤E(x,z)(傳遞性).

給定一個Ω-集(X,E),令e(x)=E(x,x),由于E(x,y)≤E(x,x)∧E(y,y),于是E:X×X→Ω是模糊集(X,e)到它自身的一個對稱、傳遞、自反(e(x)≤E(x,x))的模糊關系.從模糊集理論的角度看,一個Ω-集就是帶有一個模糊等價關系的模糊集.

定義 3.4設(X,EX)、(Y,EY)是Ω-集.(X,EX)到(Y,EY)的一個態射是一個序對(φ,ψ),滿足條件:

(i)φ:(X,eX)→°(Y,eY)是一個模糊關系;

(ii)ψ:(Y,eY)→°(X,eX)是一個模糊關系;

(iii)EY°φ°EX≤φ,EX°ψ°EY≤ψ;

(iv)EX≤ψ°φ,φ°ψ≤EY.

Ω-集和它們之間的態射構成一個范疇Ω-Set,稱為Ω-集范疇.

范疇Ω-Set等價于完備Heyting代數Ω上的層構成的范疇[4],因此,范疇等價于一個topos,具有很好的范疇論性質.由于層論和topos理論的巨大成功,自20世紀80年代起,不斷有學者嘗試把Ω-集理論推廣到邏輯值域更為一般的情形.這一過程遇到了很多困難,其中之一是由(2)式定義的模糊集之間模糊關系的復合僅當邏輯值域是完備Heyting代數時有效,如果嘗試把其中的取小運算∧替換為quantale的半群運算&,模糊集上的恒等模糊關系不再是復合運算的單位元.人們嘗試通過限制quantale或重新定義模糊集之間模糊關系的復合運算來解決問題,參見文獻[30-31]以及H?hle的系列工作[8,32-34],一個重要進展出現在文獻[35-36]中,這2篇文獻都從強化范疇的角度探討模糊集的范疇論性質,這一視角導致了Q-集范疇的概念.

為了方便,同文獻[36]一樣,僅討論邏輯值域Q是可除的、交換的、有單位元的quantale的情形.

定義 3.5[37]設Q=(Q,&,k)是一個交換的有單位元的quantale.稱Q可除,若任給a,b∈Q,只要a≤b,則存在c∈Q滿足a=b&c.

若Q=(Q,&,k)可除,則單位元k一定是Q的最大元1.事實上,因為Q可除,存在w∈Q,k=1&w,于是1=k&1=w&1&1≤w&1=k.

引理 3.6[36-37]設Q=(Q,&,k)是一個交換的有單位元的quantale.下列等價:

1)Q可除;

2) ?x,y∈Q,x≤y?x=y&(y→x);

3) ?x,y,z∈Q,x,z≤y?z&(y→x)=x&(y→z);

4) ?x,y∈Q,x∧y=x&(x→y).

例 3.7(i) 每個完備Heyting代數可除;

(ii) Lawvere quantale([0,∞],+,0)可除;

(iii) 若&是[0,1]上的左連續三角模,則([0,1],&,1)可除當且僅當&是連續三角模.

本節余下部分始終假設Q=(Q,&,k)是一個可除的、交換的、有單位元的quantale.

設φ:(X,α)→°(Y,β)和ψ:(Y,β)→°(Z,γ)是模糊集之間的模糊關系,按以下方式定義復合ψ°φ:(X,α)→°(Z,γ):

?(x,z)∈X×Z,

不難驗證,若Q是完備Heyting代數,則由(3)式定義的復合與由(2)式定義的復合是一樣的,但是,若Q不是完備Heyting代數,它們則不一樣.

設φ:(X,α)→°(X,α)為模糊集(X,α)上的一個模糊關系.若id(X,α)≤φ,則稱φ自反;若φ(x,y)=φ(y,x),則稱φ對稱;若φ°φ≤φ,則稱φ傳遞.

定義 3.8Q-集是一個序對((X,α),E),其中(X,α)是一個模糊集,E:(X,α)→°(X,α)是一個模糊等價關系,即一個自反、對稱、傳遞的模糊關系.

Q-集是Ω-集的推廣,一個Q-集是一個帶有模糊等價關系的模糊集.由自反性得α(x)=E(x,x),于是一個Q-集可描述為一個序對(X,E),其中X是一個集合,E:X×X→Q是一個映射,滿足條件:

(i)E(x,y)≤E(x,x)∧E(y,y);

(ii)E(x,y)=E(y,x);

例 3.91994年,Matthews[38]引入的偏度量空間是Q-集的一個重要例子.令Q表示Lawvere quantale([0,∞],+,0),則一個Q-集就是一個偏度量空間.具體說來,一個偏度量空間是一個序對(X,p),其中X是一個集合,p:X×X→[0,∞]是一個映射,滿足

(ii)p(x,y)=p(y,x);

(iii)p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z)-p(y,y).

文獻[38]還要求偏度量滿足分離性條件:

p(x,y)=p(x,x)=p(y,y)?x=y.

定義 3.10設((X,α),E)和((Y,β),D)是Q-集.從((X,α),E)到((Y,β),D)的一個態射定義為一個序對(φ,ψ),滿足下列要求:

(i)φ:(X,α)→°(Y,β)是一個模糊關系;

(ii)ψ:(Y,β)→°(X,α)是一個模糊關系;

(iii)D°φ°E≤φ,E°ψ°D≤ψ;

(iv)E≤ψ°φ,φ°ψ≤D.

Q-集和它們之間的態射構成的范疇稱為Q-集范疇.

下面說明Q-集是一種強化范疇,這也從側面反映了Q-集是一個自然的數學概念.與此相關的數學理論是Quantaloid-強化范疇理論,關于這一理論可參考文獻[39-42],這里僅列出幾個基本概念.

quantaloidQ是一個滿足以下2個條件的范疇:

1) 任給2個對象X、Y,態射集Q(X,Y)是一個完備格;

2) 態射復合關于每個變元保并,即

只有一個對象的quantaloid就是一個(未必交換的)quantale.定義2.1中的由模糊集和Goguen關系構成的范疇Rel(Q)是一個quantaloid,而它的子范疇Set(Q)則不是.

定義 3.11設Q是一個quantaloid,其對象類記為Q0.一個(小的)Q-范疇A由以下構件組成:

1) 一個集合A0,它的元素是Q-范疇A的對象;

2) 一個類型函數t:A0→Q0,t為每個對象指定一個類型,而一個類型就是Q的一個對象;

3) 為每個序對(x,y)∈A0×A0指定一個元素A(x,y)∈Q(tx,ty),解釋為x到y的“態射集”.

這些構件滿足:對任意的x,y,z∈A0都有

1tx≤A(x,x),A(y,z)°A(x,y)≤A(x,z).

設A、B是Q-范疇.一個Q-分配子(Q-distributor)φ:A→°B為每個序對(x,y)∈A0×B0指定一個元素φ(x,y)∈Q(tx,ty),滿足

B(y,y′)°φ(x,y)°A(x′,x)≤φ(x′,y′).

若φ:A→°B和ψ:B→°C都是Q-分配子,則

ψ°φ:A→°C,

也是Q-分配子,稱為φ和ψ的復合.

當Q的對象類Q0是一個集合時,一個Q-范疇就是切片范疇Set↓Q0的一個對象,賦予適當的結構.下面說明Q-集是一種特殊quantaloid-強化范疇.

設Q=(Q,&,k)是可除的、交換的、有單位元的quantale.利用Q構造quantaloidD(Q)如下[35-36]:

對象:Q的元素x,y,z,…

態射集:D(Q)(x,y)={a∈Q|a≤x∧y};

復合:任給a∈D(Q)(x,y)和b∈D(Q)(y,z),b°a=b&(y→a)=a&(y→b);

單位元:D(Q)(x,x)的單位元是x;

序:態射集D(Q)(x,y)繼承Q的序.

Stubbe[40]闡釋了D(Q)的范疇論意義,D(Q)是Q的對角線范疇.當Q是完備Heyting代數時,該構造最早出現于文獻[43].

利用一個可除的quantaleQ構造的quantaloidD(Q)具有一些特別的結構.提醒讀者注意,任給x,y∈Q,雖然態射集D(Q)(x,y)和D(Q)(y,x)作為Q的子集是同一個集合,但是,它們的意義是不一樣的,D(Q)(x,y)中的一個元素表示x到y的一個態射,而D(Q)(y,x)中的一個元素則表示y到x的一個態射.任給x,y∈Q,考慮映射

(-)°:D(Q)(x,y)→D(Q)(y,x),a°=a,

則(D(Q),(-)°)是文獻[39]定義2.5.1意義下的對合quantaloid,(-)°稱為它的對合運算.

借助D(Q)的對合運算(-)°,可以描述D(Q)-范疇的“對稱性”:稱D(Q)-范疇A對稱,若任給2個對象x、y,始終有A(x,y)=A(y,x)°.

于是,一個Q-集就是一個對稱的D(Q)-范疇.Q-集范疇為模糊集的研究提供了一個良好的框架,但是關于這一范疇我們知之甚少,它的很多性質都有待探索.

問題 3.12設Q=(Q,&,k)是一個可除的、交換的、有單位元的quantale.

1) 若Q-集范疇等價于一個topos,Q是否一定是完備Heyting代數?

2)Q-集范疇是否是它自身的對偶monadic范疇?

致謝王學平教授在寫作過程中給予的建議和幫助,謹致謝意.