高考試題溯源與高三復習之回歸教材

摘" 要：以2024年高考數學全國卷中的解析幾何試題為例進行教材溯源，探討高考試題與教材的關聯. 嘗試在結構化視域下回歸教材，挖掘教材素材，并進行深入探究、發現、類比和創新研究．提出高三復習備考回歸教材的路徑與方法．

關鍵詞：高三復習；試題溯源；回歸教材；結構化視域；路徑與方法

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）11-0043-06

數學教材依據數學課程標準編寫，為教師實施教學和學生學習提供了權威性素材與資源，它不僅具備完整的知識體系，更是培養學生數學核心素養和適應新時代教育標準的載體. 高考數學試題的命制與教材緊密相關，唯有理解教材與高考試題的內在聯系，通過對教材問題的開放性思考、探究性拓展、應用性研究、創新性思維來挖掘教材資源，以及對教材資源的再開發、再拓展，促進學生深入理解數學知識，才能提高高三復習效率.

本文以2024年高考數學全國卷中的解析幾何試題為例，探究高考試題與人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“人教A版教材”）的關聯，思考結構化視域下的教材回歸，并提出高三復習中做好教材回歸的有效教學策略和建議.

一、溯源與探索，從高考到教材

對高考數學試題進行溯源，我們發現很多高考數學試題都植根于教材. 一方面，反映了高考數學不斷強化與課程標準和教材的銜接；另一方面，反映了高考注重對能夠普適性解決學科問題的本源性方法的考查，讓學生掌握原理、內化方法，而不是把重點放在解題的技巧性上，從而引導一線教學將重心回歸課堂，把教材內容講透、講深，注重作業題、練習題減量提質.

例1 （2024年全國甲卷· 理20（2））已知橢圓C：[x24+y23=1]的右焦點為F，點[M]在橢圓C上，且[MF⊥][Ox]，P是準線與x軸的交點，過點[P4，0]的直線交橢圓C于A，B兩點，N為線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q，證明：[AQ⊥Oy].

教材溯源：（人教A版教材選擇性必修第一冊第136頁例5）經過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，經過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.

我們來研究這兩道題的關聯：從幾何背景模型來看，兩道題目的命制背景分別是橢圓和拋物線，兩者都屬于圓錐曲線；從證明思路來看，兩者都是證明兩個關鍵點的縱坐標相同，所證結論實質上是相同的；從形式上看，這兩道題的條件是略有差異的，教材例題的條件中已知點D是準線上的點，而高考試題的條件中的點是準線與對稱軸的交點. 其實，我們把教材例題中的點D移至準線與對稱軸交點的位置，進行下面的探究，會發現結論仍然成立.

探究1：已知拋物線[y2=2px pgt;0]的焦點為F，P是拋物線準線與x軸的交點，過點P的直線交拋物線于A，C兩點，M在拋物線上，MF垂直于x軸，經過點A和拋物線頂點O的直線交MF于點Q，求證：[CQ⊥Oy].

探究1是前面的教材例題的延伸. 如圖1，把教材例題中直線AF對應改編為直線AP. 從對稱的觀點來看，點F與點P關于點O對稱，點D與點Q關于點O對稱且作用等價. 所以，我們可以探究CQ與BD是否具有相同性質：平行于此拋物線的對稱軸，即[CQ⊥Oy.]除幾何背景由拋物線換成橢圓外，這個問題與例1一致.

這樣就找到了該高考試題的源頭. 同時，我們也會發現許多高考試題都是經過改編、綜合、延伸等方式由教材例題或習題衍生而來，具體表現為教材例題、習題數據的變更，條件的拓展延伸，問題背景的變換，重要結論的應用，以及相關學習內容的探究與發現.

問渠那得清如許？為有源頭活水來. 高考復習的源頭就是教材，我們還可以在結構化視域下對前面的教材例題進行開發和創新，使教材知識不斷更新和發展，成為高考試題的源頭活水.

探究2：觀察這一拋物線結論的結構特征，想一想此結論能否拓展到雙曲線中？若相應的雙曲線有同樣的性質，點P的位置在哪里？若沒有，依據是什么？

我們將此問題放在圓錐曲線這一大系統中結構化思考. 根據其特征，發現PF的中點N與拋物線中的頂點O的地位等價. 由此，我們對圓錐曲線的這一類問題進行一般性規律研究.

探究3：已知橢圓C：[x2a2+y2b2=1 agt;bgt;0]，點M在橢圓上，F是橢圓的右焦點，[MF⊥Ox]，P是右準線與x軸的交點，過點P作直線與橢圓C交于A，B兩點，N是線段FP的中點，直線NB交MF于點Q，AQ與x軸是否平行？說明理由.

探究4：已知雙曲線C：[x2a2-y2b2=1 agt;0，bgt;0，]點M在曲線C上，F是曲線C的右焦點，[MF⊥Ox]，P是右準線與x軸的交點，過點P作直線與雙曲線C交于A，B兩點，N是線段FP的中點，直線NB交MF于點Q，AQ與x軸是否平行？說明理由.

我們把前述一般性規律特殊化，選擇一個計算較為方便的雙曲線方程進行創新命題.

創新題：已知雙曲線C：[x24-y25=1]的右焦點為F，M是雙曲線上一點，[MF⊥Ox]，P是右準線與x軸的交點，過點P作直線與雙曲線C交于A，B兩點，N是線段FP的中點，直線NB交MF于點Q，求證：AQ⊥Oy.

我們還可以調整研究結論，由平行的性質結論聯想到是否有垂直關系的問題探究.

再發現：已知橢圓C：[x2a2+y2b2=1 agt;bgt;0]，點M在橢圓上，F是橢圓的右焦點，[MF⊥Ox]，P是右準線上的動點，過點P作直線與橢圓C交于A，B兩點，N是線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q，是否存在點Q，使得[AQ⊥FP]？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

類比創新：已知雙曲線[C： x2a2-y2b2=1 agt;0，bgt;0，]點M在雙曲線上，F是雙曲線的右焦點，[MF⊥Ox]，P是右準線上的動點，過點P作直線與雙曲線C交于A，B兩點，N是線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q，是否存在點Q，使得AQ⊥FP？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

波利亞認為，解題是一種本領，就像游泳、滑雪、彈鋼琴一樣，你只能夠靠模仿和實踐才能學到它. 要從解題中得到最大的收獲，你就應該在所做的題目中尋找它的特征，這些特征在你以后去求解其他問題時能起到指引的作用. 因此，從高考試題到教材的溯源，就是探尋命題規律，挖掘教材中的命題素材，關注知識整體結構和互聯互通，創設適當的問題情境并提出創新探究問題，在結構化視角下研究問題特征和解題規律，在模仿和實踐過程中提升解題能力，感悟數學的本質，達到強化數學思想方法和落實數學核心素養的目的.

二、回歸與研究，從教材到高考

回歸，是一個尋找并識別新知識的認知起點的過程. 因此，進行回歸時，要先努力尋求所學的新知識或面臨的新問題與學習者頭腦中已有知識之間的聯系，然后思考是否可以利用已有知識表征或解釋這些新知識或新問題. 隨著高考改革的推進，高考數學試卷的考查內容與考查方式都發生了較大的變化，高考數學更加注重考查學生獨立自主探索、靈活運用所學知識發現問題與解決問題的能力，通過“反套路、反二級結論”等手段不斷降低“機械刷題”的收益. 這些變化和舉措要求我們將高三復習的重心要轉到思維訓練上來，只有回歸教材，不斷開發教材上的問題，通過主動探究發現和解決新問題，才能從根本上培養學生的創新精神，提升他們的數學核心素養.

例2 （人教A版教材選擇性必修第一冊第115頁第5題）已知P是橢圓[x25+y24=1]上的一點，且以點P及焦點F1，F2為頂點的三角形的面積等于1，求點P的坐標.

該題與焦點三角形相關，有著豐富的研究背景. 三角形面積和底邊長都已經確定，從幾何直觀上看，點P既在直線[y=1]或[y=-1]上又在橢圓上；從幾何對稱角度來看，點P還可以認為是以[OP]為直徑的圓與橢圓的交點. 通過幾何作圖，我們也會發現這就是雙軌跡模型：首先，把問題歸結為要確定一個點. 然后，把條件分成兩部分，使得對每一部分，未知點都形成一個軌跡，而每個軌跡都必須是一條直線或一個圓. 這個著名的解題模型是通過將問題分解為幾個關鍵步驟，引導學生先從幾何直觀上理解問題，然后運用代數方法進行求解. 其應用流程如下：首先，學生應該對題目進行細致解讀，明確題意，并識別題目中的關鍵軌跡條件及幾何要素；其次，從幾何視角出發，通過圖形繪制及對關鍵點、線、面的標注，探索兩個相關軌跡的數學聯系，可能涉及方程、不等式或函數關系的構建；再次，將幾何關系轉化為代數表達，并采用代數手段進行求解；最后，通過解方程、優化問題或證明幾何性質等步驟驗證代數解與幾何直觀的一致性，以確保解答的正確性. 這種方法有助于學生更好地把握解析幾何問題的結構，提高解題效率，強調了解題的針對性和可操作性，有助于提高學生的解題能力.

基于上述認識，我們對這一教材素材進行如下深度開發.

探究1：已知P是橢圓[x25+y24=1]上的一點，若[PF1 ? PF2=154]，求點P的坐標.

在解決問題的過程中發現，若設點[Px0，y0]，則有[PF1 · PF2=-1-x0，-y0 · 1-x0，-y0=x20+y20-1=][154]，即[x20+y20=194]. 顯然，點[Px0，y0]既在圓上又在橢圓上. 這仍然是雙軌跡模型！

把這個問題一般化，尋找點[P]運動變化時有哪些不變的關系.

發現：已知F1，F2是橢圓C：[x2a2+y2b2=1 agt;bgt;0]的左、右焦點，則[PF1 ? PF2=x20+y20-c2=PO2-c2]（不變關系），且[b2-c2≤ PF1 ? PF2≤ a2-c2=b2]（幾何觀察得到的范圍關系）.

類比：已知[F1，F2]是雙曲線C： [x2a2-y2b2=1 agt;0，bgt;0]的左、右焦點，則[PF1 ? PF2=x20+y20-c2=PO2-c2].

在解析幾何中，作圖是關鍵步驟. 鼓勵學生觀察問題中的變量與不變量，通過清晰的邏輯推理，確立它們之間的關系，以理解信息間的相互聯系.

探究2：已知P，Q是過橢圓[x25+y24=1]右焦點F2的直線與橢圓的交點，且[△F1PQ]的面積為[103]，求直線PQ的方程.

該題對教材素材問題進行拓展，變化了焦點三角形的樣態，由求點的坐標升級為求直線的方程，學生需要觀察[△F1PQ]的面積與直線PQ的關系，從需求中尋找突破點. 對如何計算三角形的面積進行了方法選擇，為避免因直線斜率不明而進行的討論，設直線方程的形式為[x=my+1]，這是對解題過程進行了優化. 學生不僅需要掌握獨立的知識點，還需要構建知識網絡，通過探索數學知識之間的內在聯系，提高解題效率，減少不必要的計算與推理.

若改變問題中的幾何背景，我們還可以進行如下探索.

發現：已知直線l與橢圓[x25+y24=1]交于P，Q兩點，當△OPQ的面積為[5]時，

（1）若直線OP，OQ的斜率存在，求證[kOPkOQ=-45;]

（2）若直線PQ的斜率存在，求證：[kOMkPQ=kOPkOQ.]

該題對運算能力要求很高. 學生應該通過圖形來整理信息，洞察動態問題中的不變規律，解題時必須先分析清楚問題中幾何圖形的要素及要素間的基本關系，然后建立方程解決問題，從而有效避免復雜運算.

再發現：如圖2，延長PO交橢圓于點S，連接QS，則[kQSkQP=-45]；如圖3，過點P作關于x軸的對稱點N，則直線NQ的斜率是定值.

一般化：直線l與橢圓[x2a2+y2b2=1 agt;bgt;0]交于P，Q兩點，當△OPQ的面積為[12ab]時，可以得到以下結論.

① 若直線OP，OQ的斜率存在，則[kOPkOQ=][-b2a2].

② 若直線PQ的斜率存在，則[kOMkPQ=kOPkOQ=][kQSkQP=-b2a2].

③ 設[Px1，y1，Qx2，y2]，則[x21+x22=a2，y21+y22=b2.]

④ 設點P關于x軸（y軸）的對稱點為N，則[k2NQ=b2a2.]

⑤ 設[Px1，y1，Qx2，y2]，則[S△OPQ=12x1y2-x2y1.]

學生需要具備敏銳的觀察力和扎實的數學基礎，細致分析題目條件，挖掘隱含信息，并綜合運用所學知識進行問題的推導與計算.

創新題：已知過點[P52， 3]的直線l與橢圓[x25+y24=1]交于另一點Q，延長PO交橢圓于點S，若[S△PQS=25]，求直線PQ的方程.

上面我們對教材素材進行了研究和開發，也可以嘗試用這些成果解決高考試題.

（2024年新課標Ⅰ卷·16）已知[A0，3]和[P3， 32]為橢圓[C： x2a2+y2b2=1 agt;bgt;0]上兩點.

（1）求C的離心率；

（2）若過P的直線[l]交C于另一點B，且[△ABP]的面積為9，求[l]的方程.

對于第（1）小題，易得橢圓C的方程為[x212+y29=1]，故離心率為[12].

對于第（2）小題，觀察圖形結構及題設數字特征，可以有以下發現.

① △AOP的面積為定值[92]. 如圖4，結合橢圓的對稱性，發現：橢圓C上的點A和點P關于原點O的對稱點即為所求的點B. 易知，當點B的坐標為[0，-3]和[-3，-32]時，△ABP的面積為9. 此時，所求直線[l]的方程為[y=32x-3]和[y=12x].

② 從題設的數字特征出發，很容易發現當點B為橢圓C的下頂點[0，-3]時，△ABP的面積為9. 由于AP是定長，利用等積轉化，過下頂點B作AP的平行線，則該平行線上所有的點與點A，P構成的三角形的面積均為9，如圖4所示. 顯然，另一個點B為該平行線與橢圓的交點，問題迎刃而解.

該題與例2的教材素材問題極為相似，都是在問題解決的過程中利用了圖形關聯和數學模型，所用原理是相通的，思想方法是一致的. 同時，學生可以感悟到解析幾何中的運算是“帶有幾何特征的運算”. 因此，從教材到高考的回歸，就是在結構化視域下回歸教材，挖掘教材素材，并進行深入探究、發現、類比及創新研究，尋找高考試題的解題之策.

三、路徑與方法，從復習到備考

回歸教材是高考數學備考的有效路徑，以教材素材為主線，以問題解決為核心，關注學生對必要知識的理解和思想方法的領悟，以及學生知識遷移能力的創新，幫助學生深入理解數學本質，提升數學核心素養. 教師要引導學生在結構化視域下回歸教材，通過挖掘教材素材、理解教材知識體系、溯源教材例題和習題、深化數學思想方法，進行探究、發現、類比和創新研究.

1. 回到概念，夯實基礎知識

數學概念是根植于數學研究對象本質屬性的思維產物. 數學概念的教學是數學教學的根本，關系到學生對數學問題本質的理解和對數學基本思想的領悟，是形成數學核心素養的基礎. 回到概念中去，重視利用教材上的概念分析和推理問題，重視利用基本概念、原理和公式解決問題. 對教材中的概念進行梳理，建立概念框架，通過不同角度和層面深入理解概念，形成清晰的結構化概念體系.

2. 回到模型，掌握基本方法

數學模型是解決問題的工具，有助于深化學生對數學概念的理解，提高學生的解題能力，能將分散的知識點有效串聯起來，形成系統的知識網絡. 通過數學模型的復習和應用，學生能夠掌握解題的通用方法，拓展解題思路，及時發現并糾正錯誤，從而在考試中迅速識別題型，準確運用模型，提高解題效率和質量. 回歸教材，重建教材中的數學模型，幫助學生理解模型的應用原理，通過探究、類比、聯想、一般化和特殊化等對已有數學模型進行探源、拓展、延伸，形成創新學習能力.

3. 回到問題，優化認知結構

回到問題，即不斷回到問題的原點思考和探索. 通過問題溯源，學生能更清晰地認識到復習教材內容的重要性. 發現問題和提出問題的教學是“四能”全面發展的必要條件，也是創新意識和科學精神的重要表現. 在教學中，教師需要精心設計具有研究價值的問題供學生參與和研究，對同一數學表達用不同的“眼光”觀察，用不同的觀點分析，從不同角度理解，聯想其在不同背景中的含義，從而迅速找到解決問題的“入口”，得到各種解法. 教材中的例題和習題是問題的根源，創設適宜的教學情境，提出創新性的探究問題，通過一般化、特殊化、類比、聯想等手段，對現有知識進行深入探究、拓展和延伸. 挖掘命題素材，揭示教材中形式不同但本質相同、形式相同但本質不同的問題的內在聯系，優化學生的認知結構.

4. 回到思想方法，提升關鍵能力

數學思想方法是指導數學概念理解、數學知識掌握、數學問題解決及數學思維訓練的一般觀念和一般方法. 這些思想方法是從數學的基本概念、原理和實踐中抽象出來的，反映了數學的本質特征和內在聯系，是數學認知活動中的高級形式. 例如，利用分類討論、數形結合、轉化與化歸、函數與方程、數學建模等思想方法將復雜問題轉化為簡單問題，將陌生問題轉化為熟悉問題，以便于解決. 以數學思想方法為紐帶，引導學生構建清晰、穩定、可辨別的數學知識結構圖，理解知識及其蘊含的數學思想方法，以及知識間的邏輯關系和關聯方式，以深化數學理解，實現能力提升.

四、結語

數學教材是源，高考試題是流. 從高考試題到數學教材的溯源，可以探尋命題規律，挖掘教材中的命題素材，提升解題能力；而從數學教材到高考試題的拓展，則可以深化理解，強化思想，優化結構，培養數學核心素養. 在高三數學復習中，教師應該緊扣課程標準，深度挖掘教材，引導學生深化理解與建立聯系，強化思想與注重探究，優化結構與創新延伸，從而提升學生的關鍵能力和數學核心素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］趙軒，翟嘉祺，郭淑媛. 強調靈活考查思維" 聚焦創新人才選拔：2024年高考數學新課標卷評析［J］. 數學通報，2024，63（6）：44-47.

［3］波利亞. 數學的發現：對解題的理解、研究和講授［M］. 劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學出版社，2006.

［4］鐘志華，李善良. 論回歸性教學策略［J］. 中國數學教育（高中版），2022（1 / 2）：22-28.

［5］于涵，任子朝，陳昂，等. 新高考數學科考核目標與考查要求研究［J］. 課程·教材·教法，2018，38（6）：21-26.

［6］程仕然. 基于學科素養的高中數學概念教學實踐研究［J］. 數學通報，2023，62（8）：11-15.

［7］吳鍔. 轉換問題視角" 有效培育“四能”：以微專題“一個三角形面積問題的激活與串講”為例［J］. 數學通報，2018，57（10）：35-38，43.

引用格式：程仕然，吳鍔. 高考試題溯源與高三復習之回歸教材：以2024年高考數學全國卷中的解析幾何試題為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（11）：43-48.

基金項目：江蘇省社科基金項目——江蘇新高考背景下數學學科育人實現機制研究（20JYB007）；2022年度“姑蘇教育人才”項目——大概念統領下高中數學課堂教學實踐研究（RCZZ202217）.

作者簡介：程仕然（1977— ），男，正高級教師，主要從事數學教育教學研究；"吳鍔（1960— ），男，正高級教師，主要從事數學教育教學及中高考數學命題研究．