Boussinesq方程穩態解的存在性與正則性

張敏心, 陳 敏, 羅 宏

(四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

Boussinesq方程由流體速度場與溫度場耦合而成,是地球物理動力學中的重要模型,該方程被廣泛應用于大氣科學和海洋湍流研究[1-3],并且在Rayleigh-Benard對流研究中也發揮了重要作用[4].

本文主要研究如下的二維不可壓縮Boussinesq方程

(1)

其中,Ω?R2是有界開集且有光滑邊界?Ω,u=(u1,u2)為速度場,T(x,t)為溫度,p為壓強,已知函數f和j分別表示外力和熱源,正常數γ和κ分別表示黏性系數和熱擴散系數,e2=(0,1).

Boussinesq方程的穩態解對于理解其動力學行為具有重要意義,關于二維Boussinesq系統的穩態解問題已經有了一些研究[5-12].1991年,Morimoto[5]利用Galerkin方法證明了在有界域中Boussinesq近似方程穩態解的存在唯一性.1996年,Lorca等[6]利用譜Galerkin方法結合不動點變元得到了廣義Boussinesq方程解的存在性、正則性和唯一性條件.1998年,文獻[7]證明了在外區域中的廣義Boussinesq模型穩態弱解的存在性.2000年,Lee等[8]研究了二維穩態Boussinesq方程的最優控制問題,不僅證明了該方程光滑解和最優解的存在性,而且利用拉格朗日乘數法推導出一個最優系統.2011年,Alekseev等[9]考慮了在非齊次Dirichlet速度邊界條件和混合溫度邊界條件下的黏性穩態Boussinesq方程最優控制的穩定性.2012年,Kim[10]利用經典的Banach不動點定理得到了在有界光滑區域上具有任意大邊界條件的穩態Boussinesq系統極弱解的存在性,也證明了具有小邊界條件的穩態Boussinesq系統極弱解的唯一性.2021年,黃娟麗等[11]采用分離變量法得到在水平與垂直條帶區域上Boussinesq方程一些顯式穩態解的結果.2022年,Chen等[12]用時間-權重能量估計,得到了在平面帶區域上具有部分耗散的二維Boussinesq方程穩態解的整體存在性和穩定性,同時也建立了二維Boussinesq方程解的顯式衰減率.

本文借助文獻[13-14]的方法,研究二維Boussinesq方程穩態解的存在性與正則性.首先,利用弱連續算子銳角原理證明二維穩態Boussinesq方程弱解的存在性;其次,利用ADN理論以及線性橢圓方程理論證明方程強解的存在性,得到強解的范數估計式,并通過Sard-Smale定理得到解的有限性;最后,再次利用ADN理論以及線性橢圓方程理論得到方程古典解的存在性,實現了解的正則性的提升.

1 預備知識

本節介紹一些預備知識,包括弱連續算子銳角原理、ADN理論、線性橢圓方程理論和Sard-Smale定理等知識.

引理1.1[15]對于如下的橢圓方程:

(2)

0<λ1≤λ2≤…,

λk→∞,k→∞.

引理 1.2[15-16](Sobolev嵌入定理) 令Ω?R2是一個有界開集,對任意區域Ω有:

Wk,p0(Ω)

特別地,這個嵌入是連續的,并且有以下不等式成立

其中,C=C(n,p)是依賴于n,p的常數.

設X是一個線性空間,X1、X2是Banach空間,X1是可分的,X2是自反的.設X?X2,于是存在一個線性映射L:X→X1是一一稠密的.

定義 1.1[15](弱連續算子的定義) 映射G:X2→X1*是弱連續的,如果對所有的{Φn}?X2,Φn?Φ0有

引理 1.3[15](弱連續算子銳角原理) 設G:X2→X1*是弱連續的,U?X2是有界開集,0∈U.若

〈G(Φ),LΦ〉≥0, ?Φ∈?U∩X,

則方程G(Φ)=0在X2中存在一個解.

引理 1.4[17-18](ADN理論) 考慮如下Stokes方程

(3)

則有如下結論:

1) 令(u,p)∈C2,α(Ω,Rn)×C1,α(Ω)是問題(3)的解.若f∈Ck,α(Ω,Rn),k≥0,則

(u,p)∈Ck+2,α(Ω,Rn)×Ck+1,α(Ω),

且滿足如下估計

‖u‖Ck+2,α+‖p‖Ck+1,α≤

C(‖f‖Ck,α+‖(u,p)‖C0),

其中,C>0僅依賴于μ、n、k、α、Ω.

2) 令(u,p)∈W2,p(Ω,Rn)×W1,p(Ω)(1

(u,p)∈Wk+2,p(Ω,Rn)×Wk+1,p(Ω),

且有

‖u‖Wk+2,p+‖p‖Wk+1,p≤

C(‖f‖Wk,p+‖(u,p)‖Lp),

這里C>0只依賴于μ、n、k、p、Ω.

引理 1.5[16](線性橢圓方程理論) 考慮如下橢圓方程

(4)

其中,aij,bi,c∈L∞(Ω),f∈L2(Ω),aij=aji是一致橢圓的,即存在常數0<λ1≤λ2使得

λ1|ξ|2≤aijξiξj≤λ2|ξ|2,

?ξ∈Rn,x∈Ω,

則有如下結論成立:

1) 令Ω?R2是C2,α的,aij,bi,c,f∈C0,α(Ω).如果u∈C2,α(Ω,Rn)是問題(4)的解,那么

‖u‖C2,α≤C(‖f‖C0,α+‖u‖C0),

其中,C>0僅依賴于n、α、λ、Ω和aij、bi、c的C0,α范數.

2) 令Ω?R2是C2的,aij∈C0(Ω),bi,c∈L∞(Ω),f∈Lp(Ω).如果u∈W2,p(Ω,Rn)是問題(4)的解,那么

‖u‖W2,p≤C(‖f‖Lp+‖u‖Lp),

其中,C>0僅依賴于n、p、λ、Ω和aij、bi、c的C0范數或L∞范數.

引理 1.6[19-20](Sard-Smale定理) 令G:X→Y是C1的零指標的Fredholm算子,則G的正則值在Y中稠密.進一步,若p∈Y是G的臨界點,則G-1(p)是一個離散集.

2 主要結論

引入空間

H={Φ=(u,T)∈L2(Ω,R3)|Φ滿足

H1=H1(Ω,R3)∩H.

證明對于?Ψ=(v,s)∈H1,定義G:H1→H1*,

fv-Tve2+κ▽T·▽s+(u·▽)T·s-js]dx.

首先,驗證G算子滿足

〈GΦ,Φ〉≥0.

(5)

根據Young不等式以及Poincaré不等式,可得

κ▽T·▽T-jT)dx≥

‖T‖‖u‖-‖j‖‖T‖≥

‖j‖‖T‖=

‖f‖‖u‖-‖j‖‖T‖≥

則存在恰當大的常數N使得

〈GΦ,Φ〉≥0, ?Φ∈?BN∩X,

于是(5)式成立.

再驗證G的弱連續性.假設在空間H1中有Φk?Φ,根據引理1.2可得

uk→u0在Lp(Ω,R2)中,Tk→T0在

Lp(Ω)中,其中1≤p<∞.

(6)

dx+

dx=

(7)

作下面分解

dx+

由于在H01(Ω,R2)中有un?u0,即在L2(Ω,R2)中有Dun?Du0.同理,在H01(Ω)中有Tn?T0,即在L2(Ω)中有DTn?DT0,并且u0·v∈L2,u0·s∈L2,因此

dx=0,

由H?lder不等式和(6)式可得

dx|≤

于是(7)式成立.由引理1.3可得,問題(1)存在一個弱解Φ∈H1.

證明由H?lder不等式,可得

(8)

考慮如下的Stokes方程

由f∈Lq(Ω,R2),T∈L2(Ω)和(8)式可知

因此,由引理1.4可得

對于橢圓方程:

(10)

由j∈Lq(Ω)和(8)式可知

因此,由引理1.5可得

由引理1.2可得

1≤q≤6,

因此

于是可推出

(u·▽)u∈L2(Ω,R2),

(u·▽)T∈L2(Ω).

(11)

由(11)式、引理1.4和引理1.5可得

(u,T,p)∈W2,2(Ω,R2)×W2,2(Ω)×W1,2(Ω).

由引理1.2可得

1≤q<∞.

可以推出

(u·▽)u∈L3(Ω,R2),

(u·▽)T∈L3(Ω).

利用引理1.4和引理1.5可得

(u,T,p)∈W2,3(Ω,R2)×W2,3(Ω)×W1,3(Ω).

如此重復以上步驟,便證得(1)式的解(u,T,p)∈W2,q(Ω,R2)×W2,q(Ω)×W1,q(Ω),q≥2.

證明對于(1)式的解(u,T,p)需要證明如下估計:

‖u‖W2,q+‖T‖W2,q+‖p‖W1,q≤

C(‖f‖Lq+‖j‖

q≥2.

(12)

由引理1.4和(9)式可得

‖u‖W2,q+‖p‖W1,q≤C‖g‖Lq≤

C(‖f‖Lq+‖T‖Lq+‖u·▽u‖Lq).

由引理1.5和(10)式可得

‖T‖W2,q≤C‖h‖Lq≤

C(‖j‖Lq+‖u·▽T‖Lq),

因此

‖u‖W2,q+‖T‖W2,q+‖p‖W1,q≤

C(‖f‖Lq+‖T‖Lq+‖u·▽u‖Lq+

‖j‖Lq+‖u·▽T‖Lq).

(13)

由H?lder不等式可得

‖u·▽u‖Lq≤‖u‖L2q‖▽u‖L2q,

‖u·▽T‖Lq≤‖u‖L2q‖▽T‖L2q.

(14)

由Gagliardo-Nirenberg不等式以及Young不等式可得

‖▽u‖

ε‖Δu‖Lq+Cε-1‖▽u‖,

(15)

‖▽T‖

ε‖ΔT‖Lq+Cε-1‖▽T‖.

(16)

由〈GΦ,Φ〉=0,有

‖▽u‖2+‖▽T‖2≤

C(‖f‖2+‖j‖2),

因此

‖▽u‖≤C(‖f‖Lq+‖j‖Lq),

‖▽T‖≤C(‖f‖Lq+‖j‖Lq),q≥2.(17)

由引理1.2和(17)式有

‖u‖L2q≤C‖▽u‖≤

C(‖f‖Lq+‖j‖Lq).

(18)

由(14)、(15)、(17)和(18)式可以得到

‖u·▽u‖Lq≤C(‖f‖Lq+‖j‖Lq)×

[ε‖Δu‖Lq+Cε-1(‖f‖Lq+‖j‖Lq)]≤

C(ε‖f‖Lq‖Δu‖

2ε-1‖f‖Lq‖j‖Lq+

于是由H?lder不等式,可得

‖u·▽u‖Lq≤C(ε‖f‖Lq‖Δu‖Lq+

ε‖j‖Lq‖Δu‖Lq).

(19)

同理,由(14)式和(16)～(18)式可以得到

‖u·▽T‖Lq≤C(‖f‖Lq+‖j‖Lq)×

[ε‖ΔT‖Lq+Cε-1(‖f‖Lq+‖j‖Lq)]≤

C(ε‖f‖Lq‖ΔT‖

2ε-1‖f‖Lq‖j‖Lq+

于是由H?lder不等式,可得

‖u·▽T‖Lq≤C(ε‖f‖Lq‖ΔT‖Lq+

ε‖j‖Lq‖ΔT‖Lq).

(20)

由引理1.2和(17)式有

‖T‖Lq≤C‖▽T‖≤

C(‖f‖Lq+‖j‖Lq).

(21)

由(13)、(19)～(21)式有

‖u‖W2,q+‖T‖W2,q+‖p‖W1,q≤

C[‖f‖Lq+‖j‖

ε(‖f‖Lq+‖j‖Lq)‖u‖W2,q+

ε(‖f‖Lq+‖j‖Lq)‖T‖W2,q].

(22)

‖u‖W2,q+‖T‖W2,q+‖p‖W1,q≤

C(‖f‖Lq+‖j‖

‖j‖

(23)

最后利用Young不等式和(23)式證得(12)式成立.

最后,引入如下映射

G=L+H:

W2,q(Ω,R3)×W1,q(Ω)→Lq(Ω,R3),

其中

令

于是方程(1)可以寫成

1) 對任意(f,j)∈Cα(Ω,R3),問題(1)存在一個古典解(u,T,p)∈C2,α(Ω,R2)×C2,α(Ω)×C1,α(Ω);

3) 如果(f,j)∈C∞(Ω,R3),那么問題(1)的解(u,T,p)∈C∞(Ω,R4).

證明1) 因為Cα(Ω)?Lq(Ω),?q≤∞,所以對任意(f,j)∈Cα(Ω,R3),由定理2.2可知問題(1)存在一個強解

(u,T,p)∈W2,q(Ω,R2)×W2,q(Ω)×

W1,q(Ω), ?q≥2.

由引理1.2知

W2,q(Ω,R2)

于是

(u,T)∈C1,α(Ω,R3),

因此

(u·▽)u∈Cα(Ω,R2), (u·▽)T∈Cα(Ω).

由(9)式中的g∈Cα和(10)式中的h∈Cα,以及引理1.4的結論1)可知

(u,p)∈C2,α(Ω,R2)×C1,α(Ω).

由引理1.5的結論1)可知

T∈C2,α(Ω),

即

(u,T,p)∈C2,α(Ω,R2)×C2,α(Ω)×C1,α(Ω).

結論1)成立.

2) 由于Cα(Ω)?Lq(Ω),?q≤∞,再根據定理2.3可得,問題(1)的解是有限的.

3) 由于(f,j)∈C∞(Ω),有(f,j)∈Wk,q(Ω)(k是任意整數).根據定理2.2,可以得到(u,T,p)∈W2,q(Ω,R3)×W1,q(Ω).根據引理1.4以及引理1.5可得(u,T,p)∈Wk+2,q(Ω,R3)×Wk+1,q(Ω)(k是任意整數).利用引理1.2可得(u,T,p)∈Ck+1,α(Ω,R3)×Ck,α(Ω)(k是任意整數).于是(u,T,p)∈C∞(Ω,R4).

3 總結與展望

本文給出了Boussinesq方程穩態解存在的條件,得到強解的存在性和強解的范數估計,實現了解的正則性提升,并得到方程古典解的存在性.

本文考慮的Boussinesq方程形式相對簡單,鑒于Boussinesq方程有很多的形式,比如具有水平(垂直)耗散、水平(垂直)熱擴散、分數耗散的Boussinesq方程,對于是否能用弱連續算子方法考慮其他形式的Boussinesq方程解的存在性與正則性,將是進一步所需要考慮的問題.此外,本文討論的是穩態Boussinesq方程解的存在性,對于是否能用弱連續算子方法研究演化Boussinesq方程解的存在性與正則性,也將是進一步所需要考慮的問題.