點子圖教學的“困惑”與“解惑”

北京市建華實驗學校 趙 穎

運算能力是新課標核心素養的主要內容之一。小學階段，教材主要通過數形結合來實現整數運算的模型化和抽象化，整數乘法的學習主要依托的就是“點子圖”。點子圖作為一種半抽象化的圖式，在計算教學中有著不可替代的作用。“在點子圖上圈一圈”這一活動，介于實物操作和符號表達之間，是聯結直觀與抽象的橋梁，能更有效地幫助學生內化數學概念、直觀理解算理、探究口算方法和建構筆算模型。但在現實教學過程中，點子圖的使用卻并不盡如人意，學生覺得點子圖很麻煩，教師為此覺得很苦惱。是什么原因導致本應起到直觀支撐作用的點子圖讓師生都產生如此大的困惑？如何發揮點子圖應有的作用和價值？本文以北師大版數學三年級下冊“兩位數乘兩位數（第一課時）”的教學為例，進行說明、分析，并提出改進設計。

一、發現困惑

“兩位數乘兩位數”是運算教學內容，學生通過借助幾何直觀（在點子圖上圈畫）與先前的學習經驗，探索兩位數乘兩位數的算理與算法，感悟轉化的數學思想；通過建立點子圖與算式之間的聯系，體會計算方法的一致性。

按照教材的編寫邏輯，學生的思維由直觀的點子圖到抽象算式、表格。在教學過程中，學生先在點子圖上進行圈畫，再用算式表示出來。但通過觀察，在實際教學過程中，大家都發現了一個“大問題”：教材中推崇的起直觀支撐作用的點子圖，對學生來說反而是阻礙。筆者通過學前調研發現，絕大多數學生會用豎式、會用分步橫式，也有會用表格的。但是如果讓學生在點子圖上畫一畫、圈一圈，就會發現學生畫得五花八門，與教師希望的以及教材中呈現的“整塊拆分”方法相差甚遠。于是教師就調整教學設計，先讓學生用自己的方法寫（都是算式或表格），然后再在點子圖上表示出來，認為這樣既尊重了學生的學習起點，又使得學生圈畫點子圖是有指向性的。但是這樣并不符合教材的邏輯，也不符合從直觀到抽象的編寫邏輯順序，教師陷于苦惱之中。

二、“惑”從何來？

學生的學習起點大致分為以下四個水平：

水平1：不會兩位數乘兩位數的計算方法，也不能把之前學習的兩、三位數乘一位數的方法進行主動遷移應用。水平2：不會兩位數乘兩位數的計算方法，但是能夠把之前學習的兩、三位數乘一位數的方法進行主動遷移應用。水平3：提前學過兩位數乘兩位數的計算方法，但是不懂算理。水平4：提前學過兩位數乘兩位數的計算方法，也懂算理。

在教學時，教師往往從一個情境聚焦數學問題，然后很快聚焦算式，學生再一起按照教師的活動要求進行探索，然后進行解讀和溝通。在這樣的設計之下，學生的表現：

（1）處于水平1 的學生不會計算，盲目地完成活動要求，沒有目的地圈，圈了之后也不能直接看出結果。

（2）處于水平2 的學生能夠根據點子圖的二維分布特征，按照一個維度進行拆分，將拆分后的每一部分轉化成兩位數乘一位數進行計算，再合起來，從而解決了問題。可見，點子圖對處于水平2 的學生確實起到了直觀支撐的作用。

（3）處于水平3 的學生雖然會計算方法，但是他們僅僅會計算結果而已，對于“每一步算的是什么、為什么這么算”是從來沒有想過的。所以這些學生往往很快算出結果，然后再在點子圖上隨意地圈，只為完成活動要求中的“圈一圈”這一操作指令。

（4）處于水平4 的學生則不僅能正確計算出結果，還能在點子圖上做相對應的圈畫。但因為這部分學生課前不僅掌握了算法也理解了算理，點子圖是他們“表演”的工具，對其思維的進階并沒有起到支撐作用。

通過以上分析可以發現，對點子圖的使用產生困惑主要存在于處于水平1 和水平3 的學生當中。產生這種困惑的原因在于教師過早地聚焦到計算的結果上，忽略了點子圖的“數”屬性，割裂了數與運算之間的密切聯系。教師的割裂導致了學生的割裂，以至于雖然點子圖就在那里，處于水平1 的學生卻放棄了“數”這一最基本的方法；處于水平3 的學生不明白為什么還要在點子圖上圈、到底要圈什么。事實上，當算式抽象出來之后，問題的焦點是算式的計算結果而非解決情境中的問題，此時大家已經置點子圖于不顧了，即使教師的活動要求是要在點子圖上圈一圈，再寫算式，那也是教師的指令，而非學生的自覺。

新課標相較于之前的課標，對數學課程內容進行了結構化整合，其中重要的一點是把數的認識與數的運算兩個主題融合為“數與運算”一個主題，以凸顯數與運算的一致性。數的運算和數的認識在本質上是一體的，因為數概念具有概念過程性。

點子圖是數的二維直觀表達，是溝通數與運算的重要支撐，基于數與運算一致性的設計是破解點子圖困惑的關鍵。

三、基于計數的計算教學設計，發揮點子圖直觀支撐作用

郭華教授提出的“兩次提出倒轉”教學機制揭示：在性質上，學生的認識過程是將人類認識過程“倒過來”的過程；在內容上，學生認識的起點是人類認識的終點；在過程上，則是把“倒過來”的過程再“轉回去”。這節課的難點在于如何讓學生在已經“倒過來”的認識內容基礎上，通過教師的設計，在過程中實現潛移默化中再“轉回去”。數與運算一致性可以實現這種潛移默化。本文嘗試從計數的角度對“兩位數乘兩位數”進行了如下設計：

（一）教學目標

（1）借助直觀模型，能主動遷移運用已學知識方法解決問題，在個性化方法和表達中培養創新意識。

（2）關注圖形特征，在溝通多種方法的過程中，體會每種方法背后的道理，理解兩位數乘兩位數的算理與算法，實現思維進階，提升運算能力。

（3）在與他人交流算法的過程中，學習澄清思路，表達數學思維；傾聽、理解他人的方法，進行反思和調整，靈活選擇適用的方法解決問題；嘗試溝通不同方法間的聯系，從而達成對算理的深度理解。

（二）教學過程

1.情境引入，提出問題

師：學校一年一度的春季運動會馬上就要開始了，今年咱們三年級要一起表演啦啦操，現在需要選拔小隊員。圖1 是我們啦啦操表演的隊形，一個點代表一個人，觀察這個隊形，你們發現了哪些數學信息？能提什么數學問題？

圖1

生：長方形隊形，啦啦操表演一共需要多少人？

2.自主探索，個性表達（提供點子圖）

獨立思考“啦啦操表演一共需要多少人” ，在印有隊形圖的學習單上表示出你的想法。

預設1：點數。預設2：幾個幾個圈地數。預設3：分塊計數。（1）分成已經學過的兩位數乘一位數；（2）按計數單位進行分塊計數。預設4：算式解決。

【設計意圖】從被動操作到主動遷移的角色轉換。學生不是為了計算12×14 的結果而研究計算，而是在真的解決“多少人”這個問題。在解決問題的過程中，學生自覺調動已經掌握的知識，以解決這個問題。此時情境是有意義的，而非算式的“擺設”。教師沒有過多的要求（就必須要先圈一圈，再寫算式），學生自然就避免了被動的操作。要解決的問題是“多少人”，所以能夠解決這個問題的方法（數數、計算）都應該是被肯定的，而非為了學習乘法而眼里只有乘法。

3.解讀與對比中實現思維進階，溝通算理算法

教師在黑板上分別展示這些方法，學生互相解讀。

師（追問）：為什么想到分塊計數？

（這反映出一部分學生已經能自覺遷移，運用乘法是加法的簡便運算來解決問題）

師（追問）：為什么想到分成幾個十，幾個一？

（這反映出一部分學生已經能自覺遷移，利用計算單位解決較復雜的計數問題。而計數單位恰恰是數的認識與運算一致性的核心之一）

師：同學們的思考方法多種多樣，都用自己的方法解決了問題，再來看看這些方法，哪些方法很像？

預設1：一些方法是數數，一些方法是運算。預設2：數數的方法里有一些是幾個幾個數的，還有一些是一塊一塊數的。預設3：運算的方法里有一些是把12或14 拆分成了更小的學過的數，還有一些是將12 或14 拆成了1 個十和幾個一。

師：如果給這些方法區分一下水平，你覺得哪種方法的水平更高一些？為什么？如果再解決類似的問題，你想選擇哪類方法？學完有什么收獲？還有哪些新想法？

【設計意圖】

（1）找到從“數數”到“算數”的進階需求。解決“多少人”問題的過程可以暴露學生的認知起點。在現實教學中一般有這樣幾個現象：

①幾乎每個班都有學生在計算時幾個幾個一圈，其中部分學生所得的結果不是算出來的，而是數出來的，他們雖然也學習了一些運算知識但是不能主動地遷移運用。②其中還有一部分學生是加出來的：“12+12+12+…+12=168”，有了用運算解決問題的意識。③能夠進行分塊計算的學生，已經有了運用乘、加混合運算解決問題的意識和能力。

可見，從“數數”到“算數”并非所有三年級學生的自覺轉換。

（2）找到從“一維計數”到“二維計數”的進階需求。點子圖是一個二維的計數模型，也是乘法模型。在已經學過了乘法的意義和兩位數乘一位數之后，學生是否有這樣的自覺意識用這些知識來解決問題呢？處于“數數”階段的學生，在數人數的時候，仍然是一維計數思維——接著數下去就好了；處于分塊計數水平的學生則關注到了點子圖的二維特征，有使用乘法來解決問題的自覺。學生間的計數策略與水平是存在差異的。

（3）找到從無意識的“拆分計數”到有意識的“單位計數”的進階需求。在分塊計數的學生當中，有一部分學生是有意識的拆分，按照計數單位將比較大的乘數拆成幾個十和幾個一。這反映出這部分學生能從計數單位的角度深刻地認識數的意義，并能自覺地將其應用到運算中。學生在拆分計數的過程中存在著水平差異。

這些差異源于學生對數的認識以及運算認識的差異，也為課堂提供了生動的交流資源。通過學生之間的互相解讀、教師的引導追問，讓學生實現從“數數”到“算數”、從“一維計數”到“二維計數”、從無意識的“拆分計數”到有意識的“單位計數”三個方面的進階，使學生的思考得以深入，促進學生主動建構理解算法與算理之間的關系模型，培養運算能力，理解數與運算的一致性。