“不同函數(shù)增長的差異”教學(xué)實(shí)錄

? 新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二師華山中學(xué) 周振梅

1 教學(xué)分析

1.1 教學(xué)目標(biāo)

(1)比較底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與斜率大于0的一次函數(shù)增長的差異.

(2)由特殊到一般歸納出不同函數(shù)增長快慢的基本方法.

(3)通過三種函數(shù)在不同階段增長的快慢變化,卻在某點(diǎn)之后趨勢明顯,借以說明做事不為眼前,要立足長遠(yuǎn).

1.2 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):學(xué)會(huì)比較不同函數(shù)增長快慢的一般方法.

教學(xué)難點(diǎn):理解變化率在刻畫不同函數(shù)增長快慢的意義.

1.3 學(xué)情分析

2 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,引入新課

問題你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有兩種投資方案供你選擇,這兩種方案的回報(bào)如下:

方案一:第一天回報(bào)5元,以后每一天比前一天多回報(bào)5元.

方案二:第一天回報(bào)2元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.

如果讓你選擇,你會(huì)選擇哪種投資方案?

生:時(shí)間較長,我會(huì)選擇方案二;時(shí)間較短,我會(huì)選擇方案一.

師:為什么?

生:因?yàn)榉桨付娜栈貓?bào)增長量會(huì)比方案一快.

師:請列出7天的回報(bào)量進(jìn)行比較.

師生活動(dòng):學(xué)生嘗試列出7天的日回報(bào)量和累計(jì)回報(bào)量.教師巡視觀察,請同學(xué)分享學(xué)習(xí)成果.

學(xué)生列出表1與表2.

表1 日回報(bào)量

表2 累計(jì)回報(bào)量

追問:有同學(xué)說時(shí)間短選方案一,時(shí)間長選方案二,時(shí)間長短的選擇在表格中有體現(xiàn)嗎?

生:由表2可知,前5天方案一的累計(jì)回報(bào)量高于方案二,但是5天以后方案二的累計(jì)回報(bào)量高于方案一,且方案二增加的速度越來越快.

追問:方案二的增加速度越來越快,從哪里體現(xiàn)?

生:由表1可看出,方案二日回報(bào)量的增加速度在5天后遠(yuǎn)大于方案一,所以累計(jì)回報(bào)量就會(huì)更多.

追問:從日回報(bào)量的角度分析,有哪些函數(shù)模型?

方案一對應(yīng)的函數(shù)模型是一次函數(shù),方案二對應(yīng)的函數(shù)模型是指數(shù)函數(shù).

教師總結(jié):一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的增長方式存在很大差異,它們是不同類型現(xiàn)實(shí)問題具有不同增長規(guī)律的反映．把握了不同函數(shù)增長方式的差異,就可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題的增長情況,選擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律.

2.2 數(shù)形結(jié)合,探索新知

探究1：研究函數(shù)y=2x和y=2x,探索它們在區(qū)間[0,+∞)上的增長差異.

師生活動(dòng):小組合作探究,解決問題.

學(xué)生交流的問題大致如下:

(1)為什么在區(qū)間[0,+∞)上探究?

(2)以什么路徑展開研究?

(3)如何探究兩個(gè)函數(shù)的增長差異?

(4)如何用數(shù)學(xué)符號語言準(zhǔn)確表述它們的增長差異?

生:(1)[0,+∞)有實(shí)際意義;(2)利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行研究;(3)通過數(shù)據(jù)的計(jì)算及觀察圖形研究.

生:觀察表格和圖象可以發(fā)現(xiàn)——一次函數(shù)是一條直線,指數(shù)函數(shù)的圖象是一條曲線;共有兩個(gè)交點(diǎn)(1,2)和(2,4).當(dāng)02時(shí),指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值大于一次函數(shù)相應(yīng)的函數(shù)值;當(dāng)1

追問:對于上述情況,還可以從哪個(gè)角度進(jìn)行分析?

生:列表從數(shù)的角度分析增長速度.

追問:怎么刻畫增長速度?在物理中學(xué)習(xí)了平均速度,通常用Δv表示,那么怎么定義Δv?

生:物理課上,用平均速度來描述物體在一定時(shí)間內(nèi)位移的改變量.平均速度是指在一段時(shí)間內(nèi),物體所經(jīng)過的位移與這段時(shí)間的比值.通過比較不同時(shí)間段內(nèi)的平均速度,可以刻畫出物體位置改變的速度,也就是增長速度.

師:數(shù)學(xué)中怎么刻畫增長速度?

生:用一定范圍內(nèi)函數(shù)值的增加量刻畫增長速度.例如,自變量每間隔一個(gè)單位長度,一次函數(shù)y=2x的函數(shù)值相差2,指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值差值則越來越大.

師:表3中,你能看出一次函數(shù)的增長速度嗎?

表3

生:一次函數(shù)的增長速度是一個(gè)定值,指數(shù)函數(shù)的增長速度一直在變大.

“形”的角度比較:在同一坐標(biāo)系中畫出y=2x和y=2x的圖象(如圖1),演示y=2x與y=2x增加量的變化情況,提示學(xué)生觀察自變量的增加量相同時(shí)函數(shù)值的增量Δy的變化特征,如表3、表4所示:

圖1

表4

活動(dòng)：請小組討論,歸納這兩個(gè)函數(shù)在[0,+∞)上的增長差異.

生:(1)函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上都單調(diào)遞增,但它們的增長速度不同,而且不在一個(gè)“檔次”.

(2)隨著x的增大,y=2x的增長速度越來越快,會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=2x的增長速度.

(3)盡管在一定范圍內(nèi),2x<2x,但由于y=2x的增長速度最終會(huì)大于y=2x的增長速度,因此總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),恒有2x>2x.

師:什么叫做“爆炸式增長”?它的增長速度有沒有特點(diǎn)?

生:它是翻倍式的增長.

師:能否推廣到一般情況?

生:一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長情況與上述情況類似.即使k值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a值,y=ax(a>1)的增長速度最終都會(huì)超過y=kx(k>0)的增長速度.

探究2：類比探究指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異,你可以探究出對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異嗎?

學(xué)生類比探究1探究對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的差異.

師:你們組觀察得非常細(xì)致,從圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及不同區(qū)間上兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值大小關(guān)系進(jìn)行了總結(jié).一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長特點(diǎn)是什么?

生:一般地,雖然對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增,但它們的增長速度不同.隨著x的增大,一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度,而對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度越來越慢.不論a值比k值大多少,在一定范圍內(nèi),logax(a>1)可能會(huì)大于kx,但由于logax(a>1)的增長會(huì)慢于kx的增長,因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),恒有l(wèi)ogax

生:仍然有.

師:對!現(xiàn)在我們分別研究了一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長特點(diǎn),如果把這三種函數(shù)放在一起研究,它們的增長差異是什么?

生:一次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)相比,對數(shù)函數(shù)有一部分函數(shù)值大于一次函數(shù),但是對數(shù)函數(shù)的增長速率越來越小,所以總有一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),一次函數(shù)的函數(shù)值恒大于對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值.一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相比,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的增長速率越來越大,會(huì)有一部分函數(shù)值小于一次函數(shù)的函數(shù)值,但也會(huì)像對數(shù)函數(shù)一樣存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值恒大于一次函數(shù)的函數(shù)值.

教師總結(jié):隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度越來越大,會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=kx(k>0)的增長速度,而y=logax(a>1)的增長速度則會(huì)越來越慢.因此,總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),有l(wèi)ogax

師:我們比較了三種不同類型函數(shù)增長的快慢,那對于同類函數(shù)增長的快慢,應(yīng)該如何去表示呢?

生:可以通過平均變化率去表示.

師:對于一般函數(shù)的增長快慢怎么去比較?

生:也是通過平均變化率.

師:那么我們可以通過平均變化率去比較任意兩個(gè)函數(shù)的增長快慢.

2.3 課堂練習(xí)

練習(xí)1如圖2中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”,是甘肅禮縣出土的先秦時(shí)期的青銅器皿,其身流線自若、紋理分明,展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術(shù)．科研人員為了測量其容積,以恒定的流速向其內(nèi)注水,恰好用時(shí)30 s注滿,設(shè)注水過程中,壺中水面高度為h,注水時(shí)間為t,則下面選項(xiàng)中最符合h關(guān)于t的函數(shù)圖象的是( ).

圖2

生:此題問的是壺高和注水時(shí)間的變化,觀察圖形,發(fā)現(xiàn)這個(gè)壺底部的面積比較小,中部的面積比較大,上部的面積比較小.因?yàn)槭莿蛩僮⑺?所以高的變化情況是底部和上部增長快,中部增長慢,因此選擇A.

練習(xí)2已知三個(gè)變量y1,y2,y3隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表5:

表5

則反映y1,y2,y3隨x變化情況擬合較好的一組函數(shù)模型是( ).

A．y1=x2,y2=2x,y3=log2x

B．y1=2x,y2=x2,y3=log2x

C．y1=log2x,y2=x2,y3=2x

D．y1=2x,y2=log2x,y3=x2

生:通過今天所學(xué)的知識(shí),我們知道指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及對數(shù)函數(shù)平均變化率的大小關(guān)系,然后觀察表格,發(fā)現(xiàn)y1,y2,y3的平均變化率依次遞減.因此選擇B.

練習(xí)3有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車,其跑車時(shí)間均為x小時(shí),跑過的路程分別滿足關(guān)系式:f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log3(x+1),f4(x)=2x-1,則5個(gè)小時(shí)以后跑在最前面的為( ).

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

生:觀察函數(shù)的形式,f1(x)是冪函數(shù),f2(x)是一次函數(shù),f3(x)是對數(shù)型函數(shù),f4(x)是指數(shù)型函數(shù),指數(shù)型函數(shù)平均變化速率是最大的,所以5個(gè)小時(shí)以后跑在最前面的是丁,故選D;還可以通過計(jì)算得當(dāng)x=5.f4(x)最大,所以也選D.

2.4 課堂小結(jié)

本節(jié)課由特殊到一般、由具體到抽象研究了一次函數(shù)y=kx(k>0)、指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)及對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)在定義域上的不同增長方式.可以用一首詩來形容本節(jié)課:“指對線同時(shí)增加,比大小初不確定,喻開始波瀾不驚,待將來厚積薄發(fā)”.

請同學(xué)們賞析這首小詩和本節(jié)課的聯(lián)系.

生:這首詩與本節(jié)課內(nèi)容緊密相關(guān).詩中提到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)都單調(diào)遞增,但最初的增長速度并不能確定未來的趨勢.指數(shù)函數(shù)的增長初緩慢后迅速,超越一次函數(shù).以時(shí)間為x,成就為y,能力為平均變化率,時(shí)間、能力與成就如同指數(shù)函數(shù),即使最初能力不出眾,隨著時(shí)間的推移,能力增長越來越快,未來成就也會(huì)越來越大.

師:謝謝,說得非常好!希望同學(xué)們因?yàn)橄矚g數(shù)學(xué)而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),也因?yàn)閷W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而更熱愛數(shù)學(xué).下課!

注：掃圖3可觀看課堂視頻.

圖3

3 課堂反思

備課時(shí),教師準(zhǔn)備用幾何板演示三種函教模型的增長差異,這樣使得分析更直觀.實(shí)際上課的時(shí)候,由于給學(xué)生自主學(xué)習(xí)和討論交流的時(shí)間較充裕,學(xué)生自己總結(jié)出了三種函數(shù)模型的增長差異,所以沒有演示.這樣可能會(huì)使得結(jié)論的說服力不是很強(qiáng),也失去了一些趣味性.在備課時(shí)應(yīng)盡量宏觀考慮,力爭做到在有限的時(shí)間內(nèi)取得更佳的教學(xué)效果.

語言不夠精煉,有些地方重復(fù),有些地方表述不到位.既然給了學(xué)生小組討論的時(shí)間,就應(yīng)該讓學(xué)生盡可能多展示他們自學(xué)和交流的結(jié)果,然后根據(jù)展示情況進(jìn)行精講.沒有做到“以學(xué)定教”,浪費(fèi)了一部分時(shí)間.

師生的交往互動(dòng)沒有達(dá)到很好的狀態(tài),雖然學(xué)生總體愿意回答,但是引導(dǎo)還不到位,應(yīng)該更多使用幾何畫板和Excel處理數(shù)據(jù),使教學(xué)增加趣味性和說服力.