運用GeoGebra 軟件實現復變函數可視化教學的探索與實踐

程 旭，艾小川，張 恒

（海軍工程大學基礎部 湖北 武漢 430033）

復變函數是實數域上的微積分學在復數域上的推廣和發展，在積分變換、解析數論、算子理論等數學分支中有重要作用。同時它廣泛應用于理論物理、流體力學、信號處理等自然科學相關領域。“復變函數”是工科院校大部分專業的必修課程[1]。其作為繼“高等數學”之后的一門數學課程，以符號推導與定理證明為主的傳統教學方法對工科學生的學習提出了較大挑戰。在現代教育技術的發展下，利用數學動態軟件GeoGebra 將復變函數知識可視化[2-3]，直觀地呈現復變函數的特性，巧妙引入數形結合[4]的思想，能有效地激發學生的學習興趣、調動其學習積極性，達到認知、掌握、應用的連貫推進。

1 復分析可視化資源庫的建立

中學數學階段的培養已經為實變函數的學習奠定了良好的基礎，實數在數軸上的對應、一元函數在平面上的圖像、二元函數在三維空間中的圖像等都能幫助學生直觀地認識實變函數的各種性質。而復數需要對應到復平面上，隨之而來的復變函數需要在至少四維空間中呈現，學生難以想象出復變函數的幾何直觀圖像。利用數學軟件在兩個復平面上分別展現原像和像、在同一個復平面上疊加像點或者將第四個維度以顏色代替是目前復變函數可視化[5]的三個主要方法。為了服務于教學，需要先建立可視化資源庫。

1.1 選取合適的可視化專題

“復變函數”課程以解析函數為主，包含復數、復變函數微積分，以及復變函數的代數性質即展成泰勒級數或者洛朗級數。“形”可以啟發“數”，“數”可以塑造“形”。選取的可視化專題要兼具簡潔性與實用性。簡明易懂的圖像可以化繁為簡、化難為易，消除學生畏難情緒，獲得對相關知識的清晰認知；實時動態圖形演示可以讓學生參與進來，觀察參數變化對圖像的影響，引導學生主動探索，培養科學的學習方法。因此根據教學重難點及知識屬性，分三個方面選定可視化資源庫的專題（如圖1）。

圖1 可視化資源庫專題

對于本校工科專業而言，復變函數的學習目標主要是為后續積分變換與數理方程等數學課程以及信號處理等專業應用奠定基礎。因此專題中復數和典型復變函數是重點，建立這兩方面的專題能從幾何角度幫助學生理解復分析、掌握計算技巧。而更深入的共形映射等知識只作拓展要求，開闊學生眼界；最后一部分，不同學科之間的交叉應用專題是激發學生創新性的契機。專題的選取與建立既是為了達成知識目標與能力目標，同時又可以通過資源庫檢驗學生對知識的掌握及運用程度，實現目標的可測性。

1.2 利用數學動態軟件GeoGebra 制作可視化文件

對于上述專題，分別選擇典型的復變函數作圖。由于使用MATLAB 需要具備一定的編程基礎，而GeoGebra 是交互式的用戶界面，既可以直接選擇數學對象又可以通過代數表達式建立圖像，是可視化教學的有效工具，學生也可以快速掌握，因此主要采用GeoGebra 實現復變函數的可視化。以第一部分復數為例，通過GeoGebra 做出復數在復平面上的對應（如圖2a）和復數在復球面上的對應（如圖2b）。

圖2 a 復平面

圖2 a左上滑動條可以實時改變復數的實部與虛部，此時圖形上的模長和輻角也會隨之發生改變；反之，左下的滑動條可以改變模長與輻角，此時對應到復平面上點的實部與虛部也發生了改變。通過這個可視化過程，學生能清晰地看到復數兩種表示形式之間的轉化關系。圖2b 是復平面上點與復球面上點的對應關系，即“球極投影”。此外還能通過可視化討論輻角與輻角主值的關系等。將需要辨析的數學概念通過幾何呈現出來，一目了然。

對于1.1 中選定的專題，依1.2 所示制作ggb 文件，初步建立可視化資源庫。

2 基于可視化資源的教學流程再設計

由于可視化資源的引入，原有的教學設計中部分內容需要調整，將“數”與“形”結合起來講解，側重引導學生去觀察、發現和理解復數以及復變函數的各種性質特點。另外學生參與動態圖形的調參互動需要占用一定的時間，所以課堂時間分配也需要調整。因此，課前教師要完善教學課件，重新進行教學設計，將可視化資源庫與教學有機融合（圖3，p43）。

2.1 課堂教學模式更新

在課堂教學過程中，教師首先利用資源庫中已經建立好的ggb 文件，將幾何圖象呈現出來，引導學生觀察圖像，發現圖像中包含的問題，然后帶著問題講解對應的知識點。以“形”啟發出“數”，圖形的直觀特點蘊含了數學理論。在學生具備了一定的理論基礎之后，組織學生對于其他函數進行可視化，驗證理論結果。通過學生互動與小組討論，強化其對知識的理解。“數”揭示了“形”的特點。最后，融會貫通，學生對于實際問題也可以按照數形結合的思想，從問題中抽象出復變函數表達式，將表達式與幾何直觀聯系起來，從一個問題出發，解決一類問題。

區別于傳統的教師輸出、學生輸入的單方面講授模式，基于可視化資源庫設計的教學流程側重于教師引導、學生參與探討的交互模式。學生既可以作為提問者，好的設問是思考的第一步；又可以作為解答者，鍛煉邏輯推理能力與知識調用能力。只有充分參與進來才能真正做到“知其然更知其所以然”，參與感與獲得感能讓學生在復變函數的學習過程中獲得愉悅感。新模式下的課堂教學旨在培養學生的學習能力，授人以魚不如授人以漁。形式上借助于數學軟件與可視化資源庫，趣味性與科技感能調動學生的積極性；內容上幾何與分析的結合能使知識更為清晰透徹，數形結合打造高效的課堂。

2.2 課后開放式大作業拓展

為了進一步促進學生掌握“觀察―發現―討論―歸納”的學習方法，教師可制訂啟發式的大作業，學生在課程結束時提交并展示。開放式作業提綱設計如下：

示例：教師給出復變函數可視化方法與對應例子。主要包含三種可視化方法：雙復平面、疊加復平面、動態映射。

任務：學生自主完成。

①知識強化。尋找典型的復變函數或者有特殊幾何含義（有用/有趣）的復變函數，分析這個函數的分析/代數/幾何特點，并作圖。

②方法創新。對于一類復變函數（單值函數、多值函數），尋找其他可視化方法，并分析這種可視化方法的優點和缺點，討論這種方法對復變函數學習的作用。

③能力遷移。對于一個或一類具體的應用實例（工程、軍事、其他學科等），給出背景分析、復變函數在其中的作用，利用復變函數的相關理論解決實際問題。

學生根據課堂上的可視化演示以及示例，自選完成上述三個任務之一。任務①旨在促進學生對“數形結合”思想的鞏固。學生可以選取課堂上學習的典型復變函數（指數、對數、冪函數等），根據教師給出的示例對其進行可視化呈現，再結合函數表達式與幾何特性分析它的各種性質。鍛煉學生的觀察與分析能力，屬于較容易的任務。任務②側重于方法的創新，復變函數的可視化通過GeoGebra軟件來實現是簡單易學的，但是對于多值性的呈現也有局限性。對于現代工科專業學生而言，基本編程語言的學習與使用是必備技能。而編程實現的前提是算法的構造。學生來自不同專業，思維方式不同，就有給出新的可視化方法或算法的可能性，這就是創新意識的體現。而創新要基于對復變函數特性有較好的掌握，這屬于中等難度的任務。任務③則是實際應用能力的激發。相較于基礎數學專業側重理論而言，工科學生學習復變函數更重要的是學會應用。通過自己尋找實例，數形結合，理論推導，最后回歸解決實際問題。這個過程既是數學建模及求解的過程，也是學生以后走上工程應用或工作崗位的一個預備過程，學以致用考查學生的綜合能力，屬于難度較大的任務。

通過三個不同難易程度、不同側重點的開放性任務，可以促進學生個性化學習，學生根據自己的能力和興趣點選擇一個任務完成，也可以小組協作。課程結束前提交并展示。

3 教學實踐效果反饋與更新

課程組按照新的教學設計思路，將可視化資源有機融合到實際課堂中，在2023 年春季學期的電氣、導航等專業共67 名學生的教學班中進行教學改革試點。課堂上，該教學班學生能更積極活躍地回答問題，知識掌握得更透徹。學期末的考核中，試點班在8 個教學班中復變函數課程的總評排第二名。同時課程組在后續課程“積分變換”等教學中發現，改革試點專業的學生對復變函數知識記憶更深刻更長久，數形結合加深了理解因此延長了記憶的時效。可視化方法在復變函數教學中的應用既收獲了短期效果，也在后續其他理論與應用課程中有良好的后作用。其主要體現在以下三個方面：

①可視化技術的多樣化。表現形式上，78%的學生采用GeoGebra 繪圖，18%的學生采用MATLAB 繪圖，4%的學生采用Python 繪圖。軟件的多樣化使用，能更好地實現復變函數的可視化，為融合技術的新型教與學模式[6]提供了更多技術支持，鍛煉了學生的實操能力，使教師的教學技術手段更加多元化。

②數形結合思想的有效滲透。一部分學生選擇將基本解析函數可視化，既有對表達式的數學理論分析，又有對圖形的解釋，體現了數形結合的思想。以開三次方函數為例，這是一個典型的多值函數。通過理論推導不同分支之間輻角相差120°。利用GeoGebra 作圖可以發現當給定一個z，對應的三個w是同一個圓周上的三等分點，理論與幾何直觀契合。學生自主討論的這些例子可以添加到可視化資源庫里，實現資源庫的更新與完善。

③應用與創新能力的充分開發。另一部分學生結合自己所學的專業課程或者生活實際場景，將復變函數應用到實際問題中。例如用復電位描述靜電場的分布情況，利用保角變換把一些具有復雜邊界的靜電系統變換為有簡單邊界的典型靜電系統。以及在學校道路停車線處發現歐拉公式z=ei t（如圖4ab）。

圖4 a 停車線

可見通過可視化教學方法，學生不僅僅對復變函數有了更深刻的認識，對數形結合思想的領悟也更靈活。此次教學改革達到了復變函數知識的學習、可視化能力的培養、數形結合思想的推廣的目的。

4 小結

通過教學方法的創新改進，在教學實施過程中教師致力于培養學生數形結合的思想，鍛煉并提升他們將復雜問題簡單化、抽象問題具體化的能力。通過分階段的教學設計，從以教師引導的數形聯想方式轉變成學生參與的調參互動，最后轉變成學生自主探索“化數為形、以形助數”的延伸拓展環節，潛移默化的思想訓練能為他們在各學科的學習中開拓新思路。根據課上的討論與課下開放式大作業對可視化資源庫進行更新，實現“教”與“學”的思想碰撞，使教學更適應于當下學生的認知規律與工科專業的應用需求。因此，可視化方法在工科復變函數課程教學中的應用是有效且必要的，也需要在不斷的教學實踐中發展完善。信息技術為教學方法變革賦能是值得各學科教師探索嘗試的方向。