一類(lèi)完全非線性四階微分方程正周期解的存在性

王曉萍, 韓曉玲

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

u(4)(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t))

正周期解的存在性,其中,a(t)∈C([0,ω],(0,+∞)),f∈C([0,ω]×[0,+∞)×R3,[0,+∞)).在允許非線性項(xiàng)滿足超線性增長(zhǎng)不等式條件的情況下,利用Green函數(shù)和錐上的不動(dòng)點(diǎn)理論,獲得上述四階微分方程正周期解的存在性結(jié)果,并通過(guò)例子驗(yàn)證了主要結(jié)果的有效性.

在微分方程的發(fā)展中,關(guān)于四階微分方程周期解的研究十分活躍,它不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著重要的作用,而且在物理學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用也很廣泛.許多學(xué)者對(duì)此產(chǎn)生興趣并取得了一定的成果,參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-10].在討論微分方程周期邊值問(wèn)題時(shí),通常是將微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程,然后運(yùn)用一些工具定理,如錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理[4,6]、Krasnoselskill不動(dòng)點(diǎn)定理[7]、單調(diào)迭代技巧[8-9]等,把討論解的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為算子不動(dòng)點(diǎn)的存在性問(wèn)題.

文獻(xiàn)[1]考慮了四階周期邊值問(wèn)題

在周期邊界條件下對(duì)四階微分算子

L4u(t)=u(4)(t)+Mu(t)

建立了極大值原理,并用極大值原理得到求解問(wèn)題的上下解方法.文獻(xiàn)[2]利用一些Sobolev常數(shù)討論了四階周期梁方程

其中,q(t)∈Lp(0,T),作為一個(gè)應(yīng)用,得到了一類(lèi)超線性梁方程周期解的唯一性.文獻(xiàn)[3]用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理,得到了四階變系數(shù)奇異微分方程

正周期解的存在性,其中,a,b,c,d∈C(R,R+),f在原點(diǎn)處有奇性.文獻(xiàn)[4]用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論,獲得了四階變系數(shù)周期邊值問(wèn)題

正周期解的存在性結(jié)果,其中

a(t)∈C([0,ω],(0,+∞)).

以上文獻(xiàn)討論的均是非線性項(xiàng)f不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng),對(duì)于非線性項(xiàng)f含有u′(t)、u″(t)、u?(t)的完全四階變系數(shù)微分方程,很少有人討論.本文利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)理論,在非線性項(xiàng)滿足超線性增長(zhǎng)的不等式條件下,討論了一類(lèi)完全非線性四階微分方程

u(4)(t)+a(t)u(t)=

f(t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t)),t∈[0,ω] (1)

正周期解的存在性,其中,a(t)∈C([0,ω],(0,+∞)),f∈C([0,ω]×[0,+∞)×R3,[0,+∞)).四階微分方程用來(lái)刻畫(huà)平衡狀態(tài)下彈性梁的形變,只有正解在模型中才有實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值.顯然,方程(1)正周期解的存在性可以通過(guò)四階周期邊值問(wèn)題

(2)

正解的存在性去討論.

下面給出本文的工具引理.

是全連續(xù)的算子,如果滿足條件:

(i) ‖Tu‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω2;

(ii) ?u0∈K{0}使得

u≠Tu+λu0,u∈K∩?Ω1,λ>0,

1 預(yù)備知識(shí)

本文的空間C([0,ω])表示定義在[0,ω]上的全體連續(xù)函數(shù)在范數(shù)‖u‖C=|u(t)|下構(gòu)成的Banach空間.C+([0,ω])表示在C([0,ω])上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),Cn([0,ω])表示定義在[0,ω]上的全體n階連續(xù)可微函數(shù)在范數(shù)

‖u‖Cn=

下構(gòu)成的Banach空間,其中n∈N.記I=[0,ω].

首先,討論微分算子

L4u(t)=u(4)(t)+Mu(t)

在周期邊界條件下滿足極大值原理,其中M≠0.取空間

F4={u∈C4(I):u(i)(0)=u(i)(ω),

i=0,1,2;u?(0)≥u?(ω)},

若u∈F4,?t∈I,當(dāng)L4u≥0時(shí),u≥0(u≤0).有以下引理.

引理 2[1]設(shè)M≠0,則四階線性邊值問(wèn)題

存在唯一解r(t)∈C4(I),且r(t)>0于I.

引理 3[1]設(shè)M≠0,則對(duì)?h∈C(I),四階線性邊值問(wèn)題

(3)

存在唯一解u,可以表示為

其中

定義算子X(jué):C(I)→C(I),

從(4)式知

則

‖Xh‖≤ds,

引理 4X:C(I)→C(I)是全連續(xù)算子.

證明根據(jù)G(t,s)的一致連續(xù)性,若對(duì)任給的ε>0,存在δ>0,使得對(duì)任何t1,t2∈I,只要|t1-t2|<δ,就有

其中H=則

|X(t1)-X(t2)|≤

由Arzela-Ascoli定理,證得X:C(I)→C(I)是全連續(xù)算子.

記m=且

對(duì)于h(t)∈C+(I),考慮邊值問(wèn)題

等價(jià)于下列邊值問(wèn)題

定義算子

Y:C(I)→C(I),

(Yu)(t)=(M-a(t))u(t),

|(Yu)(t)|≤(M-m)|u(t)|.

另一方面,邊值問(wèn)題(6)的解可以寫(xiě)為

u(t)=(Xh)(t)+(XYu)(t),

即Xh=(I-XY)u.由于‖XY‖<1,應(yīng)用算子譜定理,有

u(t)=(I-XY)-1(Xh)(t),t∈I,

(7)

其中(I-XY)-1存在且有界.設(shè)

Q:C(I)→C(I),

(Qh)(t)=(I-XY)-1(Xh)(t),

即u(t)=(Qh)(t).顯然u(t)=(Qh)(t)是邊值問(wèn)題(6)的解.

根據(jù)Neumann展式,Q表示為

Q=(I-XY)-1X=

(I+XY+(XY)2+…+(XY)n+…)X,

Q是全連續(xù)算子.當(dāng)h(t)>0時(shí),(Xh)(t)>0,可以得到

(Xh)(t)≤(Qh)(t)≤

(8)

引入以下符號(hào):

A=

Bi=

(9)

可以看出0

定義

K={u∈C3(I):u(t)≥σ‖u‖C,

|u(i)(t)|≤liu(t),i=1,2,3,t∈R},

可知K是C3(I)中的一個(gè)錐.

2 主要結(jié)果及其證明

1) ?θ>0,當(dāng)|(a0,a1,a2,a3)|<θ時(shí),有

f(t,a0,a1,a2,a3)≤ε(a0+|a1|+|a2|+|a3|),

a0≥0,t∈I,

其中,ε>0滿足MBωε(1+l1+l2+l3)

2) ?μ>0,當(dāng)|(a0,a1,a2,a3)|>μ時(shí),有

f(t,a0,a1,a2,a3)≥ηa0,a0≥0,t∈I,

其中,η>0滿足Aωησ>1.

那么,方程(1)至少有一個(gè)正的ω-周期解.

(Tu)(t)=Q(f(t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t)),

可以看出Tu=u的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)就是方程(1)的一個(gè)解.定義2個(gè)開(kāi)子集:

Ω1={u∈C3(I):‖u‖

Ω2={u∈C3(I):‖u‖

其中,r、R是2個(gè)常數(shù)且R>r>0.

r

結(jié)合(8)和(9)式有

(Tu)(t)≥

和

‖Tu‖≤

f(s,u(s),u′(s),u″(s),u?(s))ds|≤

f(s,u(s),u′(s),u″(s),u?(s))ds≤

lds≤

lds≤

li(Tu)(t),i=1,2,3.

|(u(t),u′(t),u″(t),u?(t))|=

由條件1)有

f(t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t))≤

ε(u(t)+|u′(t)|+|u″(t)|+|u?(t)|).

根據(jù)(8)和(9)式有

f(s,u(s),u′(s),u″(s),u?(s))ds≤

除此之外,可得

f(s,u(s),u′(s),u″(s),u?(s))ds|≤

f(s,u(s),u′(s),u″(s),u?(s))ds≤

接下來(lái)證明

‖Tu‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω2.

(10)

|(u(t),u′(t),u″(t),u?(t))|=

所以由條件1)可得

f(t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t))≤

ε(u(t)+|u′(t)|+|u″(t)|+|u?(t)|).

結(jié)合(8)和(9)式得到

f(s,u(s),u′(s),u″(s),u?(s))ds≤

由條件1)可得

故(10)式成立.

另一方面,設(shè)u0=1,u0∈K{0}.現(xiàn)在證明

u≠Tu+λu0,u∈K∩?Ω1,λ>0.

(11)

如果不是,則存在u1∈K∩?Ω1,λ0>0,使得

u1=Tu1+λ0u0.

|u1(t)|≥σr>μ.

所以由條件2)可得

根據(jù)條件2)、(8)和(9)式有

u1=Tu1+λ0u0≥

這與u1≤r矛盾,故(11)式得證.

例 1考慮下列完全非線性四階微分方程

u(4)(t)+(2+cos2t)u(t)=

x2(u″(t))2+x3(u?(t))2),t∈[0,π], (12)

與方程(1)對(duì)比,易知a(t)=2+cos2t,ω=π,01,i=0,1,2,3,則非線性項(xiàng)

x1(u′(t))2+x2(u″(t))2+x3(u?(t))2)

滿足條件1)和2).由定理1知,方程(12)至少有一個(gè)正的π-周期解.