網格中的拋物線

曹燕萍

摘? 要：利用網格邊界線的“截圖功能”命制的拋物線試題，有效地發揮了在網格中分析圖象的功能。聚焦a × a方格紙內的二次函數圖象，對于學生全面認知拋物線，提升學生的數學抽象思維提供了有效載體。同時，在研究中采用雙向命制試題，分析設計缺陷和成因，不斷優化得到具備“美圖美數”的試題是有效的命題策略。

關鍵詞：網格；拋物線；數形結合

命題能力意味著教師對課程標準、教材的理解與把握能力的高低，又反映出教師對教學、學生的了解程度。備課能力、教學能力、命題能力都是教師應具備的專業素養。一位優秀的、專家型教師常常能做到“三高”，即備課高質量、上課高效率、命題高水平。備課、上課與命題是相輔相成的。教師在研讀課程標準、研究教材、研究學生、研究試題時，往往能不斷更新教學理念，完善教學方法，提高課堂教學效果。網格問題是近年來中考的熱門話題，新穎的網格題目層出不窮。網格問題常常結合直線、三角形、四邊形、圓等知識進行考查，很少涉及拋物線。帶著對“網格 + 拋物線”這一新組合的期待，命題者開始了探索，形成了一道中考模擬題。現把命題過程敘述如下。

一、素材分析

二次函數的圖象和性質較為復雜，利用網格能有效地進行函數圖象的表示、分析和變換。因此，網格和拋物線的組合問題應該是中考命題者比較青睞的命題方向。筆者翻閱了北師大版《義務教育教科書·數學》九年級下冊第二章“二次函數”，在這一章節可以看到大量的拋物線，且大多數都以網格為背景呈現。不過映襯在圖象下大小不一的網格，都是淡淡的灰色，它的優勢是幫助師生更便捷地了解點的坐標，作用主要體現在圖象的表示和變換中，對“圖象性質的分析”所起的作用卻微乎其微。

其實，網格既是坐標線，又是分割線（含邊界線）。作為坐標線，它能有效表示圖象及其變換，助力學生把復雜的數學問題變得簡單、形象；作為分割線，通過網格的切割，學生對于拋物線某一段的性質可以有更清晰地解讀，網格邊界線又能聚焦一定范圍內（如a × a）的情況。這些都讓學生的學習和研究變得更專注、有效。借助網格分析圖象，從局部視角去了解拋物線這個復雜的整體是可行的。

筆者以“二次函數的圖象和性質”一課為例，以網格為載體，建立平面直角坐標系考查，用待定系數法求二次函數解析式，研究二次函數的圖象和性質，以體現數形結合思想、函數思想等，以發展學生的幾何直觀能力。

二、命制過程

第1稿：圖美數不美。

如圖1，A，B，C是5 × 5方格紙上的三個格點，設每個方格的邊長為1個單位長度。

（1）以點B為坐標原點，建立平面直角坐標系，求出過A，B，C三點的拋物線解析式；

（2）在（1）的條件下，求方格紙上的函數圖象所對應的自變量的取值范圍；

（3）如何平移拋物線可以使得拋物線的頂點為格點A？

答案：（1）[y=-58x2+94x;]

（2）[0≤x≤1.6]或[2≤x≤9+2015;]

（3）因為拋物線頂點坐標為[95， 8140，] 點[A2，2，] 所以將拋物線向右平移[15]個單位長度，向下平移[140]個單位長度，可以使頂點為格點A。

設計缺陷：參考答案顯示的數據較為煩瑣，學生勢必會花費大量時間用于計算。而對于運算能力的考查并不是此題的考查目標。

一改說明：由于第1稿中的答案較為復雜，所以改進時可以采用逆向的方式進行命制。也就是先寫出一些系數較為簡單的二次函數作為答案，再由答案確定方格紙規格和A，B，C三個格點的位置，同時對題干稍作改進。第2稿就是在這樣的指導思路下完成的。

第2稿：數美圖不美。

如圖2，A，B，C是9 × 9方格紙上的三個格點，設每個方格的邊長為1個單位長度，過A，B，C三點有一條拋物線。現以點B為坐標原點，建立平面直角坐標系。

（1）求拋物線的解析式；

（2）求在方格紙上的函數圖象所對應的自變量的取值范圍；

（3）如何平移拋物線可以使拋物線的頂點為格點A？

答案：（1）[y=-xx-4;]

（2）[0≤x≤1]或[3≤x≤2+10;]

（3）因為頂點坐標為[2，4，] 點[A3，3，] 所以將拋物線向右平移1個單位長度，向下平移1個單位長度，可以使頂點為格點A。

設計缺陷：題干中方格紙的規格是正方形且邊長 ≥ BC + 1，于是出現了新的問題。一是9 × 9的網格線過于密集，越密的網格越顯得試題難度大，對于學生解決問題的阻力越大；二是過A，B，C三點的拋物線主要分布在6 × 9區域內，方格紙浪費較多。

二改說明：綜合兩稿的設計缺陷，命題者確定試題改進的方向是在合適的方格紙和合適的答案中尋找一個“合適的配對”。通過對第2稿中的問題進行分析，發現二次函數[y=-xx-4]中的二次項系數為-1。因為[-1>-58，] 所以拋物線[y=-xx-4]切線斜率的絕對值越大，縱向發展速度越快，所以不得不選用9 × 9的網格。根據這一分析，命題者嘗試采用絕對值小于1的數作為二次項系數，同時考慮有較多的整數點和計算的簡便，采用[y=-12xx-奇數]或者[y=-13x][x-非3的倍數]的形式。考慮點B及其關于對稱軸對稱的點之間至少還有兩個整數點（點A及其對稱點）和頂點，所以奇數和非3的倍數都是大于2的整數。

在幾何畫板軟件中分別輸入[y=-12xx-3]和[y=-13xx-4，] 觀察二次函數圖象及其整數點的分布情況，如圖3和圖4所示。

圖3中，拋物線在6 × 6的網格中出現了6個格點，圖4中，拋物線在7 × 7的網格中出現了5個格點，無論是網格還是格點數量，圖3更優。

圖3中的圖象邊界點都是格點，邊界點的特殊性使自變量取值范圍的計算更簡潔，思路更多；圖4的邊界點中有一個不是格點，考查了特殊和一般兩種情況，難度較圖3有所增加。

根據圖4中右下方圖象邊界點（設為點[Di，][i=1，2，3]）位置的不同，分析3種情況。邊界點是格點[?D1m，n]（m，n為整數，下同）；邊界點在縱向分割線上[?D2m，-13mm-4;] 邊界點在橫向分割線上[?D32+4-3n，n。] 學生求解點[Di]坐標的難度依次增加。

關于頂點和平移單位長度的計算，圖3較圖4復雜。

圖3縮小到5 × 5可得與圖4類似的圖象，圖4在試卷中放大到8 × 8可得與圖3類似的圖象。

綜合以上因素和該模擬題所處位置的難度系數，確定二次函數為[y=-12xx-3，] 方格紙規格為6 × 6，得到第3稿。

定稿：美圖美數。

如圖5，A，B，C是6 × 6方格紙上的三個格點，設每一方格的邊長為1個單位長度，過A，B，C三點有一條拋物線。現以點B為坐標原點，建立平面直角坐標系。

（1）求拋物線的解析式；

（2）求在方格紙上的函數圖象所對應的自變量的取值范圍；

（3）如何平移拋物線可以使拋物線頂點為格點A？

答案：（1）[y=-12xx-3;]

（2）[0≤x≤1]或[2≤x≤5;]

（3）因為頂點坐標為[32， 98，] 點[A2，1，] 所以將拋物線向右平移[12]個單位長度，向下平移[18]個單位長度，可以使頂點為格點A。

設計意圖：此題以網格為載體，考查的是平面直角坐標系的建立，用待定系數法求二次函數解析式，分析二次函數的圖象和性質，體現了數形結合思想和函數思想，發展了學生的幾何直觀能力。試題顯示了對于核心知識、數學思想方法的考查，對于教學有很好的導向作用。

定稿后的試題，第（1）小題主要是借助網格的直觀性，考查坐標系的建立和坐標的表示，用待定系數法求解析式；第（2）小題主要是借助網格分割線的作用，考查兩段圖象對應的自變量的取值范圍；第（3）小題主要通過拋物線的對稱性和計算，準確地把網格外的圖象平移到網格內，以點帶線，使被分割的圖象變回完整。綜觀試題，通過3個問題的考查，詮釋了培養學生幾何直觀的多種方式，從這樣獨特的視角進行二次函數的描述和分析給人耳目一新的感覺。

三、命制思考

1. 挖掘教材，推陳出新

教材是命題工作取之不竭的資源。此題素材來源于教材。在尊重教材、理解教材的基礎上，教師多一份細心觀察和理性思考，會對教材內容產生新領悟。網格作為重要的工具和載體，發揮出了新功能。試題對于函數圖象的考查主要集中在6 × 6的網格中，這種視角的考查讓試題整體感覺既熟悉、又親切。

2. 數形適配，化繁為簡

此題中，方格紙規格和圖象的數學表達式之間是相互聯系的。在簡明的網格和數學表達式之間，命題者努力尋找一個最佳的配對，任何一方都不能煩瑣，否則將干擾到核心知識和數學思想方法的考查。命題既要有利于問題的提出，又要有利于問題的解決。圖美數不美不是真美，反之亦然，只有數形適配、美圖美數方能達到數學試題的簡約之美。這個配對的尋找是通過雙向分析因果關系，找到數與形之間隱含的數學規律，從而得到比較合適的兩個方案，最后按需采用了其中的一個。

3. 函數伴侶，助力思維

此題中，網格作用并不突出。二次函數中自變量的取值范圍、最值、增減性等是核心知識，數形結合思想、函數思想等是核心思想，幾何直觀、運算能力、模型觀念等是核心素養。可見，對于學生來說，學習二次函數所包含的意義非常豐富。如何通過熟知而有效的載體去助力課堂教學和學生思維的發展是命題者一直在探索的方向。如今，網格從幕后走到臺前，充分發揮了原有對于圖象表示、變換的功能，同時新開發的分割功能、邊界線的截圖功能，使拋物線被切割成段，聚焦局部后逐步匯合成對整體的認知，形成了二次函數圖象分析的新功能。

總而言之，教師通過命題可以不斷提高自身的理論水平和專業素養，正確把握教的情況和學生學的情況，同時要及時了解數學教育中的熱點問題，不斷積累命題素材，調整命題方向，積極、主動原創試題，積極研究歷年的中考試題、經典試題、模擬試題等，從而逐漸成為研究型、專家型教師。

參考文獻：

［1］許芬英. 數學命題技術研究［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［2］陶新燕. 挖掘網格新價值，探究解題新策略：以初中網格新型題為例［J］. 數學教學通訊，2018（20）：76-78.