投影下的弱奇異積分不等式及其應用

王百順, 馬林文, 周 俊

(四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

1 引言和預備知識

積分不等式是研究微分方程和差分方程解的重要理論工具,其中Gronwall不等式普遍使用在微分方程定性理論中,在研究微分方程解的存在唯一性、有界性、指數二分、線性化和不變流形等各種定性性質中發揮重要作用[1-3].此外,它還在偏微分方程(PDEs)[4]和泛函微分方程(FDEs)[5]領域有較為廣泛的應用.1969年,Hale[6]為了研究微分方程的指數二分行為,建立了如下的投影積分不等式

u(t)≤Kee-α(t-s)u(s)ds+

(1)

其中,常數α,γ>0,且K,L,M≥0.不等式(1)可被看作Gronwall不等式在雙曲行為下的投影.文獻[7-8]為研究非自治微分方程的偽雙曲性,將(1)式推廣為

u(t)≤a+ee-α(t-s)u(s)ds+

(2)

其中,常數α,γ>0,a,bi,c,d∈R,i=0,1,…,m,且a,c,d≥0.后來,文獻[9-10]將(2)式推廣到更一般的情形:

(3)

其中,函數a,b,c∈C(R+,R+).文獻[9]在未知函數u(t)連續的條件下給出了級數形式的估計式.之后文獻[10]進一步去掉了函數u(t)連續性假設,證明在可積性條件下也能得到u(t)的估計式.

隨后,研究者們也將(2)和(3)式推廣到離散情況,解決差分方程的指數二分.如Matsunaga等[11]討論了如下離散不等式:

u(n)≤eb

其中,常數0

其中,常數s0∈Z+,函數a(n)、b(n,s)和c(n,s)是非負的;a(n)可以是非單調的,并且b(n,s)和c(n,s)是亞指數增長的.

另一方面,弱奇異積分不等式因為在半線性拋物方程[4]和分數階微分方程[13]研究中的重要作用,也被學者廣泛關注[14-16].由于弱奇異不等式中奇異核的存在,使得經典的積分不等式求解方法失效,其相關研究在一段時間內進展緩慢.

直到1981年,Henry[4]首次用迭代法給出如下弱奇異不等式

t∈[0,T)

(4)

級數形式的估計式,其中,常數M≥0,0<α<1,且對T≤+∞,a∈L([0,T),R+),L([0,T),R+)是[0,T)上局部可積的非負函數類.這個級數估計式可以用特殊函數——Mittag-Leffler函數來表示.隨后,文獻[14]考慮了不等式(4)的推廣:

t∈[0,T),

其中,α∈(0,1),g∈CI(R+,R+),且對T≤+∞,a∈L([0,T),R+).這個結果被Zhou[17]進一步推廣到多時滯多奇異核的情況,即上式中的積分限[0,t]被改進為[bi(t0),bi(t)],其中時滯函數bi(t)≤t;奇異核(t-s)α-1被改進為(t-s)αi-1(i=1,2,…,n),并且找到了估計式與多變量Mittag-Leffler函數之間的聯系.

對于半線性拋物方程和分數階微分方程所對應的積分方程,在指數二分的性質下也具有投影形式的弱奇異積分不等式

(5)

其中,函數a,b,c:R+→R+,α∈(0,1).

本文研究投影不等式(5),將Hale[6]的已知函數可積性條件改進為

再結合Henry的迭代法,給出未知函數u(t)的級數估計式.第二節分別給出不等式(5)在連續性和可積性條件下的估計式,并且將估計式表示為Mittag-Leffler函數的形式.第三節給出連續函數和可積函數估計的具體例子.

2 引理和主要結果

貫穿全文,定義如下函數集合:

B(R,R):={φ:R→R|φ是有界的函數},

D(R,R):={φ:R→R|φ是單調非增的函數},

C(R,R):={φ:R→R|φ是連續函數},

Cb(R,R):={φ:R→R|φ是有界的連續函數},

CI(R,R):={φ:R→R|φ是單調非減的連續函數},

L(J,R):={φ:J→R|φ是局部可積的函數,

其中J?R}.

引理 1[9]假設a,b,c∈C(R+,R+),且有:

(A1)a,b∈D(R+,R+),且a(t),b(t)→0(t→+∞);

則對滿足(3)式的函數u∈Cb(R+,R+),有估計式

引理 2[10]假設函數a,b,c:R+→R+,且有:

則對滿足(3)式的函數u∈B(R+,R+),有估計式

引理 3[4]假設常數M≥0,α>0,并且對T≤+∞,函數u,a∈L([0,T),R+).如果u(t)滿足不等式(4),那么

u(t)≤a(t)+

其中Γ是Gamma函數.

2.1 連續估計式給出函數u∈Cb(R+,R+)級數形式的估計式,其結果有利于研究分數階微分方程定性理論.結合引理 1的敘述,給出如下結果.

定理 1假設函數a,b,c∈C(R+,R+),0<α<1,并且有:

(C1)a∈D(R+,R+),且a(t)→0(t→+∞);

則對滿足(5)式的函數u∈Cb(R+,R+),有估計式

t≥0,

(6)

其中,b:=并且特別地,如果a(t)=a是常數,那么

(7)

證明首先討論不妨設由于u(t)是有界的,則任取θ滿足β<θ<1,有即?t0≥0,使得?t≥t0時,u(t)≤θ-1ξ.又由b(t)是非負且有界的,令結合(5)式和(C1)可得

在上式兩邊取極限t→+∞,因0<α<1得

其次,如果v(t):=易知v(t)≥u(t),v∈D(R+,R+)且進一步,對?t≥0,?t1≥t,使得

根據(5)式以及假設(C1)和(C2),則有

v(t)=u(t1)≤a(t1)+

對?t≥0,上式可以簡化為

(8)

最后,進一步討論(8)式.結合引理 3,得到如下結果:

(t-s)nα-1a(s)]ds,t≥0,

不等式(6)得證.如果a(t)=a是常數,那么由上式可得

(t-s)nα-1a]ds=

(t-s)nα-1]ds}=

即不等式(7)得證.因此定理證畢.

注意到,討論微分方程的解可以轉化為其等價積分方程解的問題,因此函數的可積性比連續性顯得更為重要.然而,定理 1是在函數a(t)、b(t)和c(t)都連續的情況下給出有界的連續函數u(t)級數形式的估計式.接下來,本文將弱化函數的連續性和單調性條件,考慮函數在可積性條件下給出有界函數u(t)的估計式,其結果對積分不等式的研究更具有理論價值.

2.2 可積估計式

定理 2假設函數a,b,c:R+→R+,0<α<1,并且:

(D1)a(t)滿足條件(B1);

(D2)b(t)和c(t)分別滿足(C2)和(C3),且(C4)也成立,則對滿足(5)式的函數u∈B(R+,R+),有估計式

(t-s)

(9)

現在只需要驗證(9)式對?t∈W也成立.令

特別地,對?t∈W有

進而

(10)

另一方面,對?t∈R+W,因w(t)=0且δ≤a(t),所以(10)式顯然成立.綜上,對?t∈R+,(10)式也成立.

接下來,類比定理 1的證明思路,討論(10)式在t∈R+的情況.容易驗證此外,記x(t):=易知x(t)≥w(t),x∈D(R+,R+),且又因x(t)是有界的,則x(t)可積.進而對?t≥0,?t2≥t,使得

x(t)=w(t2)≤a(t2)-δ+

其中b=對?t≥0,上式可以簡化為

結合引理 3,得到如下結果:

特別地,對?t∈W,由w(t)=u(t)-δ/(1-β)可知

即

(t-s)

從而,對?t∈W,(9)式成立.綜上所述,則有

(t-s)

所以不等式(9)得證.因此定理證畢.

注 1如果將定理 2的條件(D1)替換為a∈D(R+,R+),那么可以得到估計式

(t-s)nα-1(a(s)-δ)]ds,t≥0,

其中δ=

3 積分不等式的具體例子

下面的結論在微分方程的研究中具有重要的實際意義,具體運用到較為復雜的冪函數、指數函數和分段函數等,并且對討論分數階微分和積分方程也十分有用.

推論 1假設常數ai,b,c∈R+,i=1,2,0<α<1,γ,η,μ>0,有

a(t)=a1+a2exp

b(t)=bexp

c(t)=cexp

證明由于a1、a2和b為非負常數,易知對?t≥0,a(t),b(t)≥0成立,并且函數b(t)是單調不增的.又由

a2γexp

所以函數a(t)也是單調不增的,且

故由定理 1可知

(a1+a2exp

整理即可得到期望的不等式.

由于可積性是研究積分等式和不等式的首要條件.下面將討論函數u(t)、a(t)和c(t)在可積性條件下的不等式(5),并且給出未知函數的級數估計式.

推論 2假設常數a,b,c∈R+,0<α< 1,η>0,ε>0,p>1,有

t∈[q,q+1),q=0,1,2,…,

b(t)=bexp

m=0,1,2,…,p,

t∈[p,p+1),

其中p=0,1,2,….

結合定理 2,對?t∈[q,q+1),q=0,1,2,…,可得

即對?t∈[q,q+1),q=0,1,2,…,有

因此,得到推論 2的證明.

注 2對于推論 1和2,如果常數b、c充分的小,或ε足夠大,那么條件β<1成立.