Banach空間中一類微分逆變分不等式解的存在性、唯一性及穩定性

譚惠心, 徐 可, 朱新月, 李 為, 馮 俊

(成都理工大學 數理學院, 四川 成都 610059)

近年來,由于變分不等式和相關的最優控制問題在經濟學、工程運籌學等多個學科中有廣泛的應用,吸引了大量學者進行了廣泛而深入地研究(參見文獻[1-4]).微分變分不等式是由一個具有代數變量的參數化微分方程構成,其中代數變量為一個包含狀態變量的變分不等式系統的解.微分變分不等式是研究微分系統和不等式約束模型的強有力工具,是一類新穎的數學交叉問題.

2008年,Pang等[5]首次系統地研究了有限維空間中的微分變分不等式,考慮了它的Carathéodory弱解,并為微分變分不等式的初值問題建立了歐拉時間步長的迭代算法.Li等[6]研究了在有限維空間中微分混合變分不等式解的存在性,推廣了文獻[5]中相應的結論.2013年,Chen等[7]給出了正則時步法求解微分變分不等式.此后,大量的學者研究了有限維空間上的微分變分不等式問題,在強制性或單調性假設條件下獲得了該類問題解的存在性和唯一性結果(參見文獻[8-10]).2016年,Liu等[11]首次在實自反Banach空間中研究了一類偏微分變分不等式解的存在性,并利用算子半群和微分包含知識證明了偏微分變分不等式mild解的存在性.另外,文獻[12]證明了實Banach空間上一類微分變分不等式解集的非空閉凸性、疊加可測性與上半連續性,更進一步,證明該變分不等式驅動的演化方程解集的非空緊性.

另一方面,穩定性分析也是微分優化領域研究的熱點問題.Wang等[13]在有限維空間中研究了當混合變分不等式的映射和約束集都受到擾動時,微分混合變分不等式的Carathéodory弱解集映射的上半連續性和連續性.Gwinner[14]考慮了在Hilbert空間上微分變分不等式和投影動態系統之間的關系,研究了slow解集的穩定性.另外,眾多學者利用集值分析和算子半群等工具針對Banach空間研究了一類微分變分不等式問題解的穩定性[15-17].

逆變分不等式在經濟、交通、管理等領域有著廣泛應用[18-19].但是,對于微分逆變分的研究工作還很少,關于Banach空間中微分逆變分不等式相關的研究還未完全展開.因此,本文在實自反Banach空間中研究一類微分逆變分不等式解集的存在性、唯一性及穩定性.

記E是實自反Banach空間,E*是其伴隨空間,〈·,·〉與‖·‖E分別表示E上的內積與范數,E1是實Banach空間,‖·‖E1表示E1上的范數.C([0,T];E1)是從區間[0,T]到E1的全體實值連續函數構成的Banach空間,L([0,T];E)是從區間[0,T]到E的全體Lebesgue可積函數構成的Banach空間,P(Y)表示拓撲空間Y的所有非空子集.

本文研究一類Banach空間中的微分逆變分不等式(簡記為DIVI):尋找函數x:[0,T]→E1與u:[0,T]→E滿足

(1)

g(t,x(t),u(t))∈K,

〈v-g(t,x(t),u(t)),u(t)〉≥0,

?v∈K,

(2)

其中K是E*的一個子集.

然后,在此基礎上進一步分析當映射受參數擾動時微分逆變分不等式(簡記為PDIVI)穩定性問題,借助Gronwall不等式與Lebesgue控制收斂定理給出解(x,u)關于參數w的連續性,解決DIVI在映射g(t,x,u)受到擾動時的穩定性.

1 預備知識

引理 1.1[20]設集合D是Banach空間E的一個非空子集,集值映射N:D→P(E)滿足條件:

1)N是一個KKM映射,即對于任何{u1,u2,…,uk}?D,均有

co{u1,u2,…,u

2) 對于每個v∈D,N(v)均為E的閉子集;

3) 存在一個v0∈D使得N(v0)是一個緊集.

那么∩v∈DN(v)≠?.

定義 1.1[5,21-22]單值映射Q:E→E*在其定義域D上滿足

〈Q(v)-Q(u),v-u〉≥0, ?v,u∈D,

則稱Q為單調映射.若還對任何v,u∈D,可以通過〈Q(v)-Q(u),v-u〉=0推出Q(v)=Q(u),那么則稱Q是單調plus映射.

引理 1.2[23]若映射F:[0,T]×E1→E1關于第一變元是連續的,且關于第二變元是Lipschitz連續的,即存在Lf使得對任意的t及x1與x2成立

‖F(t,x1)-F(t,x2)‖E1≤Lf‖x1-x2‖E1,

那么對于半線性初值問題

存在唯一的mild解,這里A是Banach空間E1中的一個C0半群的無窮小生成元.

為了證明IVI解的存在性,本文將Tanaka[24]的自然擬K-凸的定義推廣到Banach空間中.

定義 1.2設K是E*的一個非空閉凸子集,f為從E到E*的映射.如果對任意的λ∈[0,1]及x1,x2∈f-1(K)均存在μ∈[0,1]使得

μf(x1)+(1-μ)f(x2)-

f(λx1+(1-λ)x2)∈K,

(3)

則稱映射f在f-1(K)上自然擬K-凸,其中,f-1(K)={x∈E:f(x)∈K}.

仿照文獻[11,25]中偏微分變分不等式和偏微分半變分不等式mild解的定義,給出DIVI問題mild解的定義如下:

定義 1.3稱函數對

(x(t),u(t)):[0,T]×[0,T]→E1×E

為DIVI的mild解,當且僅當(x(t),u(t))∈C([0,T];E1)×L([0,T];E),并滿足

2 主要結果

本節將給出問題DIVI解的存在性及唯一性.為了敘述方便,現對于任意的(t,x)∈[0,T]×E1,規定K在映射g(t,x,·)下的原象為

g-1(t,x,K)={y∈E:g(t,x,y)∈K}.

下給出一些將會用到的條件:

H(g)g:[0,T]×E1×E→E*是一個單值映射滿足:

(i) 對于任意的(t,x)∈[0,T]×E1,g(t,x,E)的任意閉子集K,g在原象g-1(t,x,K)上連續.

(ii) 對于任意的(t,x)∈[0,T]×E1,g(t,x,E)的任意閉子集K,g在原象g-1(t,x,K)上自然擬K-凸.

(iii) 對于任意的(t,x)∈[0,T]×E1,g(t,x,E)的任意閉子集K,成立

〈v,w〉≥0, ?v∈K,w∈g-1(t,x,K).

(iv) 對于任意的(t,x)∈[0,T]×E1,g(t,x,E)的任意閉子集K,g在原象g-1(t,x,K)上是單調plus映射.

(v) [0,T]×E1(t,x)→g(t,x,u)對所有的u∈E,均是Lipschitz連續的.即對任意的t1,t2∈[0,T]和x1,x2∈E1,存在Lg>0,使得下式成立:

‖g(t1,x1,u)-g(t2,x2,u)‖E*≤

Lg(|t1-t2|+‖x1-x2‖E1).

(vi) 存在常數mg>0使得對所有的t∈[0,T],x∈E1和?u1,u2∈E成立

〈g(t,x,u1)-g(t,x,u2),u1-u2〉≥

m

H(f) 連續映射f:[0,T]×E1×E→E1對于所有的t∈[0,T],f均是Lipschitz連續的,即存在常數ψf>0,對任意的(t,x1,u1)與(t,x2,u2)∈[0,T]×E1×E有

‖f(t,x1,u1)-f(t,x2,u2)‖E1≤

ψf(‖x1-x2‖E1+‖u1-u2‖E).

引理 2.1設E是自反Banach空間,E*是E的對偶空間,g:[0,T]×E1×E→E*是單值映射,對任意(t,x)∈[0,T]×E1,集合K?g(t,x,E)是閉集.若映射g滿足假設H(g)(i)～(iii),則對任意(t,x)∈[0,T]×E1,集合Sol(K,g(t,x,·))非空.

證明任取(t,x)∈[0,T]×E1.由于K是閉集且映射g(t,x,u)是連續的,則D=g-1(t,x,K)是閉集.(2)式意味著尋找u∈D滿足

〈g(t,x,v)-g(t,x,u),u〉≥0,v∈D.

(4)

現為每一個v∈D定義集值映射

N(v)={u∈D:g(t,x,u)∈K,

〈g(t,x,v)-g(t,x,u),u〉≥0}.

將u=v代入(4)式中左式有

〈g(t,x,v)-g(t,x,v),v〉=0,

即v滿足條件(4).另外,g(t,x,v)∈K,故v∈N(v).即對每一個v∈D,N(v)是非空的.

〈g(t,x,v)-g(t,x,un),un〉≥0.

(5)

〈g(t,x,v)-g(t,x,u0),u0〉≥0.

故u0∈N(v),從而N(v)為非空閉集合.

為了證明映射N:D→P(D)是一個KKM映射,采用反證法,假設存在{z1,z2,…,zk}?D和z∈co({z1,z2,…,zk})滿足z?N(zi)(i=1,2,…,k),即

〈g(t,x,zi)-g(t,x,z),z〉<0,

i=1,2,…,k.

(6)

(7)

根據定理條件有

(8)

再據(6)式得到

這與(8)式矛盾.由反證法,映射N為KKM映射.

注意到定理2.1雖然表明IVI的解集Sol(K,g(t,x,·))是非空的,但此時每一個解u∈Sol(K,g(t,x,·))不具備任何分析性質,僅為一種對應關系.但是,研究其解本身的分析性質是十分有必要的,于是給出了引理2.2.

引理 2.2若映射g滿足假設條件H(g)(i)～(iii),(v)～(vi),那么對于任意的(t,x)∈[0,T]×C([0,T];E1),任意的u(t)∈Sol(K,g(t,x(t),·))均是關于t的連續函數.

證明根據引理2.1,變分不等式IVI的解集Sol(K,g(t,x(t),·))是非空集合.任取u(ti)∈Sol(K,g(ti,x(ti),·)),ti∈[0,T],i=1,2,則

g(t1,x(t1),u(t1))∈K,

〈v-g(t1,x(t1),u(t1)),u(t1)〉≥0,

?v∈K,

(9)

g(t2,x(t2),u(t2))∈K,

〈v-g(t2,x(t2),u(t2)),u(t2)〉≥0,

?v∈K.

(10)

在(9)式中令v=g(t2,x(t2),u(t2)),(10)式中令v=g(t1,x(t1),u(t1)),有

〈g(t2,x(t2),u(t1))-g(t2,x(t2),u(t2)),

u(t1)-u(t2)〉≤

〈g(t2,x(t2),u(t1))-g(t1,x(t1),u(t1)),

u(t1)-u(t2)〉.

(11)

根據假設條件H(g)(vi)成立

m

〈g(t2,x(t2),u(t1))-g(t2,x(t2),u(t2)),

u(t1)-u(t2)〉≤

〈g(t2,x(t2),u(t1))-g(t1,x(t1),u(t1)),

u(t1)-u(t2)〉≤

Lg(|t1-t2|+‖x(t1)-x(t2)‖E1)×

‖u(t1)-u(t2)‖E.

也就是說

‖u(t1)-u(t2)‖

‖x(t1)-x(t2)‖E1),

則u:[0,T]→E的連續性依賴于x(t)的連續性.完成定理的證明.

引理 2.3映射g滿足假設條件H(g)(i)～(iv),那么IVI的解是唯一的.

證明任取(t,x)∈[0,T]×E1,根據引理2.1可以得到解集Sol(K,g(t,x,·))是非空集合.假設u1,u2∈Sol(K,g(t,x,·)),即

g(t,x,u1)∈K,

〈v-g(t,x,u1),u1〉≥0, ?v∈K,

(12)

g(t,x,u2)∈K,

〈v-g(t,x,u2),u2〉≥0, ?v∈K.

(13)

分別在(12)式中令v=g(t,x,u2),在(13)式中令v=g(t,x,u1)得到

〈g(t,x,u2)-g(t,x,u1),u1〉≥0,

〈g(t,x,u1)-g(t,x,u2),u2〉≥0.

(14)

根據(14)式,可以得到

〈g(t,x,u1)-g(t,x,u2),u1-u2〉≤0.

又因為g(t,x,·)是單調plus映射,故u1=u2.因此逆變分不等式的解是唯一的.

引理 2.4若映射g滿足假設條件H(g)(i)～(vi),那么對于任意的(t,x)∈[0,T]×C([0,T];E1),集合Sol(K,g(t,x(t),·))中存在唯一的u∈C([0,T];E).

證明根據條件H(g)(i)～(iii),(v)～(vi),利用引理2.2可知集合Sol(K,g(t,x(t),·))中存在u∈C([0,T];E).由條件H(g)(v)蘊含條件H(g)(i),根據引理2.3可知集合Sol(K,g(t,x(t),·))是單點集,故Sol(K,g(t,x(t),·))中存在唯一的u∈C([0,T];E).

定理 2.1對于任意的(t,x)∈[0,T]×E1,映射g滿足假設條件H(g)(i)～(vi),映射f:[0,T]×E1×E→E1滿足假設條件H(f),那么DIVI有且僅有一解(x,u)∈C([0,T];E1)×C([0,T];E).

證明對任意固定的t∈[0,T]和任意的x1,x2∈E1,令u1∈Sol(K,g(t,x1,·),u2∈Sol(K,g(t,x2,·),即成立

g(t,x1,u1)∈K, 〈v-g(t,x1,u1),u1〉≥0,

?v∈K,

(15)

g(t,x2,u2)∈K, 〈v-g(t,x2,u2),u2〉≥0,

?v∈K.

(16)

在(15)式中令v=g(t,x2,u2),(16)式中令v=g(t,x1,u1)可以得到

〈g(t,x1,u1)-g(t,x1,u2),u1-u2〉≤

〈g(t,x2,u2)-g(t,x1,u2),u1-u2〉.

根據假設條件H(g)(vi)有

m

〈g(t,x1,u1)-g(t,x1,u2),u1-u2〉≤

〈g(t,x2,u2)-g(t,x1,u2),u1-u2〉≤

‖g(t,x2,u2)-g(t,x1,u2)‖E*‖u1-u2‖E≤

Lg‖x1-x2‖E1‖u1-u2‖E.

從而

‖u1-u2‖

(17)

記映射F(t,x)=f(t,x,u(t,x)),根據假設,對[0,T]×E1×E中任意的(t,x1)與(t,x2),令u1=u(t,x1),u2=u(t,x2),則滿足

‖F(t,x1)-F(t,x2)‖E1=

‖f(t,x1,u1)-f(t,x2,u2)‖E1≤

ψf(‖x1-x2‖E1+‖u1-u2‖E),

利用(17)式化簡

‖F(t,x1)-F(t,x2)‖E1≤

ψf(‖x1-x2‖E1+φf‖x1-x2‖E1)=

ψf(1+φf)‖x1-x2‖E1.

取Lf=ψf(1+φf)得到

‖F(t,x1)-F(t,x2)‖E1≤

Lf‖x1-x2‖E1,

(18)

即F(t,x)關于x是Lipschitz連續的.

另一方面因為u(t,x)關于變元t是連續性的,又根據f(t,x,u)關于變元t與u的連續性,所以映射F(t,x)也是關于第一變元t的連續函數.此時,微分逆變分不等式問題可寫為初值問題

根據半線性初值問題解的唯一性引理2.2可知,該初值問題有唯一的mild解x(t)∈C([0,T];E1).由引理2.4知微分逆變分不等式DIVI有唯一連續解(x(t),u(t))∈C([0,T];E1)×C([0,T];E).

映射受參數擾動時微分逆變分不等式問題(PDIVI)表述為

(19)

其中,G:[0,T]×E1×E×W→E*為帶參數擾動w∈W的單值映射,Sol(K,G(t,x,·,w))等記號含義與DIVI一致.另外,這里給出將會用到的條件

H(G) 對任意(t,x,u)∈[0,T]×E1×E,G(t,x,u,·):W→E*是連續的.

定理 2.2在滿足假設條件H(f)下,W是一個度量空間,對每一個固定的w∈W,單值映射g(t,x,u)=G(t,x,u,w):[0,T]×E1×E→E*滿足條件H(g)(i)～(vi),且G還滿足條件H(G),那么PDIVI的解集(x,u)關于w是連續的.

證明根據定理2.1可知:對于任意的w∈W,PDIVI存在解(x,u)∈C([0,T];E1)×C([0,T];E).現記映射S(w)=Sol(K,G(t,x,u,w)).假設(xn,un)=S(wn),那么xn∈C([0,T];E1),un∈C([0,T];E)使得

xn(t)=e

?t∈[0,T].

(20)

在W中令wn→w0,記(xn,un)=S(wn).以下將證明(xn,un)是收斂的.不失一般性,考慮xk(t)和xm(t),這里k>m,則分別滿足

xk(t)=e

xm(t)=e

兩式相減,并利用條件H(f)和(17)式

‖xk(t)-xm(t)‖E1=

um(s)))ds‖≤

um(s))‖E1ds≤

‖xk(s)-xm(s)‖E1ds.

應用Gronwall不等式得到

‖xk(t)-xm(t)‖E1≤

(21)

可見序列xn(t)是Banach空間中的Cauchy列,故為收斂列,記xn(t)→x0(t).另一方面,由(17)式也可得序列un(t)亦收斂.類似地,記un(t)→u0(t).

接下來將證明(x0,u0)=S(w0).由定理2.1可知f(t,xn(t),un(t))→f(t,x0(t),u0(t)).更進一步,由定理2.1的證明過程可知在鄰域U(x0(t))中f(t,x(t),u(t))關于x是Lipschitz連續的,從而是有界的.根據Lebesgue控制收斂定理可知

xn(t)=e

x0(t)=e

另一方面,從(xn,un)=S(wn)可知

〈v-G(t,xn(t),un(t),wn),un(t)〉≥0,

令n→∞有

〈v-G(t,x0(t),u0(t),w0),u0(t)〉≥0,

從而(x0,u0)=S(w0).

綜上所述,PDIVI的解集(x,u)=S(w)關于w是連續的.

3 數值計算

本節主要舉出一個簡單的數值例子,用來輔助驗證前文得到連續性及穩定性結論.

現考慮一維情形下的一個數值例子,取函數

Ax=x,

f(t,x,u)=tx2u2-1,

g(t,x,u)=t(cos(0.5x)-1)+u,

區間[0,T]=[0,4],R1的閉子集K=[0,5].以下驗證該例滿足定理2.5的條件.

由于t∈[0,4]和cos(0.5x)∈[-1,1],故對于任意的(t,x)∈[0,4]×R1,有g-1(t,x,K)=[0,13].對于任意的(t,x)∈[0,4]×R1和λ∈[0,1],考慮μ∈[0,1],使得

μg(t,x,u1)+(1-μ)g(t,x,u2)-

g(t,x,λu1+(1-λ)u2)=

μ(t(cos(0.5x)-1)+u1)+

(1-μ)(t(cos(0.5x)-1)+u2)-

(t(cos(0.5x)-1)+λu1+(1-λ)u2)=

t(cos(0.5x)-1)+μu1+(1-μ)u2-

t(cos(0.5x)-1)-(λu1+(1-λ)u2)=

(μ-λ)(u1-u2).

只需取μ=λ即可使得

μg(t,x,u1)+(1-μ)g(t,x,u2)-

g(t,x,λu1+(1-λ)u2)=

0∈[0,5]=K.

故條件H(g)(ii)滿足.另外

〈v,w〉≥0, ?v∈K,w∈g-1(t,x,K).

即條件H(g)(iii)成立.

任取u,v∈g-1(t,x,K)=[0,13],對任意的(t,x)∈[0,4]×R1,有

〈g(t,x,v)-g(t,x,u),v-u〉=

〈(t(cos(0.5x)-1)+v)-

(t(cos(0.5x)-1)+u),v-u〉=

(22)

第1步 離散區間[0,4],

th,0=0

0.002<…

〈v-(th,0(cos(0.5xh,0)-1)+uh,1),uh,1〉≥0,

th,0(cos(0.5xh,0)-1)+uh,1∈K.

第3步 對于循環因子i=0,1,…,4 999,先計算

xh,i+1=xh,i+h(xh,i,+th,i(xh,i)2(uh,i+1)2-1).

再計算uh,i+2滿足不等式和條件

〈v-(th,i+1(cos(0.5xh,i+1)-1)+uh,i+2),

uh,i+2〉≥0,

th,i+1(cos(0.5xh,i+1)-1)+uh,i+2∈K.

根據上述算法,利用Mathematica軟件編程實現,得到數值結果如圖1與圖2所示.

圖 1 u(t)的圖像

圖 2 x(t)的圖像

下一步,考慮映射g(t,x,u)受參數w∈W=(0,1]的擾動

G(t,x,u,w)=g(t,x,u)e3w+2+ln(w).

可見當參數w取定時,G(t,x,u,w)可以看作對g(t,x,u)再做一次仿射變換,且其中關于變元g(t,x,u)的一次項系數e3w+2>0,常數項ln(w)≤0,故只需驗證條件H(g)(ii)與條件H(g)(iii)即可.

同理于g-1(t,x,K),可以得到

G-1(t,x,K,w)=

[-e-(3w+2)ln(w),(5-ln(w))e-(3w+2)+8].

由于w∈(0,1],進而G-1(t,x,K,W)=[0,+∞).對于任意的(t,x)∈[0,4]×R1和λ∈[0,1],欲選取μ∈[0,1]滿足

μG(t,x,u1,w)+(1-μ)G(t,x,u2,w)-

G(t,x,λu1+(1-λ)u2,w)=

μ(g(t,x,u1)e3w+2+ln(w))+

1-μ)(g(t,x,u2)e3w+2+ln(w))-

(g(t,x,λu1+(1-λ)u2)e3w+2+ln(w))=

(μ-λ)(u1-u2)e3w+2.

可選取μ=λ,即滿足條件H(g)(ii).同時

〈v,w〉≥0, ?v∈K,w∈g-1(t,x,K),

即條件H(g)(iii)成立.進而滿足定理2.6的條件.

分別選取參數w=0.1,0.2,…,1.0,繪制的到其圖像如圖3與圖4所示.

4 結論

圖 3 不同參數下u(t)的圖像

圖 4 不同參數下x(t)的圖像