一般觀念引領下的概率教學探索

摘" 要：通過類比函數的抽象與表達，從隨機現象的概率分布中抽象出正態分布的密度函數，并以解析形式給出定義，類比函數的性質，研究一般正態分布的特征、類比函數的應用求解概率問題等都體現了借助確定性數學的工具研究隨機現象的方法. 讓學生在正態分布的研究過程中逐步體會一般觀念在概率學習中發揮的重要的思維引領作用.

關鍵詞：一般觀念；正態分布；函數；思維引領

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）11-0010-06

章建躍博士在一般觀念的定義中列舉了部分一般觀念，包括“概率的性質指什么”. 經過實踐探索，筆者認為應該從“怎樣研究概率”這個角度進行回答. 概率是研究隨機現象數量規律的數學分支，應用的研究工具是確定性數學. 以高中階段為例，常用工具為代數、函數、幾何等知識. 因此，我們可以從這個角度理解概率的一般觀念.

以正態分布為例，可以類比函數的研究過程，包括類比函數的抽象與表達，從隨機現象的概率分布中抽象出密度函數，類比函數的性質研究一般正態分布的特征，類比函數的應用求解概率問題等. 以“正態分布”教學實踐完成后的再設計為例，通過借助函數工具研究隨機現象，類比函數的研究過程來研究概率分布，發揮一般觀念在研究數學對象中的思想引領作用.

一、內容和內容解析

1. 內容

通過研究服從正態分布的連續型隨機變量，初步了解正態分布.

2. 內容解析

正態分布既是概率論中的一種重要分布，又是自然界中的一種常見分布. 例如，測量誤差、動物和植物的生理指標、自動流水線生產的產品的質量誤差等都近似服從正態分布. 一般地，若受諸多因素影響的某種數量指標，其中的任意單一因素對它的影響都非常小，則該指標服從正態分布. 正態分布具有許多性質，所以在滿足精度要求的情況下，會把許多分布用正態分布近似表示. 因此，在理論研究中，正態分布十分重要.

連續型隨機變量及其分布規律的刻畫和研究方法可以類比連續函數的研究過程，即按照研究一個數學對象的基本套路“實例抽象—定義—表示—性質—應用”進行. 函數的性質有單調性、奇偶性、最值、周期性、對稱性等，而某些隨機變量同樣具有上述性質，當然也包括概率的非負性、概率之和為1等. 即使看似是隨機變量所特有的均值和方差，也不過是因為比較而產生的度量性概念而已. 與之前建立二項分布和超幾何分布概率模型的方法不同，建立正態分布模型采用的是從經驗分布模型過渡到理論模型的方法. 對誤差隨機變量X進行觀測，獲得誤差樣本數據，借助直方圖的直觀，描述樣本數據的分布規律. 根據頻率與概率的關系，直觀想象，得到一條鐘形曲線，通過分析曲線的函數性質，發現曲邊梯形的面積表示概率，進而借助信息技術獲得密度函數的解析式，完成正態分布模型的構建. 可見，通過借助函數工具研究隨機現象，類比函數的研究過程研究概率分布，能夠發揮一般觀念在研究一般數學對象過程中的思想引領作用.

3. 教學重點

了解正態分布的特征，理解正態分布的均值、方差及其分別對應的含義.

二、目標和目標解析

1. 單元目標

（1）通過分析誤差模型，了解隨機變量服從正態分布；通過分析具體實例，借助頻率分布直方圖，了解正態分布的特征.

（2）了解正態分布的均值、方差及其分別對應的含義.

2. 目標解析

（1）通過具體實例，了解連續型隨機變量；通過分析誤差模型，借助頻率分布直方圖，描述樣本觀測數據的分布規律，了解服從正態分布的隨機變量是連續型隨機變量，理解正態密度曲線在刻畫隨機變量取值概率中的作用.

（2）能夠敘述正態分布的特征（正態密度曲線的對稱性、峰值等）；會用面積表示概率[Pa≤X≤b]；會利用信息技術工具計算正態分布的概率，了解參數對正態密度曲線形態的影響，明白正態分布的均值、方差及其分別對應的含義，并能夠解決簡單的實際問題.

三、教學問題診斷分析

1. 問題診斷

（1）雖然服從正態分布的隨機變量是連續型隨機變量，但是連續型隨機變量的取值不能逐個列舉，且它取任意單值點的概率都是0. 因此，需要利用新的數學工具刻畫隨機變量的分布規律. 由于高中階段不研究一般的連續型隨機變量，導致學生對正態分布的理解存在一定的困難. 在教學中，教師可以先對均勻分布問題進行分析，為學生提供解決問題的思路，以便幫助他們建立對連續型隨機變量的直觀認識，為理解正態分布作鋪墊.

（2）連續型隨機變量的樣本觀測數據大多數以頻率分布直方圖的形式出現，學生欠缺由經驗模型建立理論模型的經驗和方法，難以抽象出連續型隨機變量并構建正態分布模型. 因此，加強教學與信息技術的融合是構建概率模型的重要方法，也是學習此章內容的重要途徑. 例如，利用Excel表格或者GeoGebra軟件模擬隨機實驗；繪制頻率分布直方圖，通過樣本觀測數據直方圖，抽象正態密度曲線，通過改變均值、方差等參數大小，了解正態分布的特征關系，利用GeoGebra軟件計算正態分布的相關概率.

2. 教學難點

描述服從正態分布的隨機變量的概率分布，體會由經驗模型建立理論模型的思想方法.

四、教學支持條件分析

在教學中，可以利用信息技術工具（如GeoGebra軟件），通過經驗模型建立理論模型，理解參數在模型中的作用.

五、教學過程設計

1. 創設情境，引出研究對象

問題1：在某城市一個有紅綠燈的路口，紅燈持續40 s，綠燈持續60 s，交替循環. 小明來到這個路口，求他遇到綠燈的概率，并回答以下問題.

（1）獲取隨機事件概率的方法有哪些？你采用的是什么方法？

（2）該問題的隨機變量是什么？你能寫出隨機變量的分布列嗎？如果不能，類比函數的表示方法描述該分布的特征.

預設答案：（1）學生一般用“主觀概率方法”獲取“小明遇到綠燈的概率為0.6”，而該方法通常用于解決無法進行大量重復試驗或者試驗結果不是等可能的問題. 顯然，該方法用于此處缺乏科學性，教師應該引導學生借助頻率的方法估計概率.

（2）學生不能寫出分布列，存在以下原因：當離散型隨機變量的取值為有限個且能夠逐個列出時，才能寫出分布列（分布列可以類比用列表法表示離散函數）. 而該問題是在某個循環周期內，小明遇到綠燈的時間點為隨機變量，其充滿60 s的整個區間，這一區間內的數值是連續不斷的，且取某一點的概率為0，我們稱這類隨機變量為連續型隨機變量.

用隨機變量的觀點對該題描述如下：樣本空間為[Ω=x 0≤x≤100]，定義隨機變量T為小明來到路口的時刻，則T是一個連續型隨機變量，它的取值充滿區間[0，100]內，如圖1所示.

由于隨機變量T落在任意區間內的概率只與該區間的長度成正比. T服從均勻分布，類比連續函數的解析法可以利用函數（密度函數）[px=1100，0≤x≤100，0，xlt;0 或 xgt;100]求解概率，則小明遇到綠燈的概率為[PA=P40≤][T≤100=0.6].

教師借助Excel表格中的“[=RAND *100]”函數生成均勻分布的隨機數，繪制頻率分布直方圖，通過擴大樣本容量，抽象出密度函數，引導學生理解通過密度函數求解概率的方法.

追問1：連續型隨機變量和離散型隨機變量有什么區別？類比函數，歸納連續型隨機變量的特點.

追問2：生活中還有哪些隨機變量是連續型隨機變量？結合實際，談談這些隨機變量是均勻分布的嗎？

預設答案：（1）連續型隨機變量不能逐個列舉，其取值充滿某個區間或者整個實軸，且取其中某一點的概率為0. 類比表示連續函數變化規律的方法，即解析法、圖象法，可以刻畫連續型隨機變量的概率分布.

（2）等車的時間、某種電子元件的壽命、某地同齡人群的身高或體重等都是連續型隨機變量. 類似的還有，小麥的株高、穗長、單位畝產量，零件的尺寸，某地每年某月的平均氣溫、降水量，居民的月均用水量，等等.

師生活動：學生回答問題，教師借助Excel表格與GeoGebra軟件演示用蒙特卡羅方法（又稱統計模擬法、隨機抽樣技術）繪制頻率分布直方圖，解釋直方圖的直觀效果，并通過不斷增加樣本數據抽象出均勻分布的密度函數，引導學生借助密度函數與對應區間，以及x軸所圍成的面積來刻畫相應隨機事件的概率.

【設計意圖】服從正態分布的隨機變量是連續型隨機變量. 由于高中階段不研究一般的連續型隨機變量，所以可以類比圖象法在表示函數時對變量間的變化規律所凸顯的直觀效果，解釋頻率分布直方圖的直觀性，類比離散函數對連續函數進行分析，幫助學生建立對連續型隨機變量的直觀認識，為學生理解正態分布作鋪墊. 借助Excel表格中的“[=RAND *100]”函數生成均勻分布的隨機數. 學生曾經在人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“人教A版教材”）必修第二冊學習過，為了理解隨機數的產生原理，可以通過擴大樣本容量，抽象密度函數，并利用密度函數來求解概率. 而生成服從正態分布的隨機數“[=NORMINV RAND ，μ，σ]”函數中，參數過多，不利于學生理解隨機數的生成原理. 教師可以借助均勻分布，讓學生提前形成研究連續型隨機變量的概率分布的一般觀念.

2. 借助信息技術，構建正態分布模型

問題2：自動流水線包裝的食鹽，每袋標準質量為400 g. 由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質量與標準質量之間或多或少會存在一定的誤差（實際質量減去標準質量）. 用X表示這種誤差，則X是一個連續型隨機變量. 檢測人員在一次產品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X（單位：g）的觀測值如下.

[-0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 ]

（1）如何描述這100個樣本誤差數據的分布？

（2）如何構建適當的概率模型刻畫誤差X的分布？

師生活動：引導學生回憶由頻率分布直方圖估計概率與對比特征數（頻率、均值、方差和標準差）的方法，教師利用GeoGebra軟件作圖（如圖2），分析特征數對頻率分布直方圖輪廓的影響.

預設答案：頻率分布直方圖中，誤差落在相應區間內的頻率可以用每個小矩形的面積表示，所有小矩形的面積之和為1. 誤差觀測值有正有負，并大致對稱地分布在[X=0]的兩側，而且小誤差比大誤差出現得更頻繁. 標準差與方差反映了數據的集中與離散程度，表現為標準差與方差越大，圖形的輪廓越“矮胖”，標準差與方差越小，圖形的輪廓越“瘦高”.

【設計意圖】頻率分布直方圖雖然是學生在人教A版教材必修第二冊中學習過的內容，但是教師引導學生回憶，可以加強新、舊知識的聯系，為后面歸納正態曲線的特征及理解參數的意義作鋪墊.

追問：隨著樣本數據量的變大（即分組越來越多，組距越來越小），頻率分布直方圖的輪廓如何變化？如何估計概率分布？

師生活動：教師利用信息技術軟件展示改變頻率分布直方圖的分組數，觀察其輪廓形狀，引導學生想象當樣本數據量越來越大時，頻率分布直方圖的輪廓越來越穩定，逐漸接近一條光滑的鐘形曲線.

預設答案：由頻率分布直方圖得到鐘形曲線，鐘形曲線可以看成無數個小矩形，且鐘形曲線與水平軸之間的區域的面積為1.

根據頻率與概率的關系，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2，-1]內的概率，可以用陰影部分的面積表示，如圖3所示.

師生活動：學生展示，教師點評.

【設計意圖】從學生熟悉的頻率分布直方圖入手，類比圖象法表示函數的直觀性，體會圖形對刻畫處在某一區間內的樣本點的多少的直觀效果，引出正態密度函數，為下面學習正態分布的概念作鋪墊.

3. 基于抽象，形成正態分布的定義

教師講解：圖3的鐘形曲線是函數圖象嗎？如果是，這個函數是否存在解析式呢？答案是肯定的. 棣莫弗找到了鐘形曲線的解析式[fx=1σ2πe-x-μ22σ2，][x∈R]，其中[μ∈R，σgt;0]為參數. 我們稱[fx]為正態密度函數，稱它的圖象為正態密度曲線，簡稱正態曲線. 但當時它只是作為一個數學表達式，直至高斯提出“正態誤差”的理論后，正態密度函數才獲得了“概率分布”的身份.

若隨機變量X的概率分布密度函數為[fx]，則稱隨機變量X服從正態分布，記為[X][～][Nμ，σ2]. 特別地，當[μ=0，σ=1]時，稱隨機變量X服從標準正態分布，即[X][～][N0，1].

教師可以適當補充正態分布解析式的探究史.

教師補充：棣莫弗曾稱正態密度曲線為神之曲線，正態密度函數雖然復雜，但是也十分優美，解析式中包含了圓周率π及自然對數底數e這兩個常數、最小質數的算術平方根[2]和[μ，σ]兩個參數；高斯是近代數學奠基者之一，被認為是歷史上最重要的數學家之一，享有“數學王子”之稱. 用“高斯”命名的成果達110個. 德國的10馬克紙幣上就印有高斯的頭像和正態密度曲線.

正態分布不但在概率與統計中占有重要地位，還廣泛存在于自然現象、生產和生活實踐中. 在現實生活中，很多隨機變量都服從或近似服從正態分布. 例如，測量產生的誤差，流水線產品的某種質量指標，某地每年某月份的氣溫、降水量等.

師生活動：教師利用GeoGebra軟件作圖，通過改變樣本數據的分組和組距，顯示正態密度函數的解析式.

練習：用符號表示圖4中的陰影區域，并解釋其意義.

預設答案：若[X][～][Nμ，σ2]，則如圖4所示，X取值不超過x的概率[PX≤x]為圖中區域A的面積，而[Pa≤X≤b]為圖中區域B的面積.

【設計意圖】通過介紹正態密度函數的數學史料，讓學生了解正態分布的概念. 雖然概率與統計問題并非確定性數學問題，但是正態密度函數定義的準確性可以通過類比解析法表示函數來體現.

4. 借助函數，研究正態密度曲線的特征及其參數的意義

問題3：在研究函數的一般觀念的指導下，觀察正態密度曲線及其對應的密度函數，類比函數的研究思路，你能發現正態密度曲線具有哪些特征？

師生活動：教師引導學生從函數的性質出發，歸納正態密度函數的特征.

預設答案：由正態密度函數及其圖象可以發現，正態密度曲線具有以下特點.

（1）曲線是單峰的，它關于直線[x=μ]對稱；

（2）曲線在[x=μ]處達到峰值[1σ2π]；

（3）當[x]無限增大時，曲線無限接近[x]軸.

【設計意圖】從“數”與“形”兩個方面反映了事物的屬性. 從“形”上觀察圖象得出性質，從“數”上證明了對應的性質.“以形助數”和“以數解形”相結合，可以使復雜問題簡單化，從而讓學生體會數形結合的便捷.

追問：正態密度函數中的參數[μ]和[σ]對正態密度曲線的形狀有何影響？它們反映了正態分布的哪些特征？

師生活動：教師提出問題，學生認真思考后發表看法，教師評價完善.

預設答案：函數[y=fx-μ]的圖象可由[y=fx]的圖象平移得到. 因此，在參數[σ]取固定值時，正態密度曲線的位置由[μ]確定，且隨著[μ]的變化而沿[x]軸平移，如圖5所示.

當[μ]取定值時，因為曲線的峰值[1σ2π]與[σ]成反比，而且對任意的[σgt;0]，正態密度曲線與[x]軸之間的區域的面積總為1. 因此，當[σ]較小時，峰值高，正態密度曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當[σ]較大時，峰值低，正態密度曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖6所示.

觀察圖5和圖6可以發現，參數[μ]反映了正態分布的集中位置，[σ]反映了隨機變量的分布相對于均值[μ]的離散程度. 實際上，若[X][～][Nμ，σ2]，則[EX=][μ]，[DX=σ2]. 在實際問題中，參數[μ，σ]可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計.

【設計意圖】在一般觀念的指導下，類比函數的單調性、對稱性、最值等性質的研究方法，研究正態密度函數的性質，并分析不同參數對性質的影響，最終把握正態分布的特征. 體會研究函數性質的重要目的是更好地把握變化中的規律.

5. 依據密度曲線，分析解決問題

教師講解：假設[X][～][Nμ，σ2]，可以證明：對給定的[k∈N*]，[Pμ-kσ≤X≤μ+kσ]是一個只與[k]有關的定值. 特別地，[Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.682 7]，[Pμ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.954 5，Pμ-3σ≤X≤μ+3σ≈][0.997 3]. 上述結果可用圖7表示.

問題4：在問題2中的食鹽流水線上抽取食鹽，隨機抽取一袋，發現誤差超過6 g，你能做出什么判斷？判斷的依據是什么？如果規定誤差的絕對值不超過4 g就認為合格，估計這批食鹽的合格率.

預設答案：在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區間[μ-3σ，μ+3σ]內，而在此區間以外取值的概率大約只有0.002 7，通常認為這種情況幾乎不可能發生. 質量檢測中，如果沒有外力干預，在檢測出的產品為極端產品（誤差過大，出現小概率事件）時，則認為此批產品不合格，其中蘊含的數學道理即為正態分布的[3σ]原則.

6. 目標檢測，作業布置

完成人教A版教材選擇性必修第三冊第87頁習題7.5第1[～]4題.

上述教學設計滲透著與函數的類比，在這樣的方法論指導下學習正態分布，不僅可以讓學生進一步理解隨機變量在描述隨機現象中的作用，還能讓學生感悟其中蘊含的數學思想，加深對概率一般觀念的理解.

參考文獻：

［1］章建躍. 核心素養導向的高中數學教材變革（續4）：《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫［J］. 中學數學教學參考（上旬），2019（10）：7-11.

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［3］薛紅霞. 轉變數學知識觀" 做好單元教學設計［J］. 數學通報，2022，61（2）：12-16.

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引用格式：張永剛，張維亞. 一般觀念引領下的概率教學探索：以“正態分布”為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（11）：10-15.

基金項目：山西省教育科學“十四五”一般規劃課題——高中數學綜合實踐活動實施范式的研究（GH-240624）.

作者簡介：張永剛（1982— ），男，高級教師，主要從事高中數學教育和課堂教學研究；

張維亞（1998— ），女，二級教師，主要從事高中數學教育和課堂教學研究.