高三復(fù)習(xí)從掌握知識技能向素養(yǎng)能力內(nèi)化的研究
——以切線問題為例

江蘇省無錫市第一女子中學(xué)(214002) 惠宇

相切是一種特殊的位置關(guān)系,如直線與曲線相切可以看作是與曲線或曲線局部相離的直線在向曲線或其局部逐漸平移靠近時首次產(chǎn)生公共點的臨界狀態(tài),也可以看成是與曲線相交的直線,當(dāng)其中一個交點向另一個交點逐步逼近后的極限狀態(tài).因此,切線本身蘊含著豐富的圖形語言,同時蘊含著臨界、逼近等極限思想,是解決最值問題的直觀模型、思維依據(jù)與有力工具.

全國高考及各地模考歷來重視對相切問題的考察,例如2022 年全國新高考Ⅰ卷在多項選擇題第10 題、第11 題,填空題第14、15 題多個問題著重考察直線與圓、圓錐曲線及函數(shù)的相切問題,解答題第22 題利用圖象相切抽象得系列不等關(guān)系也可起到引領(lǐng)思路和簡化計算的效果.由此可見,有關(guān)相切問題的考察是評價學(xué)生數(shù)學(xué)思想形成、學(xué)科素養(yǎng)內(nèi)化的重要依據(jù).會求切線并非知識學(xué)習(xí)的最終結(jié)果,會用切線更是對該知識的本質(zhì)理解,是實現(xiàn)將知識轉(zhuǎn)化為解決問題的工具,將能力內(nèi)化為學(xué)科核心素養(yǎng)的必然要求.高三復(fù)習(xí)應(yīng)幫助學(xué)生實現(xiàn)從知識技能掌握到素養(yǎng)能力內(nèi)化的轉(zhuǎn)變.

1 掌握知識技能

學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展須建立在一定基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握之上.掌握學(xué)科基礎(chǔ)知識、基本技能的過程就是學(xué)生獲得解決問題原始“工具”的過程,學(xué)生首先要獲得工具,才能靈活地選擇工具、綜合地應(yīng)用工具、創(chuàng)造地使用工具,進而解決復(fù)雜問題.以函數(shù)的切線問題為例,計算切線通常分為兩類: 切點已知和切點位置.若已知切點坐標(biāo)(x0,y0),則可直接利用切線定義求得切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0);若已知點非切點,則需先設(shè)切點坐標(biāo)橫坐標(biāo)為x0,同樣表示出切線后將已知點代入,先求得切點坐標(biāo),再計算切線方程.理解切線概念、掌握切線方程求解方法的過程就是獲得學(xué)科基礎(chǔ)知識技能的過程.

問題1(2022 學(xué)年南通一模第15 題) 已知直線y=kx+b是曲線y=ln(1+x)與y=2+lnx的公切線,則k+b的值.

評析切點是確定切線方程的關(guān)鍵.在切點未知的情況下,設(shè)出切點坐標(biāo)是該問題解決的突破口,22 年全國新高考Ⅰ卷第10 題D 選項、第15 題均是通過設(shè)切點尋得問題解決的有效途徑.基礎(chǔ)知識和基本技能是學(xué)科素養(yǎng)形成的出發(fā)點與載體,學(xué)科核心素養(yǎng)的形成并非無源之水無本之木,其必須建立在掌握牢固的知識技能的基礎(chǔ)之上.素養(yǎng)導(dǎo)向下的新高考注重考察學(xué)生能力的同時,并不意味忽視學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的檢驗.因此,我們教學(xué)所要實現(xiàn)的既是學(xué)生對知識的理解與掌握,又要將知識作為載體,最終留給學(xué)生思維層次的提升,素養(yǎng)能力的內(nèi)化,使學(xué)生學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué),實現(xiàn)在數(shù)學(xué)世界、現(xiàn)實世界遇到的各類問題中能夠自由地思考、探索與創(chuàng)新.

2 素養(yǎng)能力內(nèi)化

相切是一種蘊含豐富圖形語言和數(shù)學(xué)思想的特殊位置關(guān)系,其本身既具有直觀的圖象性,又包含豐富的代數(shù)性,是數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、極限等思想的集中體現(xiàn).因此,切線更大的魅力在于會用,而不僅在于會求,其在處理一類最值問題、不等式放縮問題中其有著廣泛而巧妙的應(yīng)用.

問題2(2022-2023學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)一模第22 題改編) 已知定義在(0,+∞)上的兩個函數(shù)f(x)=x2+,g(x)=lnx,設(shè)直線y=-x+t(t∈R)與曲線y=f(x),g(x)分別交于A,B兩點,求|AB|的最小值.

法一 詳見答案解析(略)

法二 利用切線(圖1)

評析問題2 需要學(xué)生研究一條確定斜率的動直線與兩條曲線交點之間距離的最小值.標(biāo)準(zhǔn)答案采用代數(shù)運算的方法,利用導(dǎo)數(shù)說明|x1-x2|的最小值,在對學(xué)生的思維上提出較大要求.法二則先通過數(shù)形結(jié)合作為思維引導(dǎo),從而巧妙地找到曲線y=lnx的一條切線y=x-1,有效降低極限問題的計算維度,減少了思維難度和計算量.

知識的掌握并不是我們的最終目的,而更在于通過知識的獲得促進我們能力的成長、素養(yǎng)的內(nèi)化,并在這過程中積累豐富的學(xué)科活動經(jīng)驗,從而實現(xiàn)讓知識成為我們思考、分析和解決問題的工具.就如同當(dāng)我們掌握了制造錘子的方法,但我們最終目的往往并不是僅是制造錘子,而是利用錘子我們能敲開一堵墻或建成一間房.知識是我們解決問題的工具,利用知識解決問題的過程不僅要求我們對所學(xué)知識有更深入的理解,更需要我們合理選擇、靈活應(yīng)用,在這一過程中逐步發(fā)展思維的邏輯性、嚴謹性、思辨性、創(chuàng)造性,逐步促進高階思維的形成.

3 從知識技能向素養(yǎng)能力轉(zhuǎn)變的幾點教學(xué)思考

3.1 優(yōu)化教學(xué)組織,重視數(shù)學(xué)思想方法的挖掘與應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想方法貫穿學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、研究數(shù)學(xué)問題的始終,是人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中總結(jié)出來的一類基本思想,是實現(xiàn)從知識應(yīng)用到素養(yǎng)內(nèi)化的橋梁.素養(yǎng)導(dǎo)向下的新高考在對學(xué)生的評價中更加重視知識技能與能力素養(yǎng)的相互交融,凸顯知識的工具性價值.

數(shù)學(xué)知識是解決數(shù)學(xué)問題的工具,選擇什么知識、調(diào)用哪種工具是解決問題的關(guān)鍵,數(shù)學(xué)思想方法在其中起關(guān)鍵作用(表1).以問題3 為例,由問題本身直接調(diào)用工具1 的知識儲備,而在實際解決過程中用的卻是工具2 的知識儲備,由此可見,數(shù)學(xué)思想方法在對問題的分析與工具的選擇中起到溝通與橋梁作用.數(shù)學(xué)思想的形成并非一蹴而就,如何讓學(xué)生靈活應(yīng)用工具,像數(shù)學(xué)家一樣地進行思考,這要求我們在教學(xué)中進一步優(yōu)化教學(xué)組織,思考和挖掘知識背后所蘊含的豐富數(shù)學(xué)思想,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念引入或數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)現(xiàn)的全過程,實現(xiàn)以掌握知識為載體向素養(yǎng)能力內(nèi)化的轉(zhuǎn)變.

表1 數(shù)學(xué)思想方法在問題解決中的關(guān)鍵作用

3.2 完善課堂評價,重視高階思維能力的激發(fā)與培養(yǎng)

學(xué)生的高階思維能力可以通過教學(xué)獲得[1].高階思維能力(Higher Order Thinking Skill,HOTS)作為思維能力中的重要組成部分,近年來受到更多關(guān)注.《中國高考評價體系》更是將眾多高階思維能力歸入高考評價體系中的“關(guān)鍵能力”.人教社李健和李海東根據(jù)國外學(xué)者Hassan,Yen 等人的研究,從思維能力角度將高階思維能力劃分為批判性思維和創(chuàng)造性思維,從認知過程水平角度劃分為分析、評價和創(chuàng)造,并分析其中的區(qū)別與聯(lián)系(圖2)[2].由此可見,批判性思維是產(chǎn)生創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)與前提,評價在這兩類思維的產(chǎn)生與轉(zhuǎn)化中起到了關(guān)鍵作用.

問題4可以用公共點的個數(shù)定義直線與圓相切或者直線與二次函數(shù)相切這一位置關(guān)系.一般地,能用公共點的個數(shù)定義直線與曲線相切嗎? 你能從切線定義的角度解釋嗎?

顯然,從切線定義出發(fā),切線與公共點的個數(shù)并無關(guān)系,例如高次函數(shù)或三角函數(shù),切線與曲線的公共點可以是多個或無數(shù)個.學(xué)生要合理地辨析“直線與圓或者二次函數(shù)相切”和“對于一般曲線切線的定義”之間是個性與共性、特殊與一般的關(guān)系,如果學(xué)生無法從切線的定義出發(fā),從共性的角度區(qū)分兩者的區(qū)別與聯(lián)系,很容易將兩者混為一談,陷入產(chǎn)生迷思概念(Misconceptions)的困境.因此在課堂教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生外顯思維,及時評價,啟發(fā)學(xué)生批判性地對不同觀點提出自己觀點,促使其理性思維走向嚴密、深刻、靈活、綜合的更高水平,為高階思維能力的激發(fā)與培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)[3].

3.3 轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念,重視數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是在已有經(jīng)驗和直觀基礎(chǔ)上,經(jīng)歷和感悟歸納推理和演繹推理的過程后,建立新經(jīng)驗和更高層次的直觀[4].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》界定基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗為“學(xué)生通過親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程所獲得的具有個體特征的經(jīng)驗”.

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中除了讓學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗外,更重要的是引導(dǎo)學(xué)生在多樣化的數(shù)學(xué)活動中去思考、探究和發(fā)現(xiàn)結(jié)論的經(jīng)驗.

問題5實踐探究: 已知函數(shù)f(x)=x3-6x

(1)過點A(2,-4)存在幾條直線與曲線y=f(x)相切?

(2)過點B(1,m)存在三條直線與曲線y=f(x)相切,求m的取值范圍?

(3)當(dāng)點C在直線x=2 上運動時,過點C有幾條直線與曲線y=f(x)相切? 說說你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論?

(4)過平面內(nèi)一點作曲線y=f(x)的切線有幾條?你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

學(xué)生通過經(jīng)歷研究三次函數(shù)切線數(shù)量問題的自主探究過程,在問題解決中經(jīng)歷從特殊到一般,從具體到抽象的過程,充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的一般思維歷程和活動經(jīng)驗,積累數(shù)學(xué)結(jié)論探索的一般方法.教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的生成,而不是知識的記憶,數(shù)學(xué)活動是基于先行知識的學(xué)術(shù)探究,而不是封閉的知識成果,在這一過程中學(xué)生自主經(jīng)歷知識認知、性質(zhì)推導(dǎo)、結(jié)論產(chǎn)生、問題探究過程的一般思想和研究方法,用數(shù)學(xué)系統(tǒng)的眼光思考問題,建立知識間的聯(lián)系和貫穿知識發(fā)生的線索,逐步積累起解決一般問題的活動經(jīng)驗.

因此,課堂教學(xué)中我們要特別重視學(xué)生的數(shù)學(xué)參與,創(chuàng)設(shè)適度開放、圍繞單元核心、體現(xiàn)知識本源、蘊含數(shù)學(xué)思想的探究問題,使學(xué)生在問題研究、遷移、反思、評價過程中實現(xiàn)將知識、方法在理解的基礎(chǔ)上加工成長時記憶的原材料,在應(yīng)用和遷移過程中積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗,使學(xué)生充分經(jīng)歷知識的發(fā)生、探究、鏈接、生長的全過程,起于知識本身而落于素養(yǎng)生成,從而產(chǎn)生“超越學(xué)校價值”的知識成果.