基于整體視角的數(shù)與運算一致性研究
——以“筆算兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”的教學(xué)為例

泰州學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 殷玲玲

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。作為小學(xué)階段核心素養(yǎng)的主要內(nèi)容之一的運算能力，在歷次的課程改革中，運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展一直備受關(guān)注。運算能力是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的基本能力，更是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》將原有的“數(shù)的認(rèn)識”“數(shù)的運算”合并為“數(shù)與運算”，即“數(shù)的概念與運算的一致性”，這對數(shù)與運算的教學(xué)實踐提出了新的要求?！皵?shù)與運算”作為一個內(nèi)容主題，突出了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，促使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，最終形成核心素養(yǎng)。

一、創(chuàng)設(shè)運算情境，通達(dá)運算意義

“數(shù)與運算”是一個極其龐大的系統(tǒng)，“數(shù)的概念”涵蓋了整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)三種類型，“數(shù)的運算”則包含了加、減、乘、除四種運算。后者在運算過程中強調(diào)“理解算理，掌握算法”“感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識”。其中，“運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進(jìn)行正確運算的能力”。

蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊第四單元“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”內(nèi)容較多、知識點分散，且與二年級所學(xué)的表內(nèi)除法有著密切的邏輯關(guān)系，也為后續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)的除法計算儲備知識。由圖1 可見，“筆算兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”在其中起著承上啟下的作用，這課內(nèi)容既延續(xù)“整數(shù)除以一位數(shù)的口算”和“筆算兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位能整除）”的算理，也關(guān)聯(lián)后續(xù)“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”的算法。作為兩位數(shù)除以一位數(shù)計算中較為復(fù)雜的一種，其整個教學(xué)過程體現(xiàn)了小學(xué)生是如何“理解算理，掌握算法”的。因此，從數(shù)與運算一致性的角度來看，“筆算兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中具有一定的代表性。

圖1 教學(xué)內(nèi)容前后關(guān)聯(lián)

教學(xué)片段一：

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》提出了“三會”的總目標(biāo)，其中“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”就是要求學(xué)生“體會數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，在探索真實情境所蘊含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”。本節(jié)課的導(dǎo)入兼具了復(fù)習(xí)鋪墊和情境創(chuàng)設(shè)兩種方式。在創(chuàng)設(shè)新授內(nèi)容的運算情境之前，教師選擇以整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)的口算和兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算兩個具體的數(shù)學(xué)算式作為復(fù)習(xí)導(dǎo)入，一方面強化學(xué)生平均分和計數(shù)單位參與運算的意識，另一方面鞏固除法筆算的模型，激活算法路徑。這樣一來，復(fù)習(xí)中運用到的算理和算法會很自然地遷移至新授內(nèi)容中。隨后，教師聯(lián)系學(xué)生所熟悉的購物情境進(jìn)行新課教學(xué)（如圖2）。

圖2 情境創(chuàng)設(shè)

運算的情境設(shè)計多半會選擇生活、科學(xué)、文化等相關(guān)要素，這些要素的整合與設(shè)計最終都是為了引出運算對象。教學(xué)中將要解決的數(shù)學(xué)問題建立在具體的情境之上，選擇所需要的運算對象，實施計算教學(xué)?！肮P算兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”的運算對象是“兩位數(shù)”與“一位數(shù)”，運算對象主要涉及數(shù)位、位值、運算符號等。在創(chuàng)設(shè)運算情境自然地引出運算對象的同時，也有助于學(xué)生理解運算的意義。正如Lesh 在論及有理數(shù)的表征轉(zhuǎn)化模型時，提出“有理數(shù)概念以及有關(guān)的運算可以用現(xiàn)實情境、操作物、圖像、口頭語言、書面符號來表征”。本課的情境創(chuàng)設(shè)對于運算意義的理解體現(xiàn)在以下四個表征方式：

（1）現(xiàn)實情境：把這些羽毛球，平均分給2 個班，每班能分到多少個？（2）語言表達(dá)：通過語言敘述表達(dá)如何列式，理解除法的意義，即52 個羽毛球如何平均分成2份；（3）實物操作：5捆、2根小棒分別代表5桶、2 個羽毛球，52 個羽毛球平均分成2 份是多少個；（4）符號表達(dá)：52÷2= 。

值得關(guān)注的是，創(chuàng)設(shè)運算情境雖然確實有助于學(xué)生理解運算問題，但是也有可能弱化學(xué)生對數(shù)學(xué)運算模型的理解，不利于學(xué)生抽象思維的培養(yǎng)。因此，教師設(shè)計了上述四種表征轉(zhuǎn)換方法，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)中自如地從現(xiàn)實走向直觀再回到抽象。運算對象基于現(xiàn)實情境，再被直觀成小棒，小棒再被抽象成數(shù)，形成符號表達(dá)，幫助學(xué)生獲得了對數(shù)和運算的理解。

本課教學(xué)的導(dǎo)入部分，以“購買球類”為主題，串聯(lián)復(fù)習(xí)和新授兩部分內(nèi)容，但都是以生活實際為基礎(chǔ)而創(chuàng)設(shè)的情境。一旦脫離現(xiàn)實情境，運算對象就失去了活力，運算也就變成了無源之水。

二、融通算理算法，獲得運算技能

“數(shù)是對數(shù)量的抽象”，經(jīng)歷數(shù)量到數(shù)的形成，理解和掌握“數(shù)的概念”；“理解算理，掌握算法”，所謂算理就是計算的理論依據(jù)，屬于陳述性知識，算法是計算的基本程序和方法，屬于程序性知識；算理直觀而算法抽象，算理是對算法的解釋，算法是對運算的具體指導(dǎo)。在教學(xué)實踐中，教師通常都會選擇從“理解算理”過渡到“掌握算法”的教學(xué)方法。在這樣的教學(xué)設(shè)計下，大部分學(xué)生似乎都能明白“怎樣算”，但是對“為什么這樣算”知之甚少。因此，教師要在關(guān)注算理與算法之間的密切關(guān)聯(lián)之外，還要重視學(xué)生原有的知識水平，實施相對應(yīng)的教學(xué)策略，實現(xiàn)算理與算法之間的自然過渡。

教學(xué)片段二：借助小棒，理解算理

教師：今天我們就要來研究52÷2 這樣的兩位數(shù)除以一位數(shù)。老師為你們準(zhǔn)備了像這樣的小棒，這樣的一整捆表示一筒羽毛球，一根小棒表示一個羽毛球。（課件呈現(xiàn)）5 筒2 個羽毛球就可以用像這樣的5 捆2根小棒表示。

學(xué)生小組合作：研究如何把5 捆2 根小棒平均分成2 份。

小棒在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中一直扮演著重要角色，因此，三年級學(xué)生對于小棒的使用和操作經(jīng)驗十分豐富。在這里，“5 捆2 根小棒”對應(yīng)著“5 筒2 個羽毛球”，既是實物代表，也包含了數(shù)的概念。分小棒的過程實質(zhì)上是基于操作與口算經(jīng)驗的聯(lián)結(jié)。在“分”的環(huán)節(jié)中，離不開“算”，這一過程中的“算”是基于已有的口算經(jīng)驗，此經(jīng)驗處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。口算依據(jù)的是運算意義，對算理的理解是直觀形象的。小棒操作則能夠幫助學(xué)生形成分東西的表象，輔以已有口算經(jīng)驗的加工與建構(gòu)，對于后續(xù)的“理解算理，掌握算法”是十分必要的。

然而學(xué)生在分小棒操作過程中，共同點都是先分整捆，取5 捆中的4 捆平均分成兩份，每一份是2 捆；但是在對剩下的“1 捆2 根小棒”進(jìn)行操作的過程中，呈現(xiàn)出了兩種不同的分法：方法一“將1 捆小棒拆成10 根，與剩下2 根合并為12 根小棒，平均分成兩份，每份6 根”；方法二“將1 捆小棒拆成10 根平均分成兩份，每份5 根，再將剩下的2 根對應(yīng)平均分入剛剛的‘5根之中’，這樣每份依舊是6 根”。兩種操作方法對比之后，學(xué)生傾向于方法一，優(yōu)化了分法?！胺中“簟辈僮骷寄艿牧?xí)得、操作結(jié)果的獲得，對于學(xué)生來說基本沒有困難。無論是十個十個地分，還是十幾個十幾個地分，不一樣的操作順序，對應(yīng)的豎式算法也不一致。學(xué)生在操作中抽象出算法，為理解算理打下基礎(chǔ)。

“理解算理”的關(guān)鍵是“如何分12 根小棒，即計數(shù)單位的細(xì)分”。學(xué)生在分小棒的操作過程中，形成與積累了操作經(jīng)驗，培養(yǎng)了操作思維，為豎式計算的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。算法是基于計數(shù)單位的運算，這里的除法是減法的逆運算，實質(zhì)就是減法的簡便計算“同數(shù)連減”，凸顯了數(shù)與運算的一致性。

教學(xué)片段三：簡化過程，掌握算法

師：為什么5÷2 十位上是商2 呢？

生1：5 里面只有2 個2。只分掉4 個十，每份分得2 個十，5 減4 等于1。

師：1 表示什么？

生2：表示還有1 捆沒被分掉。剩下的這1 捆表示的是1 個十；余下的1 個十怎么辦？1 個十和2 個一合起來。

師：合起來是多少？

生3：是12 個一，也就是12，所以要把這個2 移下來。

師：同學(xué)們，寫到這里，接下來該怎么算呢？請拿出作業(yè)單，老師提醒一下，只要完成52÷2 除法豎式計算部分。

生4：繼續(xù)除以2，商6，每份又分得6 根小棒；二六十二，余數(shù)為0，表示全部分完，所以52÷2=26。

教材的設(shè)計、教學(xué)的過程是循序漸進(jìn)的。經(jīng)歷了之前的教學(xué)實踐，學(xué)生對口算的思路和算法都是十分清晰的，小棒的操作更是激活了學(xué)生原有的豎式計算的經(jīng)驗。在筆算前，對于整十、整百、幾百、幾十的數(shù)的概念的認(rèn)識是關(guān)鍵，學(xué)生形成了運用計數(shù)單位的運算習(xí)慣之后，更有助于遷移到之后的除法筆算中。口算經(jīng)驗的累積帶來口算策略的完善，但是學(xué)生還是傾向于使用筆算。在教授除法豎式計算時，為了便于學(xué)生掌握除法運算的過程，教師會將總結(jié)出的“‘商—乘—減’是除法筆算的模型”直接交代給學(xué)生，使學(xué)生獲得簡潔的除法豎式計算方法。這樣的教學(xué)方式，一方面顯示出相較于豎式計算的刻板；另一方面反倒對學(xué)生的口算能力要求更高。

即使在豎式計算的過程中，教師還是不斷地關(guān)注豎式與分小棒操作的一一對應(yīng)。尤其是分掉4 個十，剩下的1 個十和個位的2 個一合成12 個一， 再把12個一平均分，體現(xiàn)在豎式上就是被除數(shù)十位上有余數(shù)“10”該如何處理。被除數(shù)余下的1 個十，本來計數(shù)單位是“十”，將其分成較小的計數(shù)單位變?yōu)?0 個一，這樣計數(shù)單位“一”的數(shù)量就得到了累加，再加上個位的2 個一，就得到了12 個一，這樣才能夠繼續(xù)向下除。學(xué)生借助小棒操作和已有的平均分的意識，通過計數(shù)單位的細(xì)分，形成合理簡潔的運算策略，化解了本節(jié)課的教學(xué)難點。

正如上文所述，整數(shù)除法的核心在于計數(shù)單位的細(xì)分，因此也可以從計數(shù)單位的角度表達(dá)：首先，52÷2=52（個）÷2=20（個）……12（個），因為5（十）除以2 不夠除，所以把5（十）細(xì)分為50(個)，再加上2(個)，就夠除了，于是計算52(個)-20（個）×2=12（個）；其次，12（個）÷2=6（個）；最后根據(jù)兩步運算之后，2（十）加上6（一），得到最終結(jié)果26。

在整個除法運算過程中，被除數(shù)總是不斷地被細(xì)分成不同的、更小的計數(shù)單位分別參與12 個一的運算。相較而言，除數(shù)不需要進(jìn)行細(xì)分，一直以整體參與運算。其實在后續(xù)的除法運算學(xué)習(xí)中，無論是整數(shù)除法，還是小數(shù)除法（轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法），其算法無非如此，并無新意。

新授教學(xué)完成之后，教師會設(shè)計相關(guān)練習(xí)進(jìn)一步鞏固知識點的學(xué)習(xí)?；氐匠ㄘQ式計算中（如圖3），根據(jù)“商—乘—減”筆算的模型，注意商的位置不能寫錯，即除到哪一位商就商在哪一位上。如圖3 采用“□”這樣結(jié)構(gòu)化的方式，讓學(xué)生借助筆算模型以直觀方法鞏固算理、內(nèi)化算法，為之后脫離上述模型，實現(xiàn)獨立完成除法豎式計算打下基礎(chǔ)。在教學(xué)中，教師考慮到學(xué)生已具備一定的抽象思維和推理意識，就沒有再回歸到教材所提供的情境之中，而是借助小棒操作融合口算經(jīng)驗，支撐算法的習(xí)得和掌握。在理解算理之時，讓學(xué)生初識算法。

圖3 算法過渡

三、感悟數(shù)與運算一致性，體會運算本質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》針對不同學(xué)段的“數(shù)與運算”的教學(xué)內(nèi)容都有相對應(yīng)的教學(xué)建議，立足整體視角理解數(shù)的概念，溝通運算的一致性，“感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識”。

（一）算理解析與算法歸納，感悟除法運算的本質(zhì)

我國著名數(shù)學(xué)教育家陳重穆在《淡化形式，注重本質(zhì)》一文中指出，“對名詞、術(shù)語重點要放在學(xué)生對其實質(zhì)的領(lǐng)悟上，不必在文字?jǐn)⑹錾献巫我郧蟆?。這里的“名詞、術(shù)語”可以理解為陳述性知識，而“實質(zhì)”應(yīng)該是核心概念。除法計算教學(xué)中如何突破教學(xué)難點？首先，就是要把握與其相關(guān)的核心概念——平均分，是一種分物的思想，即“等分且分光”。除法計算教學(xué)必然圍繞“平均分”而開展。其次，追溯對數(shù)的運算的理解，除法是連減相同一個數(shù)的簡便計算，理解除法與減法的關(guān)系；除法是乘法的逆運算，尤其在試商和調(diào)商的過程中，商和除數(shù)相乘等于被除數(shù)。

除法運算的本質(zhì)是計數(shù)單位的不斷細(xì)分，而整數(shù)除法運算的算理源自乘法分配律。如52÷2=26，在學(xué)生學(xué)習(xí)了乘法運算律和分?jǐn)?shù)除法之后，教師還可以這樣表示運算過程：三年級學(xué)生并沒有正式學(xué)習(xí)過運算律的相關(guān)知識，這樣的運算方法需要等到他們到了中高年級的時候去理解。

除法算理屬于陳述性知識，解釋“為什么這樣算”：除法運算方法、豎式模型屬于程序性知識，解釋“怎樣算”。只要學(xué)生掌握了除法豎式的算法模型“商—乘—減”，教師在課堂教學(xué)中不組織學(xué)生進(jìn)行新授探究，直接告知，想必學(xué)生也會依靠簡單地模仿完成豎式運算。即便是這種對算法程序化、淺層次的理解，也還是需要建立在“理解算理”的前提下，因為豎式筆算的過程也蘊含對算理的運用，即計數(shù)單位的細(xì)分。算理作為陳述性知識，多關(guān)于數(shù)與運算的基本原理、意義等，算法則是作為程序性知識，源自實踐中不斷地概括。結(jié)構(gòu)化的豎式是對算理的運算過程的機械化、形式化。學(xué)生在遇到運算問題時，多半不會拘泥于抽象的算理，而是會根據(jù)實際情況壓縮、簡化這樣的過程，如上述過程簡約到只需要按步驟執(zhí)行計算的程序。在計算教學(xué)中，算理固定、算法多樣，教師要避免將算理直接告訴學(xué)生，要讓學(xué)生在探索中完整經(jīng)歷算理的形成過程，在實踐中自主構(gòu)建算法、歸納算理。

（二）直觀與抽象融通，實現(xiàn)算理算法的一致性

“數(shù)與運算”是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域兩大學(xué)習(xí)主題之一。“學(xué)段之間的內(nèi)容相互關(guān)聯(lián)，由淺入深，層層遞進(jìn)，螺旋上升，構(gòu)成相對系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)?！?數(shù)的認(rèn)識是數(shù)的運算基礎(chǔ)，數(shù)的運算有助于學(xué)生更好地認(rèn)識數(shù)。

“數(shù)（shù）”來自“數(shù)（shǔ）”。在第一學(xué)段數(shù)的認(rèn)識中，教師常常會根據(jù)學(xué)情，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，借助經(jīng)典學(xué)具小棒、圓片，通過“數(shù)（shǔ）”實現(xiàn)“計數(shù)單位的累加”，認(rèn)識“數(shù)（shù）”學(xué)會數(shù)字表達(dá)。然而到了第二、第三學(xué)段，數(shù)的認(rèn)識不再依賴于操作，更多地是來自圖形、畫圖等方式，根據(jù)數(shù)的意義去認(rèn)識數(shù)。學(xué)生在“數(shù)”與“形”之間切換，以“形”為手段認(rèn)識“數(shù)”，將抽象的“數(shù)”化為直觀的“形”，解決具體的數(shù)學(xué)問題。數(shù)的認(rèn)識過程就是對數(shù)量的抽象的過程，從而促進(jìn)數(shù)感的發(fā)展，促進(jìn)符號和推理意識的形成。正如華羅庚所說：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非?！?/p>

弗賴登塔爾認(rèn)為，“好的方法都強調(diào)計數(shù)”“運算的本質(zhì)是計數(shù)”。如果脫離了具體的數(shù)，那計數(shù)單位是抽象的，然而教師借助數(shù)（shǔ）的方式認(rèn)識了數(shù)（shù），也就有了計數(shù)單位存在的載體。計數(shù)單位參與到除法的運算中，每商一次，商都要小于或者等于9。數(shù)的認(rèn)識與運算賦予了計數(shù)單位豐富的內(nèi)涵。計數(shù)單位的累加使得出現(xiàn)了更大、更復(fù)雜的數(shù)，相同計數(shù)單位個數(shù)的累加或者遞減形成運算的過程。操作的過程是具體的、直觀的，看上去是動作技能的展現(xiàn)，實則反映了學(xué)生對抽象算法的認(rèn)識，展現(xiàn)了從動作思維到抽象思維的過程。

“理解算理，掌握算法”要借助直觀操作支撐對算理的理解，學(xué)生通過豎式計算揭示算法，積累了豐富的感性經(jīng)驗，歸納推理出算法?；谘堇[推理，小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法也都是依據(jù)這個道理進(jìn)行計算的。

（三）內(nèi)化算理算法，發(fā)展運算能力的“一體兩翼”

數(shù)的運算涉及三個概念：算理、算法、運算律。在具體的實操中，應(yīng)該是從算法中歸納算理，再由算理推導(dǎo)運算律。然而，在教學(xué)實踐中，一般是由運算律演繹出算理、算理推出算法，幫助學(xué)生形象地理解運算的算理，并輔以課件動態(tài)演示對應(yīng)小棒實物操作，在直觀演示和歸納概括中幫助學(xué)生內(nèi)化算理和算法。

學(xué)生在進(jìn)行算理和算法的理解之時，能夠感知數(shù)學(xué)的道理，形成初步的推理意識。為此，教師還需要在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)一些新的問題情境，讓學(xué)生在解決實際問題中學(xué)會何時、何地、如何運用所學(xué)過的知識，內(nèi)化算理算法。這些問題情境的創(chuàng)設(shè)既要有科學(xué)性也要有趣味性，有利于學(xué)生對運算對象的理解，從而靈活、快速地選擇算法適用的條件。新運算問題的解決，一方面可以反映學(xué)生對算理算法的掌握情況，發(fā)展運算能力；另一方面也能幫助學(xué)生合理地辨析數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實世界的關(guān)聯(lián)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

學(xué)生運算能力的形成絕對不是一蹴而就的。回顧整個教學(xué)的過程，學(xué)生以口算為基礎(chǔ)，借助“小棒”進(jìn)行直觀操作，揭示豎式計算的方法，完成對算理的理解。學(xué)生通過多樣性的練習(xí)，積累豐富的感性經(jīng)驗，在此基礎(chǔ)之上內(nèi)化算理算法，逐步形成運算技能。學(xué)生一旦擁有了關(guān)于除法運算的穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并且根據(jù)新知的納入不斷對認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行動態(tài)的調(diào)整，就能實現(xiàn)運算方法的遷移，從而讓運算技巧轉(zhuǎn)化為運算能力。