高等數學視角下的高考題教學設計
——以2023 年新高考ⅠⅠ卷壓軸題為例

淮北師范大學數學科學學院(235000) 李文靜 張昆

教師作為一個“知識淵博的學者”的形象,這就要求教師不僅要有知識的廣度,更要有知識的深度,尤其是對本學科的知識要有深層次的研究.這就要求數學教師對于知識的理解不應該只停留在教材所呈現的層面,要站在更高的角度,從更高的視野把握知識的本質,領略知識與方法背后的深意.尤其是在歷年高考數學壓軸題中,該類題目的命題方式有時會以高等數學中的相關知識為背景.這就要求教師要有該方面的知識儲備,能從更高的視角,從高等數學的角度理解題意與解決問題,從而對該類題目有宏觀的把握,有助于進行教學.

1 從高等數學知識視角出發的解題教學基本思路

常言道:“若要給學生一碗水,老師必須要有一桶水”,新時代對于教師的數學知識本身及其演化出來所需要的教學專業技能,提出了更高的要求.數學知識本身具有高度抽象性,數與形千變萬化,但要求表達結論的嚴謹性,與教師教學、學生學習的辯證思維息息相關.而數學教師就需要站在更高的角度,從更高的視野把握知識的本質,方能以不變應萬變.

在高中數學教學中“解題教學”是至關重要的一個環節,數學作為一種工具性學科,能夠很好地幫助學生形成邏輯思維、嚴謹表達、創新精神等良好的品質以及培養學生分析問題、解決問題的能力等教學目標.

在具體的解題教學環節中,首先,教師要對數學題目有一個深度的理解,能多角度,更高層次的理解題目及背后相關的知識;其次,教師不能直接把個人對于題目的理解“強加”給學生,要從學生的視角出發,將解題過程轉化為學生容易接受的“教學形態”,根據學生已有的知識經驗與能力,創造出能夠發展學生智能的空間,給予學生發生創造的機會.而這就要求教師教學過程中問題的提問要有充分的啟發性與引導性,環節的銜接要足夠的自然,充分利用學生的“最近發展區”;最后,得到答案后,還要“趁熱打鐵”,及時引導學生進行反思與總結,反思自己思維的“中斷點”與成功解題的可行性,進行思維的監控,從而使學生的學習與認知達到更高的層次,升華課堂的體驗感.

2 高等數學視角下導數高考題的分析

在高考數學題中,以函數知識為背景的導數題往往作為壓軸題出現,這也是大部分學生最容易失分的部分.在歷年的高考題中,關于導數題的慣用問法,一般都圍繞著: 證明不等式、討論單調性、求最值、求極值以及求參數的取值范圍等.一般第(1)問題目較為簡單,利用常規的思路與解法,就可以得到答案;第(2)問的難度較大,計算較為復雜,有些題目甚至是以高等數學的知識為背景的命題.若教師能站在更高的視角,利用高等數學的相關知識進行分析,可以深刻理解題意,有效把握題目的關鍵信息.下文以2023 年的一道高考題為例,試以高等數學的知識進行分析.

2023 年新高考全國ⅠⅠ卷第22 題如下:

(1)證明: 當0＜x＜1 時,x-x2＜sinx＜x;

(2) 已知函數f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點,求a的取值范圍.

本題的第(1)問比較簡單,可利用常規思路求解: 將原不等式轉化為兩個不等式,sinx+x2-x＞0與x-sinx＞0,再對不等式左邊求導,利用函數單調性,列出不等關系,容易得到證明.

第(2)問若要利用初等數學的知識,利用x=0是f(x)的極大值點,求解a的取值范圍步驟較為復雜,不易理解.但在高等數學教材《數學分析》一書中,提到了極值的第二充分條件,如下:

設f在x0的某鄰域U(x0;δ)上一階可導,在x=x0處二階可導,且f′(x0)=0,f′′(x0)0.

(1)若f′′(x0)＜0,則f在x0取得極大值.

(2)若f′′(x0)＞0,則f在x0取得極小值[1](132).

利用上述不等式可直接得到題目中a的取值范圍,直接利用公式的計算確實簡便,但是更像是一種程序化的計算過程,學生沒有經歷得到這個公式的過程,沒有達到真正的理解.不利于學生能力的發展與數學核心素養的全面落實,不符合以學生為本,促進學生全面發展的育人本質,故不可采取這樣的教學方式,下文提供一個新的思路.

在初等數學中常常研究函數的單調性,在高等數學中在此基礎上更深一步,研究函數的凹凸性.對于高中生來說,函數的凹凸性并不陌生,如: 開頭向上的二次函數f(x)=x2就是凸函數(下凸函數),對數函數f(x)=log2x就是凹函數(上凸函數).

下文是關于凸函數與凹函數的完整定義:

設f為定義在區間I上的函數,若對于I上的任意兩點x1,x2和任意實數λ∈(0,1),總有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),則稱f為I上的凸函數(也稱下凸函數).反之,如果有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2),則稱f為I上的凹函數(也稱上凸函數)[1](137).

圖1 凸函數與凹函數

結合圖象可以看出,通過比較某段曲線與連接該曲線兩端的弦的上下位置關系來判斷凹凸函數.觀察圖象不難發現,在極大值點的鄰域內函數圖象為凹函數,在極小值點的鄰域內函數圖象為凸函數,通過觀察圖象的斜率變化情況可得到如下兩個推論:

推論1: 凸函數f(x)的導函數f′(x)是單調遞增的,即f′′(x)＞0.

推論2: 凹函數f(x)的導函數f′(x)是單調遞減的,即f′′(x)＜0.

從函數凹凸性的角度,可有效的引領解題思路,故可以從以下思路來解決第(2)問:

因為x=0 是函數f(x)=cosax-ln(1-x2)的極大值點,則存在一個包含0 的區間(m,n),其中滿足-1＜m＜0＜n＜1,則在區間(m,n)內函數圖象大致呈“倒U”形,如圖2.

觀察圖象,在區間(m,n) 上,斜率逐漸減小,即一階導數f′(x) 單調遞減,由此二階導數f′′(x)＜0.又因為0∈(m,n),故f′′(0)＜0,解該不等式得到參數a的范圍.

3 教學設計示例

在數學解題教學中,教師應當通過適當的鋪墊,啟發學生把握問題的本質特征,萌發具有一般性(概括性)的解題思路(基本方法)[2].在上述題目第(2)問中,多數學生會出現對于“極值”概念的理解不夠深刻,意識不到極值是函數的局部性質,難以萌發出借助圖象從“局部”對函數進行研究的觀點.因此在具體解題教學的實施過程中,教師首先要先進行適當的鋪墊,引導學生重新審視教材中關于極值的定義,緊扣教材定義,從定義中萌發出在“局部”研究函數的觀點;再利用數形結合思想,從基本的圖形中充分認識函數取得極值的情況,從導數的幾何意義斜率出發,找到斜率變化的規律,把握問題的本質特征,引領具體的解題步驟.

下文是筆者在教學實踐過程,給學生講述該高考題的過程,以師生對方對話的方式呈現出部分的教學片段.

師: 對于第(1) 問證明不等式: 當0＜x＜1 時,x-x2＜sinx＜x,同學們有什么思路嗎,有請同學在黑板上板演并講述.

生: 先將原不等式x-x2＜sinx＜x,寫成兩個不等式,即證sinx+x2-x＞0與x-sinx＞0 成立.設g(x)=sinx+x2-x,h(x)=x-sinx,將g(x),h(x)求導,利用函數單調性列出不等關系.

具體過程:g(x)=sinx+x2-x,g′(x)=cosx+2x-1,g′′(x)=-sinx+2＞0,所以函數g′(x)在(0,1)上單調遞增,即g′(x)＞g′(0)=0.又因為g′(x)＞0,函數g(x) 在(0,1)上單調遞增,g(x)＞g(0)=0,即證sinx+x2-x＞0成立;h(x)=x-sinx,h′(x)=1-cosx＞0,故函數h(x)在(0,1)上單調增h(x)＞h(0)=0,即證不等式x-sinx＞0成立,故原不等式x-x2＜sinx＜x得證.

師: 第(2)問中,給出了函數f(x)=cosax-ln(1-x2),觀察這個函數有什么特點?

生: 函數的定義域為: (-1,1),又因為f(x)=f(-x)該函數為偶函數,關于y軸對稱.

師: 題目中給定條件: 已知x=0是f(x)的極大值點,如何根據已知條件求a的取值范圍?

生: 根據x=0是f(x)的極大值點,可得到f′(0)=0,但這是個等式關系,求a的取值范圍,需要找到關于a的不等式,首先可嘗試研究函數的單調性,對函數求導:

師: 可以看出來該函數的單調性不易研究,若繼續求導下去式子會越來越復雜.既然純粹的利用代數的方法我們很難判斷函數的單調性,那可以從什么角度來,找到解題的突破點呢?

生: 圖象! 題目中告訴我們了x=0是f(x)的極大值點,則在x=0 附近的函數圖象呈“倒U 形”.

師: 看來大家能夠從“形”的角度理解極大值.我們做這道題的關鍵就在于從題目的條件“已知x=0是f(x)的極大值點”入手,請同學們再次回顧課本上關于極大值點的定義.

生: 課本上關于極大值點的定義: 在包含x0的一個區間(a,b)上,函數y=f(x)在任何不為x0的一點處的函數值都小于點x0處的函數值,稱x0為函數y=f(x)的極大值點,其函數值f(x0)為函數的極大值[3].

師: 請同學們思考,極大值點除了反應了函數在某一點附近的大小情況外.在定義中規定“包含x0的一個區間(a,b)”這句話有什么意義?

生: 反應了極值是函數的一種局部性質.

師: 是的,也就是說若研究函數的極值情況,只需在包含極值點的某個區間內研究,不需要在整個定義域內研究.那極值點附近的函數圖象有什么特點呢,請同學們再次觀察極大值點附近的函數圖象情況,你們有什么新發現嗎?

生: 在極大值點處附近的函數圖象,先上升后下降.根據圖象,能觀察到極大值點附近函數圖象的斜率是逐漸減小的.

師: 既然極值是函數的局部性質,這道題目中是不是也需要利用“局部的眼光”去研究該函數呢? 請同學們嘗試利用自己的“新發現”去解決該題目吧!

生: 設0∈(m,n)?(-1,1),其中m,n滿足-1＜m＜0＜n＜1,滿足在函數的定義域內.則函數f(x) 圖象在(m,0) 內函數圖象上升,且斜率不斷減小;因為x=0是f(x)的極大值點,則在x=0 處,斜率為0;在(0,n)函數圖象下降,且斜率繼續不斷減小.由此,該函數圖象的斜率在(m,n)上逐漸減小,即f′(x)在區間(m,n)上單調遞減,得到f′′(x)＜0.又因為0∈(m,n),故f′′(0)＜0,對函數二次求導得到:f′′(x)=-a2cosax+,將x=0 代入,f′′(0)=-a2+2＜0,解得a＞或a＜.

4 結束語

在解題過程中,首先要深刻理解“形式背后的本質”,抓住知識的本質以及知識點對應的關鍵信息;其次要充分的了解題目所給的已知條件、隱含條件、拓展條件等,將已知的信息與想要求解的目標建立起充分的聯系.但是學生在對于“難題”的解決上,往往難以抓住“本質與關鍵信息”,這就要求教師要從更高的維度去理解題意與相關知識.可以從高等數學的視野出發剖析知識的本質、內涵與聯系,抓住解題的關鍵.從而將這樣的解題過程,轉化為學生更夠發展思維與創造才能的教學環節,從而落實數學核心素養,促進學生的全面發展.