關(guān)系視域下曲線的生成路徑與問題探究

摘" 要：關(guān)系視域下理解曲線的生成路徑，以“點動成線”的動態(tài)思維把握基于特征關(guān)系的曲線與基于方程的曲線，并由此進行曲線探索與問題解決. 這種方式有助于學生深入理解數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，提高思維品質(zhì)和認知高度，促進能力和素養(yǎng)的實質(zhì)性提升.

關(guān)鍵詞：關(guān)系視域；解析幾何；曲線；問題探究

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）11-0028-05

解析幾何的核心在于運用坐標法將幾何問題代數(shù)化，即在幾何對象的基本構(gòu)成元素“點”與實數(shù)對之間建立一一對應關(guān)系. 用代數(shù)方法刻畫和研究幾何問題，特別是借助運動變化過程中的規(guī)律性，用方程刻畫變量間的相互依存關(guān)系，實現(xiàn)了由靜到動、從常量到變量的突破. 高中數(shù)學中的解析幾何，主要研究常見的曲線（直線、圓、圓錐曲線），在實際教學或?qū)W習過程中，師生往往專注于曲線方程的代數(shù)操作和應試技巧，對解析幾何深層次本質(zhì)的探尋和理解相對輕視.

數(shù)學本質(zhì)上是一門研究關(guān)系的學科，有必要在關(guān)系視域下審視解析幾何. 解析幾何的教學重點應放在感悟曲線是如何生成的、如何借助坐標系得到方程及怎樣利用方程研究曲線上. 其中，用方程研究曲線往往成為教師教學和命題測試的重心，相關(guān)的研究和試題多如牛毛，在此不再贅述. 下面，重點討論曲線的生成路徑與問題探究，旨在從中感悟解析幾何的本質(zhì)，提升學生思維的品質(zhì)與高度.

一、關(guān)系視域下曲線的生成路徑

數(shù)學源于生活的直觀和經(jīng)驗. 在數(shù)學發(fā)展初期，往往是基于現(xiàn)實的抽象，從感性具體到理性具體. 例如，通過研究圓錐截線得到圓錐曲線的性質(zhì)，有些性質(zhì)由于其突出的數(shù)學屬性而上升為相應曲線的定義（如橢圓的第一定義和統(tǒng)一定義）. 隨著對數(shù)學認知和研究的深入，人類不再滿足于對由外部世界抽象出的數(shù)學對象的研究，而是越來越偏向于基于邏輯的抽象，從理性具體到理性一般，探索數(shù)學內(nèi)部的嚴謹性與和諧性. 因此，更多曲線被人為地創(chuàng)造出來，這些曲線的構(gòu)造思路大致可以分成基于特征式、基于方程、基于曲面相交三種方式.

1. 基于特征式的曲線

現(xiàn)行高中數(shù)學教材對解析幾何的編排均采用基于特征的解析法思路，即先明確曲線的幾何特征（表1），再通過“建系—設點—列式—化簡—檢驗”得到相應曲線的方程，最后用方程進一步研究曲線的性質(zhì). 這樣的編排方式展現(xiàn)了動點的特征式（幾何性質(zhì)）與其對應曲線的關(guān)系，能夠凸顯知識的系統(tǒng)性、方法的一致性和思想的普適性.

通過特征關(guān)系表示曲線，既為用綜合法研究曲線奠定了基礎(chǔ)，又為借助坐標系用代數(shù)方法研究曲線開辟了新的路徑. 同時，這也是一個由數(shù)到形的過程，只是這里的數(shù)還沒有上升到方程的層面，僅僅是動點所滿足的定量關(guān)系.

某個特定的曲線常常擁有自身的特征式（如圓錐曲線）；反之，某個特征式對應某個特定的曲線. 由此，可以通過建立特征式創(chuàng)造某種曲線. 例如，通過特征式[PA=λPB]（[A，B]為定點，[λ]為大于[0]的定值）得到阿波羅尼斯圓；通過特征式[PA ? PB=λ]（[A，B]為定點，[λ]為大于[0]的定值）得到卡西尼卵形線.

2. 基于方程的曲線

從定量關(guān)系過渡到曲線方程，雖看似僅一步之遙，只需要引入坐標系，但這一跨越卻耗費了人類數(shù)千年的時間才得以實現(xiàn). 這充分說明了思維轉(zhuǎn)變的難度. 因此，教師在教學中應重視引導學生體驗從歐氏幾何到解析幾何探究方法的轉(zhuǎn)變，理解坐標法是如何實現(xiàn)形與數(shù)的相互轉(zhuǎn)換的.

基于曲線的幾何特征，可以借助坐標系將動點間的定量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，再利用點與實數(shù)對的雙射性及推理過程的等價性，確立曲線與方程的對應關(guān)系（具有純粹性和完備性）. 因此，每條特定的曲線都能導出一個特定的方程；反之亦然，每個特定的方程也定義了一條特定的曲線. 由此打開了從方程到曲線的路徑，同時數(shù)學思維的創(chuàng)造性極大地擴展了曲線的多樣性.

借助信息技術(shù)軟件，每個人都可以由方程創(chuàng)造出相應的曲線. 例如，在GeoGebra軟件的指令欄中輸入“x3 - x + y2 = 0”，就可以得到如圖1所示的曲線.

數(shù)學上很多有名的曲線，如珍珠線、蔓葉線、箕舌線、星形線、雙紐線、心臟線、雙曲螺線、三葉玫瑰線等，都能借助數(shù)學軟件迅速得到相應圖形. 值得一提的是，很多曲線用極坐標方程或參數(shù)方程表示非常方便，借助含參數(shù)的極坐標方程或參數(shù)方程，能夠迅速得到很多優(yōu)美的曲線. 例如，在GeoGebra軟件的指令欄中輸入“曲線（（1 + sin（int）；t + cos（jnt）），t，0，2π）”，即可得到極徑為1 + sin（int），極角為t + cos（jnt）（[i，j，n]為參數(shù)，[t]為變量）的曲線，改變參數(shù)[i，j，n]的值就會得到各式各樣的優(yōu)美曲線，如圖2所示（[n=9]）.

3. 基于曲面相交的曲線

點動成線、線動成面. 逆向思考，兩條直線的交點定義了一個點，而兩個曲面（平面可以視為特殊曲面）的交線則定義了一條曲線. 例如，通過平面截圓錐面產(chǎn)生圓錐曲線；通過圓柱面和球面相交得到維維安尼曲線（圖3）. 在實際問題的建模中，這種由兩個曲面相交形成的曲線十分常見. 鑒于學生的認知水平和思維能力，高中解析幾何的教學主要集中在平面曲線上，但對于有能力深入探索的學生，教師可以適當拓展教學內(nèi)容. 限于篇幅，在此不作論述.

二、高中階段有關(guān)曲線的探究與教學

1. 基于特征式的曲線問題

給定動點的幾何特征就確定了曲線，再結(jié)合高中數(shù)學涵蓋的知識與思想方法，便可以命制相關(guān)試題. 幾何特征的給定方式多種多樣，其中最為常見的是基于幾何要素（如長度、方向等）并結(jié)合四則運算表達的相應等量關(guān)系.

例如，依據(jù)動點[P]與定點[A，B]的距離建立關(guān)系式，考查點[P]的軌跡：[PA+PB=t]，[PA-PB=t]，

[PAPB=t]，[PA2+PB2=t]，……由此便可以得到橢圓、雙曲線、卡西尼卵形線、圓等曲線.

例1" 已知[A-1，0，B1，0]，滿足條件[PA+]

[PB=4]的動點[P]的軌跡為[C1]，滿足條件[2QA-QB=4]

的動點[Q]的軌跡為[C2]，則下列結(jié)論正確的是（" " ）.

（A）軌跡[C1]既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

（B）軌跡[C2]既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形

（C）軌跡[C2]上的點到點[A]的距離的最小值為2

（D）軌跡[C1]與軌跡[C2]有兩個不同的交點

【評析】這是筆者基于特征關(guān)系編制的一道多選題. 題目給出了軌跡[C1]與軌跡[C2]相應的特征式，由教材知識不難得知軌跡[C1]是方程為[x24+y23=1]的橢圓，所以選項A是正確的. 對于軌跡[C2]，通過作圖嘗試不難感知其軌跡的存在性，但因不易作出其圖形，便很難從整體的圖形入手分析它的性質(zhì). 這時，可以嘗試分析特征式[2QA-QB=4]. 一方面，假如點[M，N]關(guān)于[x]軸對稱，則必有[MA=NA， MB=NB]，由點動成線、線由點構(gòu)成可知軌跡[C2]必然關(guān)于[x]軸對稱. 另一方面，假設[Qx，y]，由特征式可得方程[2x+12+y2-x-12+y2=4]. 將方程中的[y]用[-y]代換，所得方程與原方程等價，所以軌跡[C2]關(guān)于[x]軸對稱，從而判斷選項B是錯誤的. 對于選項C，由特征式結(jié)合[QB≥0]可知[QA≥2]. 當[QB=0]，即點[Q]的坐標為[1，0]時，[QA=2]，由此判斷其正確性. 如果試圖使用方程分析選項C，將會因為機械處理相關(guān)方程而增加解決問題的復雜程度. 對于選項D，由特征式列方程組[MA+MB=4，2MA-MB=4，" 得MA=83]（[M]為[C1]與[C2]的交點），從而可知點[M]在圓[C： x+12+y2=649]上，作圖即可得出結(jié)論. 倘若沒有認真分析，使用軌跡[C1]的橢圓方程列方程組[x24+y23=1，2x+12+y2-x-12+y2=4]處理起來會麻煩很多.

事實上，利用GeoGebra軟件能夠迅速得到軌跡[C2]的圖形（如圖4）. 對命題者來說，信息技術(shù)軟件的使用可以大幅度提升探索和命制試題的效率.

曲線的特征式不僅定義了曲線，也揭示了其內(nèi)在性質(zhì). 而研究曲線，首先要用幾何的眼光審視，嘗試利用其性質(zhì)分析，其次才是考慮是否需要通過代數(shù)轉(zhuǎn)化解決問題.

又如，依據(jù)動點[P]與定點[A]的距離[PA]和動點[P]到定直線[l]的距離[dP→l]建立如下關(guān)系：[PA+dP→l=t]，[PA-dP→l=t]，[PAdP→l=t]，[PAdP→l=t]，……由此便可以得到點[P]的相應軌跡.

例2 （2024年新課標Ⅰ卷·11）如圖5，造型lt;D：＼1＼新建文件夾＼中國數(shù)學教育（高中版）202411＼中國數(shù)學教育（高中版）202411＼Image＼image83.pnggt;可以看作圖中曲線[C]的一部分，已知[C]過坐標原點[O]，且[C]上的點滿足橫坐標大于[-2]，到點[F2，0]的距離與到定直線[x=a alt;0]的距離之積為4，則（" " ）.

（A）[a=-2]

（B）點[22，0]在[C]上

（C）[C]在第一象限的點的縱坐標的最大值為1

（D）當點[x0，y0]在[C]上時，[y0≤4x0+2]

【評析】此題形式新穎、不落俗套、不玩技巧，綜合性較強，要求學生能夠根據(jù)條件尋找合適的突破口，考查了思維的靈活性和敏捷性. 正確選項是ABD，詳細分析略.

再如，依據(jù)動點[P]與定點[A，B]構(gòu)成的直線的斜率建立如下關(guān)系：[kAP+kBP=t]，[kAP-kBP=t]，[kAPkBP=t]，[kAP=tkBP]，[kAP+nkBP=m]，……由此便可以得到點[P]的相應軌跡. 人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》選擇性必修第一冊中有多道相關(guān)的例題和習題，在此不再贅述.

總之，通過構(gòu)建與動點相關(guān)的特征式得到相關(guān)曲線，這種方法與人類尋找規(guī)律、描述規(guī)律、刻畫規(guī)律、研究規(guī)律的求知思維相契合. 將其融入解析幾何的教學中，有助于學生更順暢地理解曲線與方程的關(guān)系.

2. 基于方程的曲線問題

通過構(gòu)造方程捕捉曲線，用代數(shù)方法探究曲線的形狀或性質(zhì). 這種由數(shù)到形的探究凸顯了幾何直觀和代數(shù)運算之間的融合，并可由此感悟數(shù)形關(guān)系的轉(zhuǎn)化，加強對數(shù)學整體性的理解.

例3 （2019年北京卷·理8）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線[C：x2+y2=1+xy]就是其中之一（如圖6）.

給出下列三個結(jié)論：

① 曲線[C]恰好經(jīng)過[6]個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；

② 曲線[C]上任意一點到原點的距離都不超過[2]；

③ 曲線[C]所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于[3].

其中，所有正確結(jié)論的序號是（" " ）.

（A）①" " （B）②

（C）①②" " （D）①②③

【評析】由方程[x2+y2=1+xy]不難推出曲線是關(guān)于[y]軸對稱的. 由此可知，只需要研究[y]軸右側(cè)圖象（對應方程為[x2+y2=1+xy]（x ≥ 0））. 結(jié)合圖形，由代數(shù)方法不難得出曲線上的整點為（0，1），（1，1），（1，0），（0，-1），（-1，0），（-1，-1），共6個. 由[x2+y2=1+xy≤1+x2+y22]，得[x2+y2≤2]. 故曲線[C]上任意一點到原點的距離都不超過[2]. 由圖6不難看出，“心形”區(qū)域在第一象限內(nèi)含有一個面積為1的正方形，在第四象限內(nèi)含有一個面積為[12]的等腰直角三角形. 由此可知，“心形”區(qū)域面積大于[3]. 當然，以上判斷整點和面積的方法有“以圖代證”之嫌，過程不夠嚴謹，這也給此題留下了繼續(xù)探究的空間. 事實上，如果題目中沒有給出相關(guān)圖形，仍然可以通過高中知識分析判斷：利用基本不等式，由[x2+y2=1+xy]（x ≥ 0），得[x2+y2≤2]，即有[x≤2， y≤2]. 從而分析出曲線的有界性. 將[x2+y2=1+xy]（x ≥ 0）變形為[y=12x±1-34x2]. 結(jié)合導數(shù)，即可分析出曲線的變化趨勢. 結(jié)合對稱性，可以畫出曲線的大致圖象. 這種由方程分析曲線的對稱性、有界性、變化趨勢等幾何性質(zhì)的方式充分體現(xiàn)了用代數(shù)方法研究幾何問題的解析思想.

3. 曲線的“三位一體”

曲線的特征關(guān)系、方程和圖象構(gòu)成了一個不可分割的整體，它們是同一事物的不同展現(xiàn)方式. 曲線的性質(zhì)是曲線的“變中不變性”，是由曲線本身決定的，深刻理解曲線性質(zhì)可以從特征關(guān)系、方程、圖象這三個維度進行綜合考量. 以雙曲線為例，其對稱性可以從特征關(guān)系[PF1-PF2=2a]理解：設點[P]與點[P1，P2，P3]分別關(guān)于直線[F1F2]、線段[F1F2]的中垂線、線段[F1F2]的中點對稱，由[PF1-PF2=2a]，可得[P1F1-P1F2=2a，][P2F1-P2F2=2a， P3F1-P3F2=2a]，即可知滿足特征關(guān)系[PF1-PF2=2a]的曲線必然關(guān)于直線[F1F2]、線段[F1F2]的中垂線及線段[F1F2]的中點對稱. 可以從方程入手：將雙曲線的標準方程中的[x]換成[-x]（或[y]換成[-y]），標準方程不變，可知雙曲線關(guān)于坐標軸及原點對稱. 由雙曲線的圖象可以非常直觀地觀察到其對稱性（如圖7）.

三、結(jié)束語

為深刻理解曲線并把握其本質(zhì)和研究路徑，教學中應該避免將解題方法和運算技巧作為數(shù)學思考的替代品. 要真正弄清曲線的來龍去脈（從哪里來、到哪里去）、前因后果（如何轉(zhuǎn)化與化歸），全方位、多視角地理解曲線，在關(guān)系視域下審視曲線的生成路徑，并開展較為深入的問題探究.

借助點動成線的動態(tài)思維，從特征式和方程兩個維度考查曲線，有助于打破形與數(shù)的界限，實現(xiàn)數(shù)與形的融通. 在教學過程中，要避免無休止地糾纏于數(shù)學運算，要舍得留出時間引導學生思考運算的根本和目的. 通過創(chuàng)造適宜的教學情境激發(fā)學生的思考，引導學生理解和把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，從而實質(zhì)性地提高學生的數(shù)學能力和綜合素養(yǎng).

參考文獻：

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引用格式：楊磊. 關(guān)系視域下曲線的生成路徑與問題探究［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2024（11）：28-32.

基金項目：江蘇省中小學教學研究第十三期立項課題——發(fā)展核心素養(yǎng)的高中數(shù)學深度教學實踐研究（2019JK13-L108）.

作者簡介：楊磊（1985— ），男，高級教師，主要從事中學數(shù)學教育教學研究.