為促進解析幾何思維方式的發展而教

摘" 要：以一道圓錐曲線試題的解答為例，先順應學生思路，使其發現運算目標失當. 再基于解析幾何的思維方式，引導學生運用幾何眼光觀察、發現運動狀態的特征、推測待證直線的位置、追溯直線斜率間的關系. 最后設計了以直線斜率為對象、斜率間的齊次關系為目標、從根與系數的關系向齊次關系變形的運算思路，推廣了斜率齊次關系的成立條件，反思了解析幾何運算教學的有關問題.

關鍵詞：解析幾何；思維方式；幾何眼光；運算思路；數學運算

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）11-0055-05

引用格式：李昌. 為促進解析幾何思維方式的發展而教：以一道圓錐曲線試題的解答為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（11）：55-59.

一、問題提出

以2023年高考數學新課標Ⅱ卷第21題為例，在解答圓錐曲線問題時，筆者進行了運算教學. 題目及學生的解答情況如下.

題目" 已知雙曲線[C]的中心為坐標原點，左焦點為[-25，0]，離心率為[5].

（1）求[C]的方程；

（2）記[C]的左、右頂點分別為[A1，A2]，過點[-4，0]的直線與[C]的左支交于[M，N]兩點，[M]在第二象限，直線[MA1]與[NA2]交于點[P]. 證明：點[P]在定直線上.

對于第（1）小題，學生能夠得出雙曲線[C]的方程為[x24-y216=1]. 對于第（2）小題，如圖1，學生把直線[MN]的方程設為[x=ty-4]，代入[C]的方程，整理成一元二次方程[4t2-1y2-32ty+48=0]，其中[4t2-1≠0].

設點M，N的坐標分別為[Mx1，y1]，[Nx2，y2].由一元二次方程的根與系數的關系，得[y1+y2=32t4t2-1，][y1y2=484t2-1]. 根據點[M，N]在雙曲線的左支上，可得[y1gt;0，y2lt;0]，得[y1y2lt;0]，進而解得[4t2-1lt;0]. 聯立直線[MA1]的方程[y=y1x1+2x+2]和直線[NA2]的方程[y=y2x2-2x-2]，消去[y]，解得點P的橫坐標[xP=][2x1+2y2+x2-2y1x1+2y2-x2-2y1]. 由于該表達式中字母過多，一些學生放棄解答. 另外一部分學生利用點[M，N]與直線[x=ty-4]的位置關系消去[x1，x2]，化簡得到[xP=][2ty1y2-6y1-2y23y1-y2]. 但是該式中[y1，y2]的系數不相等，不能直接利用兩根之和的關系式進行化簡，運算再次受阻.

對于一元二次方程的兩根之和與系數的關系式不能用于化簡的問題，筆者在文獻［1］中從消元化簡的角度給出了兩類解決辦法和三條簡化運算的路徑. 運算技巧上的消元、化簡只是“術”的思維水平，不能體現解析幾何中數學運算的特征和本質. 只有從“道”的層面上實施運算教學，才能體現解析幾何的學科特點和教育價值. 為此，基于解析幾何的思維方式，筆者設計了以斜率為對象、從根與系數的關系式向斜率間的齊次關系變形的運算思路. 具體教學內容和思考如下，期望大家批評和指正.

二、教學片斷

解析幾何是把代數學系統地應用于幾何研究和問題解決的數學分支. 因此，研究和解決問題所特有的解析幾何思維方式是：先用幾何眼光觀察，厘清圖形的幾何要素和圖形之間的幾何關系，然后在平面直角坐標系中對幾何要素和幾何關系進行代數表達，最后通過代數運算和推理實現問題解決，且在運算過程中應該充分利用相應的幾何特征以簡化運算. 在設計運算思路時，解析幾何的思維方式是一種高效的思維模式和便捷的思維路徑.

1. 順應學生思路，使其經歷復雜運算并發現運算目標不恰當

通過交流得知，學生的運算思路是“驗證[xP]與[yP]之間具有一次函數的關系式”. 這雖然看似合理，但是缺乏預判且思慮不周. 因為求解交點坐標問題必須要克服字母多、結構繁的運算障礙，且并非所有直線的方程都能用一次函數的關系表示. 為了暴露這些問題，教學時，教師應該先順應學生的思路，使他們經歷復雜的運算，自覺發現目標失當，進而產生探尋簡捷的解決方法的學習心向.

繼續求解方程組，得到點[P]的縱坐標[yP=2y1y23y1-y2，]將其與[xP]進行對比，得出[xP=tyP-6y1+2y23y1-y2]. 因為[6y1+2y23y1-y2]的分子和分母中[y1，y2]的系數不成比例，無法將其約分為常數，所以[xP]不是關于[yP]的一次函數. 這說明了運算目標選擇不合適，也暗示了點[P]所在直線與坐標軸垂直，即[xP]和[yP]中必有一個是定值，所以應該驗證其分子能否被分母整除. 而表達式[xP]和[yP]中的[t，y1，y2]滿足[y1+y2=32t4t2-1]，[y1y2=484t2-1]的關系，故應該對這兩個關系式進行運算，經過相除、變形得出[2ty1y2=3y1+3y2]，再將其代入[xP]中，化簡得到[xP=-1]，從而證得結論.

2. 觀察運動狀態的對稱性，推測待證直線位置關系的特殊性

由證得的“點[P]在直線[x=-1]上”可知，不需要計算點[P]的縱坐標. 但是這必須建立在明確了點[P]所在直線與[x]軸垂直的前提下. 在解析幾何中，這是設計運算思路的原則，即先分析清楚研究對象的幾何特征和彼此間的幾何關系，再在平面直角坐標系中進行代數表示和用代數方法研究. 對幾何要素和幾何關系的觀察與分析需要學生具有幾何眼光. 筆者認為，幾何眼光是產生和發展于幾何學科、具有幾何學科特性的思維自覺和思維策略，即觀察問題時遵從研究幾何圖形的思維自覺，分析問題時采用對圖形進行直觀推理的思維策略.

幾何眼光的思維特征既有助于學生對圖形要素、基本特征和相互關系進行細致觀察，又有助于學生對運動過程和運動軌跡進行分析和推理. 運用到該題中，能發現點[P]所在直線具有如下幾何特征：在圖1中，雙曲線把直線[MN]的旋轉傳遞到直線[MA1]和[NA2]上，使它們分別繞點[A1]，[A2]旋轉. 由于旋轉中心都在雙曲線的實軸上，這自然融合了雙曲線和旋轉運動的對稱性，因此各運動對象的運動狀態都關于[x]軸對稱，使得直線[MA1]和[NA2]的交點[P]的運動軌跡也具有關于[x]軸對稱的特征. 注意到“求證交點[P]在定直線上”的結論中明示了“點[P]的軌跡是直線”的信息，由此推知點[P]所在的直線垂直于[x]軸.

3. 設計以斜率為對象、斜率間的齊次關系為目標的運算思路

幾何眼光具有不同的觀察視角和維度，代數表征同樣具有多種方式和形式，代數運算的起點和目標存在差異，使得解析幾何問題的解決方法不唯一，且方法有難易之分，運算有繁簡之別. 因此，在解析幾何的運算教學中，既要探尋簡捷的解法，又要弄清解法簡捷的原因. 在上述題目中，相交的動直線[MA1]，[NA2]各自經過一個定點，它們的幾何特征和運動特性都由其斜率來表達. 由方程[y=k1x+2]和[y=k2x-2]經過聯立、消[y]，得到[k2k1=x+2x-2]，其中[x]是交點的橫坐標. 前文已經推證[x]為定值，所以[k2k1]是不等于1的常數. 反之，當[k2k1]是不等于1的常數[λ]時，關于[x]的方程[x+2x-2=λ]有唯一的解，即直線[MA1]，[NA2]斜率間的齊次關系等價于它們交點的橫坐標為定值. 這自然地形成了以斜率為對象，斜率齊次關系為目標的運算思路. 用點[M，A1]，[N，A2]的坐標表示[k1=λk2]，再用直線[x=ty-4]替換其中的[x1，x2]，整理得到[t1-λy1y2-][6y1+2λy2=0]. 注意到，該式在結構上同由根與系數的關系式經相除、變形整理得出的[2ty1y2-3y1-3y2=0]完全一致. 若存在常數[λ]使上述兩式的各項系數對應成比例，則它們等價. 由[t1-λ2t=-6-3=2λ-3]，解得[λ=-3，]因此有如下的簡捷解答.

解：先將表示根與系數關系的兩式相除、整理，得到[2ty1y2-3y1-3y2=0]. 然后以斜率的齊次關系為目標進行如下變形：在等式兩端同時乘2，得[4ty1y2-6y1-]

[6y2=0].

根據斜率的坐標表示進行整理、配對、變形，得

[ty1y2-6y1+3ty1y2-6y2=0].

提取公因式，得[ty2-6y1+3ty1-2y2=0].

由點[Mx1，y1，Nx2，y2]在直線[x=ty-4]上，

將[ty1-2，ty2-6]分別替換為[x1+2，x2-2]，得

[x2-2y1+3x1+2y2=0].

因為點[M，N]不能與[A1，A2]重合，

所以[x1+2x2-2≠0].

在等式兩端同時除以[x1+2x2-2]，得

[y1x1+2+3y2x2-2=0].

因為[y1x1+2， y2x2-2]分別表示直線[MA1]和直線[NA2]的斜率[k1，k2]，

所以[k1+3k2=0].

所以直線[MA1]，[NA2]的方程分別為[y=-3k2x+2]和[y=k2x-2].

聯立方程，消去[y]，解得[x=-1].

故它們的交點[P]在定直線[x=-1]上.

4. 思考結論成立的根源，將雙曲線的頂點進行一般性推廣

旋轉運動具有多種對稱性，過旋轉中心的直線都是它的對稱軸. 圖1中的直線[MN，MA1]和[NA2]的旋轉中心都在[x]軸上，因此它們的運動狀態都關于[x]軸對稱. 雖然旋轉中心[A1，A2]是雙曲線的頂點，但是運動狀態的對稱性只取決于頂點在[x]軸上的位置，而與頂點的其他特征無關. 這表明，用[x]軸上的點[B1，B2]替換[A1，A2]，相應的直線[MB1，NB2]及其交點的運動狀態仍關于[x]軸對稱. 這就自然地想到：是否存在點[B1，][B2]使直線[MB1，NB2]的交點[Q]仍在垂直于[x]軸的定直線上？若存在，求出點[B1，B2]的坐標和定直線的方程；若不存在，說明理由.

解：設點[B1，B2]的坐標分別為[B1m，0，B2n，0，]直線[MB1，NB2]的方程依次是[y=k1x-m，y=k2x-n.]

聯立方程，消去[y]，得[k1k2=x-nx-m].

只要[k1k2]是不為1的常數[λ]，方程[x-nx-m=λ]的解就是定值，即直線[MB1]，[NB2]的交點[Q]在垂直于[x]軸的定直線上.

將點[M，B1，N，B2]的坐標分別代入[k1=λk2]中，得[y1x1-m=λy2x2-n].

用直線方程[x=ty-4]分別替換[x1，x2]，

化簡、整理，得

[t1-λy1y2-n+4y1+λm+4y2=0].

若存在常數[m，n]使該式與[2ty1y2-3y1-3y2=0]等價，就能由根與系數的關系式推出[k1=λk2]，進而推出點[Q]在垂直于[x]軸的定直線上.

令各項系數成比例，得[1-λ2=-n+4-3=λm+4-3]. 解得[m=-52-32λ]，[n=-52-3λ2]. 這表明[m，n]都是關于[λ]的函數，即對于任意的[λ][λ≠0，1]，都存在唯一的[B1，B2]使[MB1，NB2]的交點[Q]在垂直于[x]軸的定直線上.

再由方程[x-nx-m=λ]，解得[x=λm-nλ-1]，代入[m，n]的表達式，化簡得到[x=-1]. 這表明，對于任意常數[λ][λ≠0，1]，直線[MB1]和[NB2]的交點[Q]都在定直線[x=-1]上. [λ]的任意性和相應點[B1，B2]的存在性進一步表明，直線[x=-1]是雙曲線某種性質的表達.

實際上，點[-4，0]和直線[x=-1]是雙曲線[x24-][y216=1]的極點和極線，它們以對偶形式表達了雙曲線上動點共線和動線共點的和諧關系.

三、教學思考

被譽為近代哲學的開創者、近代生物學的奠基人的物理學家和數學家的笛卡兒，為追求方法的普適性和統一性創立了解析幾何，實現了幾何、代數和一般變量（運動觀）的自然融合. 章建躍博士要求教師把解析幾何定位為一種方法論來實施教學. 下面結合本文例題的教學，就如何講好這個方法論談談自己的想法.

1. 解析幾何的思維方式有助于學生理解解析幾何的學科特點

定位為方法論的解析幾何的核心思想是數形結合，體現為幾何問題代數化和代數問題幾何化. 文獻［5］指出，解析幾何肩負著從幾何到代數和從代數到幾何的雙重使命，是一個雙刃工具. 現實中，部分學生夸大了幾何問題代數化的作用，認為只要確定了點的坐標和建立了曲線的方程，借助數形結合就完成了問題的求解. 這種片面的理解導致他們看不到幾何特征對運算的簡化作用. 前文中的學生解答就是直接例證. 實際上，“先用幾何眼光觀察”雖然有強調幾何問題代數化的字面意思，但是若以代數結構為觀察對象，是實質性的代數問題幾何化. 更何況，在運算過程中充分利用圖形特征以簡化運算，則是對代數運算過程的幾何化. 其實，代數運算過程的幾何化更有助于深化學生對解析幾何的運算特征的理解. 例如，本文例題的簡捷解答中，當建立了斜率齊次關系與定直線位置特征之間的關聯后，學生就有了重新審視根與系數的關系的時機和心向，就能自然地產生從根與系數的關系向斜率關系變形的想法；當這種想法實現時，學生眼中的根與系數的關系將不再是枯燥的代數符號，而是符號化的幾何關系；以斜率為目標的變形過程也不再是眼花繚亂的形式變換和隨心所欲的組合調整，而是幾何推理的邏輯表達和幾何關系的邏輯必然. 從認知效能來看，這與笛卡兒“用拋物線和圓的交點求三次和四次代數方程的實根”有異曲同工之妙. 因此，發展解析幾何的思維方式能夠幫助學生在數學運算的實踐中理解解析幾何的學科特點.

2. 幾何眼光的觀察與分析是設計簡捷運算思路的前提和基礎

用代數運算解決幾何問題是解析幾何的顯著特點. 代數運算的關鍵在于設計簡捷的運算思路，幾何眼光的觀察和基于幾何性質的分析可以提供選擇運算對象的依據，也可以指引運算的方向. 回顧觀察本文例題的分析過程，學生用運動視角觀察到旋轉中心在雙曲線的實軸上，根據雙曲線的對稱性對交點的運動狀態做出判斷，對交點的運動軌跡進行了直觀想象和邏輯推理，再依據題目結論的隱含信息，推斷出交點所在直線具有的幾何特征. 依據這一特征的指引，從幾何視角觀察直線[MA1]和[NA2]，將旋轉中心轉換成直線過定點的幾何特征，聯想并提取表達直線特征的斜率模型，寫出直線方程，根據求解方程的代數運算推斷斜率間的齊次關系，從而設計出以斜率為對象、以斜率間的齊次關系為目標的運算路徑. 可以發現，在實際運用過程中，細致觀察體現為觀察視角的延續與切換、觀察對象的有序轉換；深度分析體現為對幾何性質和幾何關系的激活提取、直觀想象和邏輯推理. 因此，在解析幾何的運算教學中，教師要著力培養學生先用幾何眼光觀察和根據圖形特征簡化運算的思維習慣，使學生設計合理、簡捷的運算思路. 這是發展學生解析幾何思維方式的實踐路徑.

3. 數學運算應該發揮對解析幾何思維方式的促進作用

解析幾何的學科特點決定了它不能避免必要的代數運算，并表明了其代數運算的幾何背景. 在平面解析幾何的學業要求中，數學運算是重點提升的核心素養. 因此，在教學中，教師只有把數學運算有機地融入解析幾何的課程體系中，遵循解析幾何的思維方式，在設計運算思路前先用幾何眼光觀察，在運算過程中充分利用幾何特征簡化運算，才能使數學運算的教學發揮應有的促進作用. 同樣地，學生在實踐中也應該嚴格按照解析幾何的思維方式設計運算路徑，堅決不能像少數學生那樣，只要涉及圓錐曲線和直線的位置關系，就先機械地執行聯立方程、消元、化簡、整理成一元二次方程、寫出根與系數的關系式等一系列解方程的運算程序，再確定后續的運算對象和運算思路，如果代數結構復雜或者找不到運算思路就放棄解答. 這是把解析幾何中的數學運算固化為了機械的程序，如果以這樣的觀點指導解析幾何中的數學運算和解決相關的解析幾何問題，那么將是有百害而無一利的，應該予以摒棄.

4. 運算思路應該是知識本質的揭示，而非現成結論的套用

數學結論通常是對某種數學性質的歸納，能夠幫助學生理解本質、解決問題. 例如，在圖1中，由點[A1，][A2]是雙曲線的頂點，可以得出雙曲線上的點[M]與點[A1，][A2]連線斜率之積為定值的結論，即[kMA1kMA2=4]；由直線[MN]過定點[-4，0]交雙曲線于點[M，N]，結合根與系數的關系可以得出點[M，N]與頂點[A2]連線的斜率之積為定值的結論，即[kNA2kMA2=-43]；由這兩個結論相除得出[kMA1=-3kNA2]的齊次關系，運用這個齊次關系寫出直線[MA1，NA2]的方程、聯立解得交點[P]的橫坐標[xp=-1]. 這種運算思路雖然更加簡捷，但是它就像“魔術師手中的兔子”，因為學生未必知道這些結論，即便學生知道并完成了解答，他們也未必理解其中的邏輯依據. 更主要的是，如果把解析幾何的運算教學建立在數學結論的運用上，那么解析幾何的教學將由對方法論的系統建構變成碎片化的性質歸納和對題型模板的機械記憶，而其中的數學運算也將由思想方法指導下的邏輯推理變成模式識別和機械記憶下的拼接組合. 更何況，數學結論具有嚴苛的條件，如上述結論[kMA1kMA2=4]只有在點[A1，A2]是雙曲線頂點的條件下才能成立. 前面的分析已經指出，若將點[A1，A2]替換為[x]軸上的其他定點，則無現成的結論可以使用. 而基于解析幾何的思維方式，能夠設計出同樣簡捷的運算思路. 因為它不是對數學結論的機械套用，也不是對題型結構的簡單模仿，而是對數學本質的深刻揭示和對數學思想方法的實踐運用. 掌握了它，就能夠以一當十，甚至以一當百.

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基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度立項課題——基于大單元教學的高中數學章節教學設計的研究（D/2021/02/713）；2023年度江蘇省教育科學規劃課題——問題驅動： 指向深度理解的高中向量單元教學的實踐研究（B/2023/03/253）.

作者簡介：李昌（1972— ），男，正高級教師，主要從事高中數學教學研究.