指向數學思維能力和現場學習能力的問題設計

摘" 要：學生對新定義問題有畏難情緒，是因為學生不理解新定義問題，現場學習能力不足. 基于學情，立足教材、數學思想方法和學生的現場學習能力，對新定義問題進行恰當設計，旨在問題設計中理解新定義的內涵，剖析其中蘊含的思維方法，提煉分析問題和解決問題的一般思路. 此外，還提出了關于新定義問題教學的幾點想法：通過恰當的問題設計，幫助學生克服對數學符號的恐懼，增強學生的數學閱讀能力和現場學習能力；引導學生用聯系的眼光看待問題，培養學生的數學直覺、猜測、檢驗及歸納反思能力；依托集合、函數和數列大單元，設計新定義微專題，組建創新思維研討班.

關鍵詞：問題設計；思想方法；數學閱讀；現場學習

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）11-0038-05

一、新定義問題的特點與研究價值

新定義問題的基本特點是新、活和抽象.“新”主要體現為情境新穎，立意新穎；“活”主要體現為數學思維靈活，規避題型，沒有固定的模式和套路；“抽象”主要體現為用抽象的數學符號語言定義一個新概念，且設問方式比較抽象. 高考中的新定義問題背景深刻、思維靈活、知識面廣，突出考查了學生的數學核心素養和關鍵能力，引導教師在日常教學中重點關注學生的數學思維能力，特別是注重學生創造性思維的培養.

二、新定義問題的常見解決方法和問題設計

解決新定義問題的常見方法有枚舉法、從特殊到一般、反證法、配對思想、“算兩次”原理、數學歸納法、分類討論與整合、構造不變量或者半不變量等. 在日常教學中，教師可以選擇容易解決的新定義問題或對綜合性較強的模擬題和高考試題進行適當簡化，讓學生了解上述方法，進而在解決新定義問題的過程中逐步提升分析問題和解決問題的能力.

下面，筆者以配對思想、分類討論、枚舉法和“算兩次”原理為例，介紹關于新定義問題設計的一些思考.

1. 立足教材的問題設計

在教學過程中，教師要充分利用教材. 很多新定義問題中蘊含的思想方法都來源于教材. 其中，配對思想和枚舉法是求解新定義問題的常見方法. 配對思想在教材中的原型是倒序相加法.

在推導等差數列的前[n]項和公式[Sn=na1+an2]時，將等差數列[an]按照如下兩個原則分組：“較小的數”配“較大的數”；“較小的數”與“較大的數”的和為定值. 得到[n]組，即[a1，an， a2，an-1，…， an，a1，]且每組的和都相等. 這就是配對思想.

下面以配對思想的應用為例，對新定義問題進行拓展設計.

例1" 正整數集合[A=a1，a2，a3，a4]，且[a1lt;][a2lt;a3lt;a4]，集合[B]中所有元素的和為[TB]，集合[C=TB B?A.] 已知集合[B]中有且只有兩個元素，求證：當集合[C]中有[5]個元素時，[a1+a4=][a2+a3].

解析：因為[B?A]，且集合[B]中有且只有兩個元素，

所以集合[B]只可能是[a1，a2]， [a1，a3]， [a1，a4]，

[a2，a3]， [a2，a4]， [a3，a4].

因為[a1+a2lt;a1+a3lt;a1+a4lt;a2+a4lt;a3+a4]①，

所以集合[C]中至少有以下[5]個元素：[a1+a2]，[a1+a3]， [a1+a4]， [a2+a4]， [a3+a4].

因為[a1+a2lt;a1+a3lt;a2+a3lt;a2+a4lt;a3+a4]②，

所以集合[C]中至少有以下[5]個元素：[a1+a2]， [a1+a3]， [a2+a3]， [a2+a4]， [a3+a4].

因為集合[C]中有[5]個元素，

觀察①和②，發現有下面的對應關系：

所以[a1+a4=a2+a3].

【評析】例1的背景是集合，本質上可以將其看作一個單調的數列問題. 當集合[B]中有且只有兩個元素時，因為集合[C]中的元素是由集合[A]中的兩個元素之和構成的，所以集合[C]中的元素只能是[a1，a2，a3，a4]這[4]個元素的兩兩組合之和，即[a1+a2]， [a1+a3]， [a1+a4]， [a2+a3]， [a2+a4]和[a3+a4]中的5個元素. 因為這6個元素中除了[a1+a4]與[a2+a3]之間的大小關系無法確定外，其余元素的大小關系均可以確定. 基于這種關系，觀察①和②這兩組數對應的不等式，通過構造“一一對應”建立這兩組數之間的對應關系，既體現了配對思想的應用，又體現了順序分析和構造性證明的應用.

例2" 已知數列[A：a1，a2，…，an]. 從數列[A]中選取第[i1]項，第[i2]項，[…]，第[ik]項[i1lt;i2lt;…lt;ik]構成數列[B：ai1，ai2，…，aik]. 數列[B]稱為數列[A]的[k]項子列. 記數列[B]的所有項的和為[TB]. 當[k≥2]時，若數列[B]滿足：對任意[s∈1，2，…，k-1]，[is+1-][is=1]，則稱數列[B]具有性質[P]. 規定：數列[A]的任意一項都是數列[A]的[1]項子列，且具有性質[P].

（1）當[n=4]時，寫出數列[A]中具有性質[P]的所有子列；

（2）已知數列[A：1，2，3，4，5，6]. 對數列[A]的[k]項具有性質[P]的子列[B][k≤3]，求所有[TB]的算術平均值；

（3）已知數列[A：1，2，3，…，n][n≥2]. 給定正整數[k≤n2]，對數列[A]的[k]項子列[B]，求所有[TB]的算術平均值.

解析：針對第（1）小題，數列[B]具有性質[P]的關鍵特征是數列[B]中元素的下標是連續的. 因為數列[B]的元素個數可以分為[1]項、[2]項、[3]項和[4]項，所以數列[A]中具有性質[P]的所有子列為：[a1]；[a2]；[a3]；[a4]；[a1，a2]；[a2，a3]；[a3，a4]；[a1，a2，a3]；[a2，a3，][a4]；[a1，a2，a3，a4].

對于第（2）小題，可以按照第（1）小題的思路，通過枚舉法列出所有具有性質[P]的子列[B]，即1項子列B為[1;2;3;4;5;6]. 此時[TB]的值為[1，2，3，4，]

[5，6]. 2項子列B為[1，2;2，3;3，4;4，5;5，6]. 此時[TB]的值為[3，5，7，9，11]. 3項子列[B]為1，2，3；[2，3，4;3，4，5;4，5，6]. 此時[TB]的值為6，9，12，15.所以所有[TB]的算術平均值為[1+2+3+4+5+6+3+5+7+9+11+6+9+12+1515=9815].

對于第（3）小題，通過觀察第（2）小題，發現可以按照子列[B]的項數進行分類，且1項子列[B]、2項子列[B]、3項子列[B]對應的[TB]均為等差數列. 此時，可以借助配對思想重新認識這種分類的好處. 例如，對于2項子列[B]，如果把子列[1，2]與子列[5，6]配對，子列[2，3]與子列[4，5]配對，就可以發現每對子列的[TB]之和恰好符合配對思想的兩個原則：“較小的數”配“較大的數”；“較小的數”與“較大的數”的和為定值. 所以第（2）小題可以得到更一般的結論：對于2項子列[B：a1，a2]，可以得到數列[7-a2，7-a1]也是數列[A]的2項子列，且數列[a1，a2]與數列[7-a2，][7-a1]的[TB]之和為定值；對于3項子列[B：a1，a2，][a3]，可以得到數列[7-a3，7-a2，7-a1]也是數列[A]的3項子列，且數列[a1，a2，a3]與數列[7-a3，7-a2，7-a1]的[TB]之和為定值；等等. 根據上述思考過程，容易得到第（3）小題的解答，具體如下.

若數列[B：ai 1，ai 2，…，ai k]是數列[A]的[k k≤n2]項子列，

則數列[B：n+1-ai k，n+1-ai k-1，…，n+1-ai 1]也是數列[A]的[k k≤n2]項子列.

所以[TB+TB=j=1kaij+j=1kn+1-aij=kn+1].

因為給定正整數[k k≤n2]，

所以數列[A]有[Ckn]個[k]項子列.

所以所有[TB]的算術平均值為[1Ckn×12Ckn×kn+1=][kn+12].

【評析】上述問題是數列子列的求和問題，其解決方法主要為枚舉法和配對思想.

2. 立足思想方法的問題設計

新定義問題中蘊含著重要的數學思想方法，學生在分析問題、解決問題和歸納反思時，要認真體會這些思想方法. 例如，在研究數列的遞推關系時，經常使用特殊與一般思想和函數思想；在研究等比數列的單調性時，經常使用分類討論思想；在研究數列的單調性時，經常使用函數思想.

下面以分類討論思想方法為例，對新定義問題進行設計.

例3" 數列[An：a1，a2，…，an n≥2]滿足[ai∈][-1，1]，[i=1，2，…，n]. 稱[Tn=a1 ? 2n-1+a2 ? 2n-2+][a3 ? 2n-3+…+an-1 ? 21+an ? 20]為數列[An]的指數和. 求證：當[Tnlt;0]時，[a1=-1].

解析：因為[ai∈-1，1]，[i=1，2，…，n]，

所以[a1=1]或[a1=-1].

當[a1=-1]時，

[Tn=-2n-1+a2 ? 2n-2+a3 ? 2n-3+…+an-1 ? 21+an ? 20]

[≤-2n-1+2n-2+2n-3+…+21+20]

[≤-2n-1+2n-1-1]

[=-1].

所以[Tnlt;0].

所以[a1=-1]符合題意.

當[a1=1]時，

[Tn=2n-1+a2 ? 2n-2+a3 ? 2n-3+…+an-1 ? 21+an ? 20]

[≥2n-1-2n-2+2n-3+…+21+20]

[≥2n-1-2n-1+1]

[=1].

所以[Tngt;0].

所以[a1=1]不符合題意.

綜上所述，[a1=-1].

【評析】在解決例3時，分別對[a1=1]和[a1=-1]進行了討論，運用了分類討論的思想方法.

例4" 對于一個有窮正整數數列[Q]，設其各項為[a1，][a2，…，an]，各項和為[SQ]，集合[i，jaigt;aj， 1≤ilt;j≤n]中元素的個數為[TQ.] 對所有滿足[TQ=6]的數列[Q]，求[SQ]的最小值.

解析：由題意，知集合[i，jaigt;aj， 1≤ilt;j≤n]的元素是數列[a1，a2，…，an]中滿足[aigt;aj]，[1≤ilt;][j≤n]的所有[i，j]，

所以[TQ]的最大值為[C2n].

由[TQ=6]，得[C2n≥6]，解得[n≥4].

當[n=4]時，滿足[TQ=6]的數列[Q]中各項均不相同，且每項都大于或等于1，

所以[SQ≥4+3+2+1=10]；

當[n=5]時，數列[Q]中各項必有不同的數，

由每項都大于或等于1，得[SQ≥6].

若[SQ=6]，滿足上述要求的數列中有四項為[1]，一項為[2]，此時[TQ≤4]，不符合題意.

所以[SQ≥7].

當數列[Q]為[2，2，1，1，1]時，[SQ=7].

當[n≥6]時，同上可得[SQ≥7.]

綜上所述，[SQ]的最小值為[7].

【評析】在解決例4時，采用了枚舉法和分類討論的思想方法. 枚舉法的基本思想是：逐一列舉問題涉及的所有情形，根據問題提出的條件檢驗哪些是問題的解，哪些應該排除. 通過枚舉法可以發現具體實例中的一般規律，進而形成猜想. 枚舉法體現了特殊與一般的思想，根據[C2n≥6]得到[n≥4]，然后對[n]進行分類討論，對于每種情況采用枚舉的方法構造符合題意的數列[Q]，并計算相應的[SQ]，從而確定[SQ]的最小值.

此外，例2的第（3）小題也可以利用分類討論的思想方法進行求解，具體如下.

容易知道數列[A]中[k]項子列有[Ckn]個. 其中，含數字[1]的[k]項子列為[Ck-1n-1]個，含數字[2，3，…，n]的[k]項子列也都是[Ck-1n-1]個.

所以數列[A]的所有[k]項子列[B]的[TB]之和為[1+2+…+nCk-1n-1=nn+12Ck-1n-1].

所以所有[TB]的算術平均值為[nn+12×Ck-1n-1×][1Ckn=kn+12].

3. 立足現場學習能力的問題設計

在研究一些新定義問題時，學生可能會覺得太抽象，根本不理解題意或者直接放棄求解. 此時，教師可以帶領學生閱讀新定義. 必要時，教師還可以給出問題的解答過程讓學生閱讀，不懂的地方做好批注.

以“算兩次”原理為例設計以下問題，以便逐步提升學生的數學閱讀能力和現場學習能力.

例5" 一組學生站成一排. 若任意相鄰的[3]人中至少有[2]名男生，且任意相鄰的[5]人中至多有[3]名男生，則這組學生人數的最大值是（" " ）.

（A）[5]" "（B）[6]" "（C）[7]" "（D）[8]

解析：該題可以采用從特殊到一般的思想進行求解. 通過畫示意圖，判斷5名學生是否符合要求. 以此類推，可以獲得答案.

解決該問題的另一種思路是先設出這組學生人數的最大值[K]，確定[K]的上界[n]，再舉例說明學生人數為[n]時，符合題意.

不妨用[c1，c2，…，cn]表示一排學生，按如圖1所示的方式進行重新排列.

所以這組學生人數小于[7]人.

下面說明[6]人符合題意. 例如，“男，女，男，男，女，男”這[6]名學生的排列方式恰好符合題意，所以該題答案選B.

【評析】例5是對“算兩次”原理的具體應用. 為了得到一個方程，我們把同一個量以兩種不同的方式表示出來，即將一個量“算兩次”，從而建立相等關系，這就是“算兩次”原理. 在教學中，教師可以給予學生充足的時間閱讀題目，根據題意畫圖，培養學生的現場學習能力.

例6" 在[n×n n≥2]個實數組成的[n]行[n]列的數表中，[aij]表示第[i]行第[j]列的數，記[ri=ai1+ai2+…+][ain 1 ≤ i ≤ n，cj=a1j+a2j+…+anj 1≤ j ≤ n]. 若[aij∈]

[-1，0，1，1≤i，j≤n]，且[r1，r2，…，rn，c1，c2，…，]

[cn]兩兩不等，則稱此表為“[n]階[H]表”，記[Hn=]

[r1，r2，…，rn，c1，c2，…，cn]. 對于任意一個“[n]階[H]表”，若整數[λ∈-n，n]，且[λ?Hn]. 求證：[λ]為偶數.

解析：對任意一個“[n]階[H]表”，[ri]表示第[i]行所有數的和，[ci]表示第[j]列所有數的和，其中[1≤i，j≤n].

因為[i=1nri]與[j=1ncj]均表示數表中所有數的和，

所以[i=1nri=j=1ncj].

由[aij∈-1，0，1]，得[r1，r2，…，rn，c1，c2，…，cn]只能取[-n，n]內的整數.

因為[r1，r2，…，rn，c1，c2，…，cn]互不相等，

所以[r1，r2，…，rn，c1，c2，…，cn，λ=-n，-n+1，][-n+2，…，-1，0，1，…，n-1，n].

因為[λ∈-n，n]，且[λ?Hn]，

所以[λ+i=1nri+j=1ncj=-n+-n+1+…+-1+0+][1+]…[+ n-1+n=0].

所以[λ=-2i=1nri]為偶數.

【評析】該題是一個數表問題，“算兩次”原理是研究數表問題的重要方法，即因為[i=1nri]與[j=1ncj]均表示數表中所有數的和，所以[i=1nri=j=1ncj]. 在教學中，教師可以借助具體數表幫助學生理解題目中的符號，借助從特殊到一般思想分析問題. 例如，可以先研究[n=2，n=3]的情況，通過對特殊情況的分析得到一些規律，然后把這些規律推廣到一般情況.

上面設計的6道例題，較好地體現了枚舉法、配對思想、分類討論和“算兩次”原理在解決新定義問題中的作用，教師可以結合具體教學內容有選擇地使用上述方法. 在教學中，教師選取適當的時機，設計恰當的問題，可以幫助學生提前接觸新定義問題，進而讓學生體會分析和解決新定義問題的方法與一般思路.

三、對新定義問題的教學建議

1. 通過恰當的問題設計，幫助學生克服對數學符號的恐懼，增強學生的數學閱讀能力和現場學習能力

一般地，新定義問題本身比較抽象，符號較多，學生難以理解. 在教學中，教師可以對新定義問題進行適當改編. 例如，新定義問題的第（1）小題可以設計一些能夠舉出具體實例的問題，把新定義中的每個符號具體化，然后要求學生寫出具體的分析過程；第（2）小題可以適當分解，設計兩個或多個遞進的小問題，減少學生的思維障礙. 必要時，教師還可以提供第（2）小題的解題方法并讓學生閱讀解答過程，這樣既可以幫助學生克服對數學符號的恐懼，又可以幫助學生逐步理解新定義的含義.

對于一些特別抽象或符號特別多的新定義問題，教師可以帶領學生一起閱讀新定義，結合具體例子理解每個符號及新定義的含義，循序漸進地培養學生的現場學習能力. 在具體實例中理解新定義，在問題設計中思索方法，在問題解決中培養創新思維，通過“獨立思考 + 閱讀訓練”的方式幫助學生克服對數學符號的恐懼，增強學生的數學閱讀能力和現場學習能力.

2. 引導學生用聯系的眼光看待問題，培養學生的數學直覺、猜測、檢驗及歸納反思能力

新定義問題很少涉及復雜的計算和較難的數學技巧，更多的是基于新定義進行邏輯推理，突出考查學生的“動手嘗試、探索實踐”能力和對“先猜再證”基本研究方法的運用. 對于新定義問題，“數學直覺”和“猜測 + 檢驗”往往是打開解題局面的法寶.

在高考試題中，新定義問題往往采用不斷深入的設問方式考查學生的數學思維能力. 新定義問題的第（1）小題雖然一般比較簡單，但是教師要引導學生重視第（1）小題，挖掘第（1）小題蘊含的深刻內容. 例如，能否結合具體例子，重新用一種比較簡單的或者比較形象的描述方式理解新定義，這往往有助于后續問題的解決. 第（2）小題是第（1）小題的延伸，當很多學生對第（2）小題無從下手時，教師可以舉個具體例子幫助學生理解. 能否用第（1）小題得到的新定義的簡化形式理解第（2）小題？能否嘗試借助簡單例子大膽猜想，再用邏輯推理論證猜想？這些思考的目的是鍛煉學生的數學直覺和猜想能力. 教師應該不斷引導學生回歸新定義本身，挖掘新定義的本質，鼓勵學生大膽嘗試、大膽猜想，多歸納、多反思.

3. 依托集合、函數和數列大單元，設計新定義微專題，組建創新思維研討班

新定義問題的設計可以按照以下方向進行. 結合具體的教學內容，注意題目難度的層次性，要循序漸進，注意對數學思想方法和思維方法的揭示. 在教學中，教師可以以微專題或者單元教學的形式進行教學設計. 例如，學完集合知識后，可以設計以集合為背景的新定義微專題；學完函數知識后，可以設計以函數為背景的新定義微專題；學完數列知識后，可以設計以數表和數列為背景的新定義微專題. 另外，在教學中，教師也可以以組建創新思維研討班的形式讓學有余力的學生開展對新定義問題的研討. 研討班中可以由教師布置問題，也可以由學生自主選擇問題，每周定期交流，由學生主講，其余學生補充，教師點評，課后由主講學生對討論的內容進行整理，建立新定義問題資源庫，以便開展更進一步的系統研究.

參考文獻：

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［5］劉攀坤.“新定義問題”教學的思考和實踐［J］. 北京教育（普教版），2023（7）：34-36.

引用格式：劉攀坤，劉佳. 指向數學思維能力和現場學習能力的問題設計：從“新定義問題”談起［J］. 中國數學教育（高中版），2024（11）：38-42.

作者簡介：劉攀坤（1987— ），男，中學一級教師，主要從事數學教育教學研究；

劉佳（1986— ），女，中學一級教師，主要從事數學教育教學研究.